数学学案：主动成长第二讲四弦切角的性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精主动成长夯基达标1.如图2-4-8,AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为（)图2-4-8A。105° B.115° C.120° D。125°思路解析:连结AC,构造出圆周角∠ADC所对弧的弦切角，即∠PCA,而∠PCA显然等于∠PCB加上一个直角,由此即得结果。答案:B2.如图2—4-9，AB是⊙O的直径,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC的长为()图2-4-9A。2 B.3 C。23 D.4思路解析：连结BC,构造出弦切角所对的圆周角，由已知有△ADC与△ACB相似，所以可得=,代入数值得关于AC的方程。答案：C3.如图2—4—10,AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线.求证：图2-4-10(1）如果AB∥CD,那么AM=MB；（2）如果AM=BM，那么AB∥CD.思路分析:本题的两个问题互为逆命题，利用弦切角在中间起桥梁作用,如第（1）题，由平行得∠B=∠DMB,由弦切角得∠DMB=∠A,于是有∠A=∠B.证明：(1)CD切⊙O于M点,∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B。∵AB∥CD，∴∠CMA=∠A。∴∠A=∠B。∴AM=MB.(2）∵AM=BM,∴∠A=∠B。∵CD切⊙O于M点，∴∠DMB=∠A，∠CMA=∠B.∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD.4.如图2-4—11，四边形ABED内接于⊙O，AB∥DE，AC切⊙O于A，交ED延长线于C.求证：AD∶AE=DC∶BE。图2-4—11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形△ACD和△ABE中，所以只要证明△ACD∽△ABE即可。证明:∵四边形ABED内接于圆，∴∠ADC=∠ABE.∵AC是⊙O的切线，∴∠CAD=∠AED.∵AB∥DE，∴∠BAE=∠AED。∴∠CAD=∠BAE。∴△ACD∽△ABE。∴AD∶AE=DC∶BE.5。如图2-4-12，P为⊙O的直径CB延长线上的一点,A为⊙O上一点，若=,AE交BC于D，且∠C=∠PAD.图2—4-12（1）求证:PA为⊙O的切线;（2）若∠BEA=30°,BD＝1，求AP及PB的长.思路分析：对于（1)，A已经是圆上一点,所以可以连结OA，证明PA与OA垂直;对于(2)，将∠E利用圆周角定理转移到Rt△ODA和Rt△OAP中，解直角三角形即可得到线段AP及PB的长。（1）证明:连结AO，∵=，BC为直径，∴AE⊥BC，AD=DE，=DE.∵OA=OB,∴∠C=∠3。∴∠1=2∠C.又∵∠C=∠PAD,∴∠1=∠2.∵∠1+∠4=90°，∴∠2+∠4=90°。∴PA⊥OA.∴PA为⊙O的切线.（2）解：在Rt△EBD中,∵∠BEA=30°,BD＝1，∴BE=2,DE=。在Rt△ODA和Rt△EBD中,∠4=90°—∠1=90°—2∠C=90°—2∠E=30°=∠E,∠ODA=∠BDE,AD=ED,∴Rt△ODA≌Rt△EBD。∴AD=DE=,OD=BD=1，OA=BE=2。在Rt△OAP中，∵AD⊥OP，∴AD2=OD·DP，即=1·DP.∴DP=3.∴BP=2。在Rt△ADP中，根据勾股定理，得==。6.如图2—4—13,BA是⊙O的直径,AD是⊙O的切线，切点为A，BF、BD交AD于点F、D,交⊙O于E、C，连结CE。求证:BE·BF=BC·BD.图2—4—13思路分析:要证BE·BF=BC·BD，只需证△BEC∽△BDF,∠DBF为公共角，只需再找一组角相等，为此,过B作⊙O的切线，构造弦切角。证明:过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD，∴∠GBC=∠BDF.又∵∠GBC=∠BEC，∴∠BEC=∠BDF。而∠CBE为公共角,∴△BEC∽△BDF.∴BE·BF=BC·BD。7。如图2—4—14，⊙O是△ABC的外接圆,∠ACB的平分线CE交AB于D,交⊙O于E，过E点作⊙O的切线交CB的延长线于F.求证：AE2=AD·EF。图2-4—14思路分析:要证AE2=AD·EF,考虑相似三角形，但AE、AD、EF所在三角形不相似,因此要找线段等量代换。证明：连结BE， △FEB∽△EAD=.又∵∠3=∠2BE=AEBE=AE,则AE2=AD·EF.8.如图2—4-15，PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,C是上一点,已知⊙O的半径为r，PO=2r,设∠PAC+∠PBC=α,∠APB=β,则α与β的大小关系为(）A。α>β B。α=β C。α〈β D.不能确定思路解析:连结AB、AO，∵PA、PB为切线,∴∠PAC=∠ABC，∠PBC=∠BAC。∴α=∠PAC+∠PBC=∠PAC+∠BAC=∠PAB=∠PBA==。∵AO=r，PA切⊙O于A，∴AO⊥PA，且PO=2r。∴∠APO=30°.∴∠APB=2∠APO=60°。∴β=60°.∴α=(180°—60°)=60°。∴α=β。答案:B图2-4-159。如图2—4—16,已知AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点,PT切⊙O于T，过点B的切线交AT延长线于D，交PT于C.图2—4-16（1)试判断△DCT的形状。（2）△DCT有无可能成为正三角形?若无可能，说明为什么;若有可能，求出这时PB与PA应满足的条件。思路分析:要判断△DCT的形状，先考虑其内角的关系，注意到CT、CB为切线,则连结BT，可用弦切角定理推论得∠ATB=∠BTD=90°,从而可判断△DCT的形状.解:（1）连结BT,∵CB、CT为⊙O的切线，∴∠CTB=CBT.又AB为⊙O的直径，∴∠ATB=∠DTB=90°.∴∠DTC=90°—∠CTB,∠D=90°-∠CBT。∴∠DTC=∠D，即CD=CT。∴△DCT为等腰三角形。（2)若△DCT为正三角形，则∠D=60°，由（1)知∠CBT=90°—∠D=30°，而CB切⊙O于B，∴∠A=∠CBT=30°.∴在Rt△ATB中,=sin30°=,且∠ABT=90°—30°=60°,∠ABT=∠CTB+∠P。而∠CTB=∠CBT=30°,∴∠P=30°。∴∠P=∠CTB。∴PB=TB.∴=，即当PB∶PA=1∶3时，△DCT为正三角形。走近高考10。如图2—4—17，AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB的平分线分别交BC、AB于点D、E，交⊙O于点F,∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程x2-kx+=0的两个根（k为常数).图2—4—17（1)求证：PA·BD=PB·AE;(2)证明⊙O的直径长为常数；（3)求tan∠FPA的值.思路分析:（1)由△PBD∽△PAE即可证得。(2）由韦达定理知AE+BD=k，只需证BE=BD,这可由角的相等证得。（3）要求tan∠FPA，先将∠FPA转化到直角三角形中，而∠FPB=∠FPA，∠FPB恰好在Rt△PBE中，解此三角形即可.（1）证明：∵PB切⊙O于点B,∴∠PBD=∠A.又PE平分∠APB,∴∠APE=∠BPD.∴△PBD∽△PAE.∴=。∴PA·BD=PB·AE.(2)解:由(1)知∠APE=∠EPB,又∵∠BED=∠A+∠EPA,∠BDE=∠PBC+∠EPB,∴∠BED=∠BDE。∴BE=BD.∵AE、BD为方程x2-kx+=0的两个根,∴AE+BD=k=AB.∴⊙O的直径为常数k。(3)解:∵PB切⊙O于点B，AB为直径,∴∠PBA=90°。∵∠A=60°,∴PB=PA·sin60°=。由（1）得PA·BD=PB·AE，∴.∵AE、BD的长是方程x2—kx+=0的两个根，∴AE·BD=.∴AE=2,BD=3。∴。在Rt△PBA中,PB=AB·tan60°=(）·=.在Rt△PBE中，tan∠BPE===，又∠FPA=∠BPF，∴tan∠FPA=.11.如图2—4—18(1）,四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E。（1)(2）图2—4-18（1)求证：AB·DA=CD·BE；(2）如图2-4—18（2),若点E在CB延长线上运动，使切线EA变为割线EFA,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立？思路分析:(1)只需证△ABE∽△CDA.(2）如题图（2)，要使结论仍然成立，注意到∠ABE=∠ADC始终成立，因此仍然只需使△ABE∽△CDA即可，这样只要另一组对应角相等即可，即只需∠BAE=∠ACD或∠E=∠CAD.（1）证明：连结AC，∵AE切⊙O于A，∴∠EAB=∠ACB。∵AB=AD,∴∠ACD=∠ACB。∴∠EAB=∠ACD。又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABE=∠CDA.∴△ABE∽△CDA。∴=.∴AB·DA=CD·BE。（2）解：当BF=DA时，∠EAB=∠ACD，又∠ABE=∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴AB·DA=CD·BE,此时仍然成立。12。如图2—4—19，已知C点在⊙O直径BE的延长线上,CA切⊙O于A点,∠BAC的平分线交AE于F点,∠BCA的平分线交AB于D点.图2—4-19(1)求∠ADF的度数。(2)若∠ACB的度数为y度，∠B的度数为x度,那么y与x之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明。（3)若AB=AC，求AC∶BC。思路分析:（1)中由AC为⊙O切线可得∠B=∠EAC，由CD平分∠ACB可得∠ACD=∠DCB,根据三角形外角定理,得到∠ADF=∠AFD,建立等腰三角形，再由顶角求底角;（2)中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系;(3)中求线段的比值，利用△ACE∽△ABC可得.解:（1）∵AC为⊙O的切线,∴∠B=∠EAC。∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB。∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，即∠ADF=∠AFD.∵BE为⊙O的直径,∴∠DAE=90°。∴∠ADF=(180°—∠DAE)=45°.（2）∵∠B