数学学案：知识导航：圆内接四边形

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2。4圆内接四边形自主整理1.圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补。2。圆内接四边形判定定理:如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆。3。若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等,则此两点与线段两个端点共圆.特别的，对定线段张角为直角的点共圆.高手笔记1.圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理包括两个：定理1是圆的内接四边形对角互补；定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角。这两个定理表述形式稍有差别，但反映的本质相同,都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系，再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程。2.圆内接四边形的判定定理(1）定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。（2）符号语言表述:在四边形ABCD中，如果∠B+∠D=180°,那么四边形ABCD内接于圆.（3）证明思路：要证明四边形ABCD内接于圆，就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验，若能证明这四个点到一个定点距离相等即可。但是这个定点一时还找不出来。不过对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆。因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点，譬如A、B、C三点作一个圆,再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难，所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论,这就说明点D不在圆上是错误的，因此点D只能在圆上.由于点D不在圆上时，可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点D在圆内的情况。假设点D在圆内，若作出对角线BD，设BD和圆交于D′，连结AD′、CD′，则ABCD′为圆内接四边形（如图1.2—103)，则∠ABC+∠AD′C=180°.另一方面,因为∠ADB、∠BDC分别是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B〈∠ADB，∠BD′C〈∠BDC,于是有∠AD′C〈∠ADC.因为已知∠ABC+∠ADC=180°，所以∠ABC+∠AD′C〈180°，这与圆内接四边形的性质定理矛盾.因此可证点D不能在圆内。用类似的方法也可以证明点D也不能在圆外.因此点D在圆上，即四边形ABCD内接于圆。3。判定四点共圆的方法（1）如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆.（2）如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.（3）如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.（4）如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆（因为四个顶点与斜边中点距离相等）。名师解惑圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果,体现了反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法，那么与正面证明相比较，反证法有什么特点？它证明问题的步骤怎样？它有什么优点？剖析：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于；大（小）于/不大（小）于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有（n-1)个；至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水，无本之木，推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾，自相矛盾。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种）与穷举反证法(结论的反面不止一种)，如在上述定理证明中，假设点D不在圆上,则有点D在圆外和点D在圆内两种情况,必须一一证出这两种情况都不成立后,才能肯定点D在圆上。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1）反设；(2）归谬；（3）结论.对于一些从正面难以说明的问题,反证法往往有着出奇制胜的作用。讲练互动【例1】如图1。2—104，已知ABCD为平行四边形，过点A和B的圆与AD、BC分别交于E、F。求证：C、D、E、F四点共圆.图1。2—104分析：连结EF.由∠B+∠AEF=180°，∠B+∠C=180°，可得∠AEF=∠C。证明：连结EF.∵ABCD为平行四边形，∴∠B+∠C=180°.∵A、B、F、E内接于圆,∴∠B+∠AEF=180°。∴∠AEF=∠C.∴C、D、E、F四点共圆.绿色通道要证明四点共圆，首先要把这四个点连结组成四边形,然后说明其对角互补或外角等于它的内对角.变试训练1。圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数.解:由于四边形ABCD是圆内接四边形，故∠A+∠C=∠B+∠D=180°.又∠A：∠B:∠C=3：2：7，∴∠A=180°÷（3+7)×3=54°。∠C=180°-54°=126°。于是∠B=×54°=36°，∠D=180°—36°=144°。【例2】如图1.2-105两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F。若∠EAB=∠DAB。求证：CD=EF。图1。2-105分析：要证CD=EF，只需证明△CBD≌△EBF即可.从图1.2105可以看出,∠C=∠E，∠D=∠F，因此，尚需找一条对应边相等即可。比如，能否推出BC=BE呢？要证BC=BE，只需∠CEB=∠ECB，有无可能呢？可以发现，∠ECB=∠1，又已知∠1=∠2，所以,只需证∠2=∠CEB即可,这时我们发现，A、B、E、C是圆内接四边形，根据性质定理，它的外角∠2与它的内对角∠CEB当然相等.至此，思路完全沟通。证明：∵四边形ABEC为圆内接四边形，∴∠2=∠CEB。又∵∠1=∠ECB,且∠1=∠2,∴∠CEB=∠ECB。∴BC=BE.在△CBD与△EBF中，∠C=∠E,∠D=∠F,BC=BE，∴△CBD≌△EBF.∴CD=EF.绿色通道利用圆内接四边形性质，直接写出∠2=∠CEB,简化了通过弧与角的计算推证∠2=∠CEB的过程，正如运用算术乘法的九九表一样，可以大大简化思维的过程。变试训练2。如图1。2—106，⊙O1与⊙O2为两个等圆，M为O1O2中点，过M的直线分别交⊙O1与⊙O2于A、B、C、D.求证：AB=CD.图1.2-106证明:过O1作O1E⊥AB，过O2作O2F∵∠1=∠2，∠O1EM=∠O2FM=90°.又M为O1O2中点，∴O1M=O2∴△O1EM≌△O2FM，∴O1E=O2F又∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴AB=CD。【例3】如图1。2—107,⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F.求证：CE∥DF.图1.2-107分析：要证明CE∥DF.考虑证明同位角（或内错角)相等或同旁内角互补。由于CE、DF分别在两个圆中，不易找到角的关系，若连结AB，则可构成圆内接四边形，利用圆内接四边形的性质定理可沟通两圆中有关角的关系。证明：连结AB，则四边形ABFD和ABEC都是圆内接四边形。于是∠D+∠ABF=180°①∠C+∠ABE=180°②又∠ABE+∠ABF=180°③①+②—③得∠C+∠D=180°∴CE∥DF。绿色通道（1）本题也可以利用“同位角相等或内错角相等,两直线平行”来证明。如延长EF至G，因为∠DFG=∠BAD，而∠BAD=∠E,所以∠DFG=∠E.（2)本题的辅助线是为了构成圆内接四边形，以利用它的性质,导出角之间的关系.变试训练3.在锐角△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F.求证:FG∥BC。分析:证FG∥BC，只需证∠DFG=∠DBC即可。我们设法由共斜边的两个直角三角形的四顶点共圆来分析角的关系，探求证明的思路。证明：如图,由于Rt△BCE与Rt△BCD共斜边BC，所以B、C、D、E四点共圆。由同弧上的圆周角，有∠DBC=∠DEG.同理，Rt△EDF与Rt△DGE共斜边DE，所以D、E、F、G四点共圆。于是，∠DEG=∠DFG。因此,∠DBC=∠DFG.于是FG∥BC。【例4】如图1.2—108所示，在△ABC中，AB=AC,延长CA到P，再延长AB到Q，使得AP=BQ。求证：△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆.图1.2—108分析：要证O、A、P、Q四点共圆,只需证∠CPO=∠AQO即可，为此，只要证△CPO≌△AQO即可.证明:连结OA、OC、OP、OQ.在△OCP和△OAQ中,OC=OA，由已知CA=AB,AP=BQ,∴CP=AQ。又O是△ABC的外心,∴∠OCP=∠OAC.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上，∴∠OAC=∠OAQ，从而∠OCP=∠OAQ.∴△OCP≌△OAQ。∴∠CPO=∠AQO.∴O、A、P、Q四点共圆。绿色通道本题也可证△OAP≌△OBQ得到角相等,进而说明四点共圆.你可以试着写出另一种证明.变试训练4.如图1.2—109,在△ABC中,AB=AC，BD是AC边上的中线，∠ADB的平分线交AB于E，△AED的外接圆交BD于N,求证：BN=2AE.图1。2-109证明：连结EN，DE平分∠ADB∠1=∠2=【例5】如图1.2—110所示。在半径为1的⊙O中，引两条互相垂直的直径AE和BF，在上取点C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q。证明四边形APQB的面积是1.图1.2—110分析：由已知条件可以证明四边形ABEF是正方形，且边长为2，则正方形面积为2.而△ABD的面积为正方形面积的一半，所以,只需证明S四边形APQB=S△ABD，即证S△BPD=S△BPQ，即证DQ∥PB。因为BP⊥AE，所以，只需证DQ⊥AE.证明：∵AE、BF为互相垂直的两条直径，垂足O为圆心,∴AE、BF互相平分、垂直且相等，∴四边形ABEF是正方形.∴∠ACB=∠AEF=45°,即∠DCQ=∠QED.∴D、Q、E、C四点共圆.连结CE、DQ，则∠DCE+∠DQE=180°.∵AE为⊙O的直径，∴∠DCE=90°,∠DQE=90°。∵∠FOE=90°,进而DQ∥BF,∴S△BPQ=S△BPD，∴S△ABP+S△BPQ=S△ABP+S△BPD,即S四边形ABQP=S△ABD。∵⊙O的半径为1,∴正方形边长为。即AB=AF=。∴S四边形ABQP=S△ABD=AB·AF=1。绿色通道当题目的结论直接证明较繁或无法证明时，可根据条件先证明某四点共圆，再利用