数学学案：知识导航柯西不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5.4几个著名的不等式5.4.1柯西不等式自主整理柯西不等式（1)代数形式:设a、b、c、d均为实数,则_______________,当且仅当ad=bc时取“=”.(2)向量形式:设α、β为平面上的两个向量，则_______,当且仅当两个向量方向相同或相反时取“=”.（3)三角形不等式：设x1、y1、x2、y2、x3、y3为任意实数,则≥________________。向量表示:设α、β、γ为平面上的向量，则____________,当且仅当向量α—β与β-γ同向时取“=”.（4）一般形式:设n为大于1的自然数,ai、bi(i=1，2,…，n)为任意实数，则______________。当且仅当时取“=”(当ai=0时，约定bi=0,i=1，2，…,n)。(5)在n个实数a1,a2，…,an和为定值S时,它们的平方和不小于,当且仅当a1=a2=…=an时，平方和取最小值.高手笔记1。柯西不等式可由基本不等式推证，其形式比较整齐、优美.因用到的字母较多，不易记忆，可联想其几何意义（即向量形式)就比较好理解了,由α·β=｜α｜|β｜cosα≤｜α｜·｜β｜，所以只需记住向量数量积定义即可.2.记忆三角形不等式时只需记住三角形中两边之和大于第三边及平面内两点间的距离公式即可写出,注意联想记忆.3.柯西不等式的几种形式间是等价的，但要注意结构形式的变化对数值的要求，对“=”取到的条件要从推导过程中来理解.名师解惑对柯西不等式的理解剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆，因此，柯西不等式可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系或构造的一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造的(a2+b2)（12+12）≥（a+b)2，但怎样构造要仔细体会，(a2+b2)（c2+d2）≥(ac+bd）2,（a2+b2)（d2+c2）≥（ad+bc）2，谁与谁组合联系,要根据需要.柯西不等式取“=”的条件,可以多方面联系来记忆,如(a2+b2）(c2+d2)≥（ac+bd）2,取“=”的条件是“ad=bc"，有点像a、b、c、d成等比数列时ad=bc的结论。柯西不等式的向量形式中,α·β≤｜α｜·|β｜取“=”的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ,我们可以从向量的数量积的角度来理解记忆。讲练互动【例1】设a，b,c,d，m,n都是正实数,P=,Q=，试确定P与Q的大小。分析：从结构上观察,被开方数为(ma+nc）()，可用柯西不等式.解:∵m、n、a、b、c、d为正数，∴(ma+nc）()=［()2+（)2］·［(）2+（）2]≥（)2=(）2，即Q≥P，当且仅当时取“=”.绿色通道解答问题时注意观察式子的结构是否符合柯西不等式的形式,并构造不等式.变式训练1。已知不等式(x+y)()≥9对于任意正实数x、y恒成立,求正实数a的最小值.解：设z=(x+y）(+),不等式（x+y)(+)≥9对于任意的正实数x、y恒成立,等价于zmin≥9，∵x、y、a∈R+,∴z=(x+y）（+)=［（)2+()2]［(）2+（)2]≥(）2=（1+)2。∴zmin=（1+）2.∴（1+)2≥9。∴1+≥3，即a≥4.∴a的最小值为4.【例2】已知a、b∈R，求证:(a4+b4)（a2+b2)≥(a3+b3)2.分析：虽然可以作乘法展开上式的两边,然后再比较它们，但是如果注意到不等式的两边形式与柯西不等式的一致性,可以避免繁杂的运算.证明：根据柯西不等式有（a4+b4)(a2+b2）≥（a2·a+b2·b)2=（a3+b3）2.绿色通道在证明不等式时,要观察不等式的结构,若联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简化运算.变式训练2。已知a、b∈R,求证：（a4+b4）(a2+b2)≥a2b2（a+b）2。证明：由柯西不等式,得(a4+b4）(a2+b2)=（a4+b4）（b2+a2)≥(a2b+b2a）2=［ab(a+b）］2=a2b2(a+b）2【例3】求函数y=的最大值.分析：利用不等式求函数的最值,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取“=”的条件.这个函数的解析式是两部分的和,若能化为ac+bd的形式就可利用柯西不等式进行平方合并求最值.解:函数的定义域为［2,5］且y〉0.y2=（)2≤（42+32)[(）2+（)2]=25×3,∴y≤,当且仅当=时等号成立,即x=时取“=”，y取最大值.绿色通道学会观察函数的结构,并构造不等式,注意柯西不等式的等号成立的条件，弄清谁是a、b、c、d.变式训练3。求函数y=的最大值.解法一：函数的定义域为[1,10］，且y>0，y=1×+1×≤××3=，当且仅当,即x=时取“=”，ymax=.解法二:函数的定义域为［1,10］，且y>0。y2=(）2=x-1+10—x+2=9+2≤9+(x—1)+(10—x)=18。∴y≤，当且仅当x—1=10—x时,即x=时,取“=",ymax=。【例4】已知a、b、c、d、e、f是不全相等的正数,求证:a2+b2+c2+d2+e2+f2>ab+bc+cd+de+ef+fa.分析:上式两边的结构比较整齐，左边为平方和，右边为顺序乘积的和，可由柯西不等式证明.证明：∵（a2+b2+c2+d2+e2+f2）2=（a2+b2+c2+d2+e2+f2）(b2+c2+d2+e2+f2+a2）≥（ab+bc+cd+de+ef+fa）2，又∵a、b、c、d、e、f是不全相等的正数,∴上面“="取不到.∴a2+b2+c2+d2+e2+f2>ab+bc+cd+de+ef+fa成立.绿色通道学会构造柯西不等式，注意观察结构和规律.变式训练4。已知a、b、c、d∈