数学学案第一讲三简单曲线的极坐标方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、求极坐标方程的步骤1.在直角坐标系中,曲线可以用含有变量x、y的方程表示；在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程.2.求曲线的极坐标方程的方法和步骤（1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ）是曲线上任意一点；(2）由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式;（3）将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线上的极坐标方程；（4）证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形，这一证明可以省略.二、极坐标系中的平面曲线的极坐标方程为f（ρ，θ）=0设极坐标方程f（ρ,θ)=0及坐标平面上的曲线C，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点;曲线C上的点的坐标中至少有一个能满足这个方程，那么，方程f(ρ,θ）=0称为曲线C的极坐标方程,曲线C称为方程f(ρ，θ)=0的曲线。深化升华在找平面曲线的极坐标方程时，要找极径ρ和极角θ之间的关系式，这常用到解三角形(正弦定理，余弦定理）的知识，如利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.问题·探究问题1极径是距离，当然是正的，可为何又有“负极径”的概念呢？“负极径”中的“负”的含义是什么？探究：根据极径定义,极径是距离，当然是正的.极径是负的，等于极角增加π。负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”，比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。而反向延长也可以说成旋转π，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”.如直角坐标系中点的坐标是负的；两个向量对应的数一正一负，方向也表示是相反的.一般情况下,如果不作特殊说明，极径都指的是正的.问题2为何不能把对直角坐标系内点和曲线的认识套用到极坐标系内，用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者究竟有哪些明显的区别呢?探究:（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对,即坐标(x，y）是一一对应的，可是在极坐标系内,虽然一个有序实数对(ρ,θ）只能与一个点P对应,但一个点P却可以与无数多个有序实数对（ρ,θ）对应.例如（ρ,2nπ+θ)与（-ρ,（2n+1）π+θ)（n为整数）表示的是同一个点，所以点与有序实数对极坐标(ρ，θ)不是一一对应的.（2）在直角坐标系内,一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）.可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应。例如方程ρ1=1,ρ2=1，ρ3=1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的.（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内,曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程。例如给定曲线ρ=θ,设点P的极坐标为(,)，那么点P适合方程ρ=θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标(，）就不适合方程ρ=θ了。所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标ρ=θ适合曲线C的方程。典题·热题例1求：（1）过A(2,)且平行于极轴的直线；（2）过A(3,)且和极轴成的直线.思路分析：（1)在直线上任意取一点M,根据已知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系。可以通过图中的直角三角形来解决,因为已知OA的长度，还知∠AOx=,还可以得到MH的长度，从而在Rt△OMH中找到变量ρ、θ之间的关系。(2)在三角形中利用正弦定理来找到变量ρ、θ之间的关系。解：(1）如图1-3-图1∴|MH｜=2·sin=.在Rt△OMH中，|MH｜=｜OM｜sinθ,即ρsinθ=，∴过A(2,）平行于极轴的直线方程为ρsinθ=。(2）如图1-3—2所示,A（3，）,|OA|=3，∠AOB=,由已知∠MBx=图1∴∠OAB=-=.∴∠OAM=π-.又∠OMA=∠MBx-θ=-θ.在△MOA中，根据正弦定理得，∵sin=sin（+）=，将sin(—θ)展开，化简上面的方程，可得ρ（sinθ+cosθ)=.∴过A（3,)且和极轴成的直线为ρ（sinθ+cosθ）=。深化升华可以看到,在求曲线方程时,要找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示,再通过代数变换进行化简。例2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化.（1)y2=4x；（2)y2+x2—2x—1=0;（3)θ=；(4)ρcos2=1；(5)ρ2cos（2θ）=4;（6）ρ=.思路分析：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上一点的位置的方法。在解这类题时,除正确使用互化公式外,还要注意与恒等变换等知识相结合.解：（1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2=4x，得（ρsinθ)2=4ρcosθ.化简得ρsin2θ=4cosθ。（2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y2+x2—2x-1=0,得（ρsinθ）2+（ρcosθ）2-2ρcosθ—1=0.化简得ρ2-2ρcosθ—1=0.(3)∵tanθ=，∴tan==.化简得y=x（x≥0）。(4）∵ρcos2=1,∴ρ·=1,即ρ+ρcosθ=2.∴+x=2,化简得y2=-4（x-1）.(5）∵ρ2cos（2θ)=4,∴ρ2cos2θ—ρ2sin2θ=4，即x2-y2=4。(6)∵ρ=,∴2ρ—ρcosθ=1。∴=1,化简得3x2+4y2-2x-1=0。方法归纳在进行两种坐标间的互化时，要注意：(1）互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐标系的单位长度相同。（2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ〈2π范围内求值。（3）由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简.（4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在,是等价变形，否则不是等价变形。例3判断点()是否在曲线ρ=cos上。思路分析：在极坐标系内,判断点是否在直线上与在直角坐标系内是不同的,不能只是简单地将点的坐标代入，当点的坐标代入不能满足方程,还要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.解：∵点（）和点（)是同一点，而cos=cos=,∴点（）在曲线ρ=cos上,即点(）在曲线ρ=cos上。误区警示本题容易犯的错误是：当把点的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.在这个问题上，两种坐标系是不相同的.在极坐标系中，尽管点()并不满足ρ=cos，但是据此并不能肯定这个点不在曲线上.例4从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON,求ON的中点M的轨迹方程.思路分析：在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法，在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.图1解：如图1-∵M为弦ON的中点，∴CM⊥ON，故M在以OC为直径的圆上.∴动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ。方法归纳这种解法是定义法，下面我们用转移法来解决这个问题：设M点的坐标是(ρ,θ)，N(ρ1，θ1）.N点在圆ρ=8cosθ上,∴ρ1=8cosθ1(*).∵M是ON的中点，∴它代入（＊）式得2ρ=8cosθ。故M的轨迹方程是ρ=4cosθ.在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变数的方程f(ρ，θ）来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。常见的曲线方程如下：①过极点，极角为α的直线方程：θ=α（ρ∈R)。②与极轴平行并且与极轴距离等于a的直线方程：ρsinθ=±a(a〉0)。③与极轴所在直线垂直且与极点距离为a的直线方程：ρcosθ=±a（a〉0）.④圆的极坐标方程:圆心为（ρ0，θ0),半径为r：ρ2—2ρ0-ρcos（θ-θ0）+ρ02-r2=0；圆心为(ρ0,0)，半径为r：ρ2-2ρ0ρcosθ+ρ02—r2=0；圆心为(r,0）,半径为r：ρ=2rcosθ（r>0)；圆心为(—r,0），半径为r：ρ=-2rcosθ(r>0)；圆心为（r，），半径为r：ρ=2rsinθ(r>0)；圆心为（r,），半径为r:ρ=—2rsinθ(r〉0）；圆心为(0,θ），半径为r：ρ=r(r>0)。例5极坐标ρ=cos(-θ)表示的曲线是（）A。双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆思路解析：原极坐标方程化为ρ=（cosθ+sinθ）；ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为（x2+y2）=x+y，表示圆.答案：D拓展延伸方法一：将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒等于0,方程两边同乘ρ，得ρ2=ρcos(-θ）=ρ（cosθ+sinθ)=（ρcosθ+ρsinθ）。这样，在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2，因此有x2+y2=（x+y).∴方程ρ=cos（-θ）表示圆.方法二：极坐标方程ρ=2acosθ表示圆，而-θ与极轴的旋转有关,它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ=cos(-θ）表示圆。例6设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连结MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程.图1思路分析：如图1-解：以O为极点，射线OM为极轴,建立极坐标系.如图1—设定圆O的半径为r，OM=a，P(ρ，θ）是轨迹上任意一点