2025届西安市83中高三数学上学期期中考试卷附答案解析

届西安市83中高三数学上学期期中考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则下列关系成立的是（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则复数的共轭复数的模（）A. B. C. D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.中，角A，B，C对边分别是a，b，c，已知,则A=A. B. C. D.5.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知、均为正实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A.B.C. D.8.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若函数fx=Asinωx+φ，的部分图象如图中实线所示，记其与x轴在原点右侧的第一个交点为C，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的是（A.函数的最小正周期是πB.函数在上单调递减C.函数的图象向左平移个单位后关于对称D.若圆C的半径为，则10.已知正实数、满足，则下列结论正确的是（）A B. C. D.11.已知函数，若存在，使得成立，则（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，，且．则____________．13.在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素思想方法，中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”：用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.则用函数“近似计算”的值为_______.（结果用分数表示）.14.已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，．设．（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值．16.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求、的值；（2）判断的单调性；（3）若存在，使成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角三角形中，内角A，B，C所对边分别为.（1）求；（2）若，求的取值范围.18.已知函数．（1）若，求证：在上单调递增；（2）若，判断极大值点个数．19.已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.西安市第八十三中学2024-2025学年度第一学期期中暨高三年级第三次阶段考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则下列关系成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解对数不等式化简集合，再利用元素与集合、集合与集合的关系判断各选项即可.【详解】因为，，，排除A、B；又空集是任何集合的子集，所以，排除D，因为任何集合都是该集合的子集，所以，C正确，故选：C.2.已知复数满足，则复数的共轭复数的模（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数四则运算法则和共轭复数定义求解即可.【详解】，所以，所以.故选：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性及定义域求解即可.【详解】因为等价于，即，解得，所以是的充要条件.故选：C.4.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.【考点】余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.5.已知函数，函数图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数，向右平移个单位长度，得，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，令，得，所以，若函数在上没有零点，则需，所以，所以，若函数在上有零点，则，当k=0时，得，解得，当k=1时，得，解得，综上：函数在上有零点时，或，所以函数在上没有零点，.所以的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.6.已知、均为正实数，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】转化，结合均值不等式，即可得解.【详解】均为正实数，且，则当且仅当时取等号.的最小值为20.故选：C.7.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，通过其单调性可得答案.【详解】因，则.构造函数，，则.令，，则.则在上单调递增，得，则在上单调递增.又注意到，则.故选：D8.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意首先得，进一步得由得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.详解】由题意，则，所以，设Ax1,所以，解得，所以，所以，又由图可知，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若函数fx=Asinωx+φ，的部分图象如图中实线所示，记其与x轴在原点右侧的第一个交点为C，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的是（A.函数的最小正周期是πB.函数在上单调递减C.函数的图象向左平移个单位后关于对称D.若圆C的半径为，则【答案】AD【解析】【分析】A选项，由图象得到，进而得到的最小正周期；B选项，求出，，从而得到，判断出函数不单调；C选项，求出平移后的解析式，得到当时，，故不关于对称；D选项，由圆的半径求出，进而代入解析式，求出，得到答案.【详解】A选项，由图象可知，关于点中心对称，故，设的最小正周期为，则，解得，A正确；B选项，因为，所以，故，将代入解析式得，，因为，所以，故，解得，故，当时，，因为在上不单调，故在上不单调，B错误；C选项，函数的图象向左平移个单位后，得到，当时，，故不关于对称，C错误；D选项，圆C的半径为，由勾股定理得，故，将其代入中，得，解得，故，D正确.故选：AD10.已知正实数、满足，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出、的大小，逐项判断即可.【详解】由，可得，构造函数，其中，则，当且仅当时，等号成立，故函数在上为增函数，当时，，即，因为、为正实数，所以，，构造函数，其中，则，故函数在上为增函数，由可得，所以，，A对B错，因为对数函数在上为增函数，则，C对；因为，则，即，D对.故选：ACD.11.已知函数，若存在，使得成立，则（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，的最小值为【答案】ACD【分析】求出，则可得f(x)在上单调递增在上单调递减，则可画出f(x)的图像，利用同构可知等价于，结合图像则可判断AB选项，当时，则可得，，构造函数即可判断CD选项.【详解】，，，当时，，f(x)在上单调递增，当时，，f(x)在上单调递减，所以的图像如图所示：又，即，当时，要使越小，则取，故有，故A正确；又与均可趋向于，故B错误；当，且，记，，恒成立，即在上单调递增，所以，即当成立，故C正确；，令，在单调递减，在单调递增，，故D正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与交点，属于难题；画出f(x)的图像，利用同构可知等价于，则可求出判断出AB选项，构造函数，则可判断C选项，构造函数则可判断D选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量，，且．则____________．【答案】5【分析】根据得到，解得，然后利用坐标求模长即可.【详解】因为，所以，解得，所以，.故答案为：5.13.在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”：用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.则用函数“近似计算”的值为_______.（结果用分数表示）.【答案】【分析】根据题意发现非常接近，从而求得在处的切线方程，从而在附近用代替计算即可得解.【详解】函数的导数为，所以，又，则函数在点处的切线，所以在附近可以用代替，即，因为非常接近，故.故答案为：.14.已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为__________．【答案】【分析】先研究的单调性，故可得，从而可求正整数的最大值.【详解】设，故，当时，f′x>0；当时，f故在上为增函数，在上为减函数，因为，故即，故，故，所以即，而，，故正整数的最大值为，故答案为：.【点睛】关键点点睛：导数背景下多变量的不等式问题，可根据题设中的不等式的形式构建新函数，从而得到各参数的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，．设．（1）求函数的最小正周期；（2）若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算求出，然后利用三角公式整理为的形式，就可以求出周期了；（2）先通过求出，再通过展开计算即可.【小问1详解】，所以的最小正周期为；【小问2详解】由（1）得，由得，所以，则．16.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求、的值；（2）判断的单调性；（3）若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）减函数，证明见解析（3）【分析】（1）由，可求出实数、的值，然后验证函数为奇函数即可；（2）判断出函数为R上的减函数，然后任取、，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；（3）由奇函数的性质以及函数的单调性可得出，求出在0,4上的最小值，即可得出实数的取值范围.【小问1详解】因为函数是定义域为R的奇函数，则，解得，所以，，因为，，由奇函数的定义可得，可得，解得，故，则，下面验证函数为奇函数，因为函数的定义域为R，则，即函数为奇函数，因此，满足题意.【小问2详解】函数为R上的减函数，理由如下：任取、，且，则，所以，，即，故函数在R上为减函数.【小问3详解】存在，使，则，所以，，则，由题意可得k>t25min=017.已知在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式可得，再结合为锐角三角形，可得角.（2）根据正弦定理，结合三角形内角和定理，把表示成角的函数，结合角的范围，可得的范围.【小问1详解】由，得，得，得，得，所以，即，又，所以.【小问2详解】在中，由正弦定理得，所以.因为，所以所以因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，所以，即，故的取值范围为.18.已知函数．（1）若，求证：在上单调递增；（2）若，判断极大值点的个数．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，分、两种情况，令，分析函数的单调性，再利用函数单调性与导数的关系可证得结论成立；（2）当时，利用导数分析函数的单调性，利用函数极值点与导数的关系可得出结论.【小问1详解】因为，所以．若，因为函数、在上均为增函数，则在上单调递增，且，，故当时，，在上单调递增；若，设，则，因为函数、在上均为增函数，则在上单调递增，故当时，，在上单调递增，由得，所以当时，，在上单调递增．综上，当时，在上单调递增．【小问2详解】由（1）得，当时，因为函数、在上均为增函数，则在上单调递增，又，因为函数在上单调递增，则，则，，所以存在，使得，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增．，又，所以存使得，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是的极大值点．由当时，，单调递增，可知在上没有极大值点．所以有唯一极大值点，故极大值点的个数为．【点睛】思路点睛：若函数的零点存在，但无法求出，我们常先设其为，再利用函数的单调性及零点存在定理确定所在的区间，进而解决问题，我们把这类问题称为“隐零点”问题．利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间上是连续不断的曲线，且，还需要结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．19.已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．（3）．【解析】【详解】试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法