数学学案第二讲三直线的参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学直线参数方程的形式过定点M0（x0,y0)、倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数),我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t为参数。直线参数方程中参数t的几何意义:表示直线l上以定点M0为起点,任意一点M(x,y)为终点的有向线段的数量M0M。联想发散很明显，我们也可以把参数t理解为以M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标,其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.t是直线上有向线段的数量，当α∈（0，π）时，M在M0的上方时,t〉0；M在M0的下方时，t<0;M与M0重合时，t=0.当α=90°时,(t为参数)可化为x=x0,因此在使用时，不必研究直线斜率不存在时的情况.特别地,若直线l的倾角α=0时，直线l的参数方程为当t>0时，点M在点M0的右侧；当t=0时，点M与点M0重合；当t<0时，点M在点M0的左侧.深化升华若直线的参数方程为一般形式(t为参数），可把它化为标准形式：（t′为参数)，其中α是直线的倾斜角tanα=,此时参数t′才有如前所说的几何意义.同一直线方程的参数方程有多种形式，如（t为参数）和（t为参数）表示同一条直线,但后者参数t没有几何意义。直线的参数方程（t为参数）只有当a2+b2=1且b≥0时,参数t才有意义。对于(t为参数），其中b≥0,若a>0,则直线的倾斜角α为锐角；若a〈0,则直线的倾斜角α为钝角;若a=0，则直线的倾斜角α为直角.问题·探究问题1在解决某些问题时可以使用某些已知的结论或公式,正确使用这些结论可以简化运算，使问题的解决更快捷。那么对于直线的参数方程又有哪些常用的结论呢?探究:根据直线参数方程中参数的几何意义,设直线l的参数方程为(t为参数）,直线l上点A，B对应的参数分别为tA、tB，则(1）A、B两点之间的距离为｜AB｜=｜ta-tb|,特别地,A、B两点到点M0的距离分别为|tA|、|tB|;（2)A、B两点的中点所对应的参数为，若点M0是线段AB的中点,则tA+tB=0，反之亦然;（3)若直线上的点C所对应的参数为tC，C点分所成的比为λ,则tc=.问题2通过学习直线参数方程后我们了解到:直线参数方程的一般形式中的参数不具有几何意义，只有标准形式中的参数才具有一定的几何意义。那么直线的一般参数方程怎样才能转化为标准的参数方程呢?探究：给出直线的非标准式参数方程（t为参数）,根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质知，其平方和为1，所以可以化为(t为参数）,再近一步令cosα=,sinα=,根据直线倾斜角的范围让α在［0，π）范围内取值,并且把t看成相应的参数t,即得标准式的参数方程（t为参数).由转化的过程可以看出，在一般参数方程(t为参数)中,t具有标准式参数方程中参数的几何意义。所以,有些较简单的问题可以不必转化为标准式而直接使用,求出相应的t,再乘以即可继续使用参数的几何意义.问题3直线和圆锥曲线的位置关系问题是几何中最常见的问题，对于普通方程,可以把它们的方程联立,根据方程组解的情况来判断交点情况.那么对于参数方程，又该如何判断它们的交点情况呢？探究:对于直线的普通方程可以把直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量后,根据方程解的情况来判断直线和圆锥曲线的交点情况,对于直线的参数方程可以把参数坐标的横坐标和纵坐标直接代入圆锥曲线方程，得到关于参数t的方程，判断方程的解的情况即可得到直线与圆锥曲线的交点情况。另外，由于直线的参数方程尤其是标准式的参数方程，根据方程容易画出相应的直线.所以,也可以根据方程画出相应的图形，采用数形结合来判断交点情况。当然有些问题也可以把直线的参数方程转化为普通方程来解.典题·热题例1写出直线2x—y+1=0的参数方程，并求直线上的点M(1,3）到点A(3,7）、B(8，6）的距离.思路分析：要写出参数方程，首先根据直线的普通方程可以看出直线的斜率为2，设直线的倾斜角为α,则tanα=2,则sinα=,cosα=,根据后边要求的点M恰好在直线上，为了后边的运算方便，选择M作为直线上的定点。要求点M到A、B的距离可以根据参数方程的特点及几何意义或者两点之间的距离公式都可以。解：根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α,则tanα=2,sinα=,cosα=,所以直线的参数方程是(t为参数)。经验证易知点A(3，7)恰好在直线上,所以只需由1+t=3得t=,即点M到点A的距离是。而点B(8，6）不在直线上，所以不能使用参数t的几何意义，可以根据两点之间的距离公式求出距离为.误区警示本题主要考查直线参数方程的转化和参数的几何意义。常见错误:①转化参数方程时不注意后边的题目内容，随便取一个定点；②把点B（8,6）当成直线上的点很容易由1+t=8得t=。例2设直线的参数方程为（t为参数)，点P在直线上，且与点M0（—4,0)的距离为，如果该直线的参数方程改写成（t为参数）,则在这个方程中点P对应的t值为(）A.±1B。0C。±D.±思路解析:由｜PM0|=，知PM0=或PM0=,即t=代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为（-3，1)或(-5,-1)；再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t=1或t=—1。答案:A深化升华直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义,合理使用其几何意义，可以简化运算，使解题过程更加简洁.这也正是直线参数方程标准式的优越性所在。例3求经过点(1,1），倾斜角为135°的直线截椭圆+y2=1所得的弦长.思路分析:首先可以根据条件写出直线的参数方程(t为参数），代入椭圆的方程可得+(1+t)2=1.这是一个关于t的二次方程,根据参数的几何意义可知所求弦长就是方程两根之差的绝对值。解：由条件可知直线的参数方程是(t为参数）,代入椭圆方程可得=1，即t2+t+1=0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1－t2｜=。误区警示本题主要使用参数方程中两点的距离公式，易错的地方是：转化参数方程时,计算135°的正弦和余弦值时出错,再者就是距离公式不会灵活使用,而一味地要使用参数的几何意义。例4已知直线l过点P(3，2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点。求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程。思路分析：本题可以使用直线的参数方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解,运算较为麻烦。如果设出直线的倾斜角，写出直线的参数方程来解，就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算。解：设直线的倾斜角为α,则它的方程为（t为参数)，由A、B是坐标轴上的点知yA=0，xB=0,∴0=2+tsinα,即｜PA|=｜t|=，0=3+tcosα，即|PB|=｜t|=。故｜PA|·｜PB｜=（)=.∵90°〈α〈180°，∴当2α=270°,即α=135°时，｜PA｜·|PB｜有最小值。∴直线方程为(t为参数）,化为普通方程即x+y—5=0。拓展延伸直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点距离时通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的标准形式，而对于某些比较简单的直线问题比如求直线和坐标轴或者与某条直线交点时宜用直线的普通方程.例5已知点M（2,3)和双曲线x2-=1，求以M为中点的双曲线的弦AB所在的直线l的方程.思路分析：本题仍然可以根据直线过点M（2,3）设出直线的参数方程,假设弦的两个端点对应的参数分别为ta,tb，则由M为弦的中点可知tA+tB=0。把直线的参数方程代入双曲线方程可得关于t的二次方程,根据根与系数的关系建立方程即可。解:根据条件可设直线l的参数方程为(t为参数）,代入双曲线的方程可得(2+tcosα）2-=1。整理可得(2cos2α-sin2α)t2+(8cosα-6sinα)t-3=0。设弦的两个端点A，B对应的参数分别为ta,tb，因为M(2，3）为弦AB中点,所以tA+tB=0,由二次方程根与系数的关系可得=0，即得8cosα—6sinα=0.易得tanα=，即直线的斜率为，可得参数方程为(t为参数).则直线的普通方程为y-3=(x-2）,即4x-3y+1=0.深化升华本节内容是直线的参数方程，要认真理解参数方程中参数的几何意义,只有这样才能切实感受到它带给我们的方便，还要注意掌握一些重要的性质.直线和圆锥曲线的关系是解析几何研究的主要内容,在解决有关问题时正确地使用参数方程,可以简化运算过程，使过程更加简单清晰。例6已知直线l1：x-ky+k=0，l2:kx—y—1=0，其中k为参数，求l1,l2交点的轨迹方程.思路分析:本题为求直线的交点轨迹方程问题,由直线方程的形式,既可以考虑参数方程来求解，又可以化为普通方程来求解,但在化为普通方程时需注意其等价性。解法一：求出两直线的交点坐标,即解方程组.当k2≠1时,得到（k为参数)。这就是所求轨迹的参数方程,但如果要求轨迹的普通方程,需消去参数k。解法二：由kx—y—1=0,当x≠0时,可得k=，代入方