数学学案：知识导航空间直角坐标系空间两点的距离公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.4空间直角坐标系2。4。1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式知识梳理1。空间直角坐标系的建立为了确定空间点的位置,在平面直角坐标系xOy中,通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴、y轴都垂直，这样任意两条数轴都互相垂直。轴的方向这样规定：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°后与y轴的正半轴重合，这样就在空间建立了一个空间直角坐标系O—xyz，O叫做坐标原点。由两条坐标轴确定的面叫坐标平面，三个坐标平面把空间分成八个卦限〔如图2—4-（1，2）—1〕.图2-4—(1，2)—1xOy平面:由x轴及y轴确定的坐标面;xOz平面:由x轴及z轴确定的坐标面;yOz平面：由y轴及z轴确定的坐标面.2.点在空间直角坐标系中的坐标取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。点M为空间一已知点,在空间直角坐标系中,过这点作两条轴所确定平面的平行平面，交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是M点相应的一个坐标。设点M在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z。于是空间的点M就唯一的确定了一个有序数组x、y、z。这组数x、y、z就叫做点M的坐标，记为（x,y，z)，并依次称x、y和z为点M的x坐标,y坐标和z坐标。反之,设(x，y，z）为一个三元有序数组,过x轴上坐标为y的点,y轴上坐标为z的点,z轴上坐标为x的点，分别作x轴、y轴、z轴的垂直平面,这三个平面的交点M便是三元有序数组(x,y，z)唯一确定的点。所以，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z）之间的一一对应关系。八个卦限中的点的坐标符号也有一定的特点：Ⅰ:(+，+,+）；Ⅱ：(-,+，+）；Ⅲ：(—，-，+)；Ⅳ：（+,-，+）；Ⅴ：(+,+,—)；Ⅵ：(—，+，-)；Ⅶ:(-，—，-)；Ⅷ：（+,—，-).坐标面和坐标轴上的点有下列特点：坐标面xOyyOzzOx特征z=0x=0y=0坐标轴OxOyOz特征y=z=0x=z=0x=y=03.空间两点的距离公式空间两点间的距离公式可以看作平面内两点间距离公式的推广,如图2-4-（1,2)—2.M1(x1,y1,z1)，P（x2,y1，z1），M2(x2，y2，z2),N(x2,y2，z1），|M1P｜=|x2-x1|，｜PN｜=|y2—y1|，｜M2N｜=｜z2-z1｜，｜M1N|2=｜M1P｜2+|PN｜2=（x2—x1）2+（y2-y1)2，|M1M2｜2=|M1N｜2+|NM2｜2=(x2—x1）2+(y2-y1)2+（z2-z1）图2—4-(1，2）-2∴点M1与M2间的距离为d=。应用两点间的距离公式时，注意是三组对应坐标之差的平方和开方。知识导学画好空间直角坐标系也要强调“三要素”——原点、坐标轴方向和单位长度。也就是说，z轴、x轴和y轴的原点相同、单位长度相同（特殊情况除外)，坐标轴方向满足右手系——有两种解释：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这样建立的直角坐标系为右手直角坐标系；还可以解释成,先把大拇指指向z轴的正方向，把其余的4指指向x轴正方向，然后握成拳头，这时4指扫过原平面直角坐标系的第一象限从x轴正方向到y轴正方向.这和物理中的右手定则相同。在平面上画空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°,即用斜二测方法画立体图。这里显然要注意在y轴、z轴上的长度都取原来的单位长度，而在x轴上的长度取原来单位长度的一半。不要把x轴上的长度取成实际的长度，因为不符合斜二测方法作图的约定，直观性差。在给出点写出坐标、给出坐标找点的过程中，我们可以感受到如下规律：xOy平面上的点的竖坐标都是零，yOz平面上的点的横坐标都是零，xOz平面上的点的纵坐标都是零.把平面直角坐标系中两点P1（x1，y1)，P2(x2，y2）之间的距离公式|P1P2|=推广到空间直角坐标系中两点P1(x1，y1,z1），P2（x1，y2,z2）之间的距离公式｜P1P2｜=，形式上相同，其不同点是仅仅多了一项，即与竖坐标有关的一项.疑难突破1.如何求空间一点A（x，y,z)关于坐标轴、坐标原点、坐标平面的对称点的坐标?你能总结出规律来吗?剖析：数学中的对称问题，把握两点：中点和垂直.对称点坐标问题，无非就是中点与垂直问题;空间点关于已知点的对称点,与平面内点关于点的对称点定义一样,已知点与其对称点，连线段的中点即为对称中心.根据这个理论我们可以得到：A（x，y，z）关于坐标平面xOy对称A1（x，y,-z）;A(x,y,z）关于坐标平面yOz对称A2(—x,y,z）；A（x,y,z)关于坐标平面xOz对称A3（x,—y,z）；A(x,y,z）关于x轴对称A4(x，-y，-z);A（x，y,z）关于y轴对称A5（—x,y，-z）；A(x，y,z)关于z轴对称A6（—x,—y，z）;A(x,y,z)关于原点对称A7（—x，—y,—z）.通过解答我们可以总结出如下规律：某面对称某不变，如A（x，y,z)关于坐标平面xOy对称A1(x，y,—z）;这里x、y的符号不变；某轴对称某不变，如A(x，y，z）关于y轴对称A5（—x，y，-z）;这里y的符号不变；原点对称起造“反”，如A(x,y,z）关于原点对称A7(-x，—y，-z）.这里x、y、z的符号都变为其相反数.2。建立空间直角坐标系时，如何选择原点和坐标轴？剖析：选择怎样的坐标原点和坐标轴，不会影响结论的正确性，但是却会影响解决问题的复杂性.因此，在建立坐标系时,要充分利用已知条件中的有关对称性、垂直、平行等性质，使得已知条件处在特殊的坐标系位置上，这样再写点的坐标、直线方程等时会方便很多。在建立空间直角坐