2023年安徽省初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2023年安徽省初中学业水平考试·数学一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.－5的相反数是()A.－5 B.－1C.15 D1.D2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为()2.B3.下列计算正确的是()A.a4＋a4＝a8 B.a4·a4＝a16C.(a4)4＝a16 D.a8÷a4＝a23.C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误Aa4＋a4＝2a4≠a8×Ba4·a4＝a8≠a16×C(a4)4＝a16√Da8÷a4＝a4≠a2×4.在数轴上表示不等式x－12＜0的解集，正确的是4.A【解析】解不等式x－12<0，得x<1，开5.下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是()A.y＝x2＋1 B.y＝－x2＋1C.y＝2x＋1 D.y＝－2x＋15.D【解析】A.当x>0时，y随x的增大而增大B.当x<0时，y随x的增大而增大；C.k＝2＞0，y随x的增大而增大；D.k＝－2＜0，y随x的增大而减小．6.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A.60° B.54° C.48° D.36°6.D【解析】由题意得∠BAE＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD＝360°5＝72°，∴∠7.如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为()A.59 B.C.13 D.7.C【解析】数字1，2，3组成三位数共有6种等可能的结果：123，132，213，231，312，321，其中123和321是“平稳数”，故P(恰好是“平稳数”)＝26＝18.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝()A.23 B.3C.5＋1 D.108.B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴AEEC＝∵AFFB＝21，∴A∵CD∥AG，∴∠DCE＝∠GAE，∠CDE＝∠AGE，∴△DCE∽△GAE，∴AGCD＝AECE＝21∵AB＝CD，∴CD＝BG，∵∠DCM＝∠GBM＝90°，∠DMC＝∠GMB，∴△DCM≌△GBM，∴DM＝GM＝12DG∵AF＝2，FB＝1，∴AB＝3.∵AD＝AB＝3，∴AG＝6，∴DG＝32＋62＝35

，∴MG9.已知反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为(9.A【解析】由图象可知反比例函数图象经过点(1，b－1)，∴k＝b－1，∵b－1＞1，∴b>2，∴k－1＝b－2>0.在函数y＝x2－bx＋k－1中，当x＝0时，y＝k－1>0，B，C选项错误；当x＝1时，y＝1－b＋k－1＝1－(k＋1)＋k－1＝－1<0，D选项错误，A选项符合题意．10.如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是()A.PA＋PB的最小值为33B.PE＋PF的最小值为23C.△CDE周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为3310.A【解析】如解图①，延长AD，BC交于点Q，连接QE，则四边形QDEC为平行四边形，∵点P为CD的中点，∴点P为QE的中点，过点P作MN∥AB，交AQ于点M，交BQ于点N，∴点P的轨迹为△QAB的中位线MN.作点A关于MN的对称点A′，如解图②，当A′B和MN交于点P时，PA＋PB的值最小，即A′B的值，此时PA＋PB＝（23）2＋42＝27∵点F关于MN的对称点为点Q，PE＋PF＝PQ＋PE≥QF，当QE⊥AB时，有最小值23

，故B选项正确，不符合题意；当CD∥AB时，△CDE周长有最小值6，故C选项正确，不符合题意；如解图③，记CE与MN的交点为I，当△QCD的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，易知S△PMD＝S△PIC，当点C和点N重合时，S△QCD的面积最大，此时S四边形ABCD最小＝33，故D选项正确，不符合题意．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.计算：83＋1＝________11.3【解析】83＋1＝2＋1＝12.据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为________．12.7.45×109【解析】74.5亿＝7450000000＝7.45×109.13.清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝12(BC＋AB2－AC2BC)．当AB＝7，BC＝6，13.1【解析】将AB＝7，BC＝6，AC＝5代入公式中得BD＝12×(6＋72－526)＝5，∴CD＝BC－BD14.如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝kx(k>0)的图象经过斜边OB的中点C(1)k＝________；(2)D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2－BD2的值为________．14.(1)3(2)4【解析】(1)如解图，过点C作CM⊥x轴于点M，∵AB＝2，∠BOA＝30°，∠BAO＝90°，∴OA＝23，∵C为OB的中点，∴CM＝12AB＝1，OM＝3，∴k＝3(2)如解图，延长DB交y轴于点F，延长BD交x轴于点E，过点D分别作DP⊥y轴于点P，DQ⊥x轴于点Q，∴BO＝BE＝BF，∴OB2－BD2＝(OB＋BD)(OB－BD)＝DF·DE＝23DP·2DQ＝43DP·DQ＝43解图三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15.先化简，再求值：x2＋2x＋1x15.解：原式＝（x＋1）2当x＝2－1时，原式＝2.16.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元．求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．16.解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为(x＋10)元，由题意得(1＋10%)x＋1＝x＋10－5，解得x＝40，∴调整前乙地该商品的销售单价为40＋10＝50．答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点(网格线的交点)．(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；(2)将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB.17.解：(1)如解图，线段A1B1即为所求线段；(2)如解图，线段A2B2即为所求线段；(3)如解图，直线MN即为所求直线．解图18.【观察思考】(1)第n个图案中“◎”的个数为________；(2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32

，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×52，…(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1＋2＋3＋…＋n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．18.解：(1)3n；(2)n（(3)由题意可列方程n（n＋1解得n＝0(舍去)或n＝11，∴当n＝11时，符合条件．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m)．参考数据：sin24.2°≈0.41，cos24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75.19.解：在Rt△ARO中，∵AB＝40，∠ARO＝24.2°，∴AO＝AR·sin∠ARO＝40sin24.2°，OR＝AR·cos∠ARO＝40cos24.2°，在Rt△BRO中，∵∠BRO＝36.9°，∴OB＝OR·tan∠BRO＝ORtan36.9°，∴AB＝OB－OA＝40cos24.2°·tan36.9°－40sin24.2°≈10.9(m)．答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9m．20.已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．(1)如图①，连接OA，CA，若OA⊥BD

，求证：CA平分∠BCD；(2)如图②，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝33，AE＝3，求弦BC的长．20.(1)证明：∵OA⊥BD，且OB＝OD，∴AO垂直平分BD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ACD＝∠ABD，∠ADB＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB，∴CA平分∠BCD；(2)解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴CD⊥BC，∵AE⊥BC，∴AE∥CD，同理AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∴CD＝AE，∵AE＝3，∴CD＝3，∴BC＝BD2－CD2＝六、(本题满分12分)21.端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩(单位：分)均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：七年级10名学生活动成绩扇形统计图八年级10名学生活动成绩统计表成绩/分678910人数12ab2已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．请根据以上信息，完成下列问题：(1)样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是________，七年级活动成绩的众数为________分；(2)a＝________，b＝________；(3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．21.(1)七年级活动成绩为7分的学生数为10×(1－50%－20%－20%)＝1(人)，七年级10名学生中得8分的学生数最多，所以七年级活动成绩的众数为8分．(2)∵八年级10名学生成绩的中位数为8.5分，∴第5名，第6名学生成绩的平均数为8.5.分，∴第5名学生成绩为8分，第6名学生成绩为9分，∴a＝2，b＝3.解：(3)本次活动中优秀率高的年级不是平均成绩也高．理由如下：∵七年级优秀率为40%，平均成绩为7×1＋8×5八年级优秀率为50%，平均成绩为6×1＋7×2∴七年级虽然优秀率低于八年级，但平均成绩却高于八年级，答：不能说明优秀率高的年级平均成绩也高．七、(本题满分12分)22.在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.(1)如图①，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB.(ⅰ)如图②，连接CD，求证：BD＝CD；(ⅱ)如图③,连接BE,若AC=8,BC=6,求tan∠ABE

的值.22.(1)解：∵线段MA绕点M旋转至MD位置，∴MA＝MD，∴∠MAD＝∠MDA，∵点M是AB的中点，∴MA＝MB，∴MB＝MD，∴∠MBD＝∠MDB，∵∠DAB＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∴∠MAD＋∠MDA＋∠MBD＋∠MDB＝180°，∴2∠MDA＋2∠MDB＝180°，∴∠MDA＋∠MDB＝90°，∴∠ADB＝90°；（一题多解）(1)解：如解图③，连接CM，∵∠ACB＝90°，M为AB的中点，∴MA＝MC＝MB，∵MD＝MA，∴A，C，D，B四点共圆，∴∠ADB＝∠ACB＝90°；解图③(i)证明：如解图①，连接CM，∵点M是AB的中点，∠ACB＝90°，∴AM＝CM＝BM，∵EM⊥AD，∴EM∥BD，∵ED∥BM，∴四边形EMBD是平行四边形，∴ED＝BM，∴ED＝AM，∴四边形AMDE是平行四边形，∴AE∥DM，∴∠EAM＝∠DMB，∠ACM＝∠DMC，∵AM＝CM，∴∠EAM＝∠ACM，∴∠DMB＝∠DMC，∵MC＝MB，MD＝MD，∴△MCD≌△MBD，∴BD＝CD；（一题多解）(2)(i)证明：如解图④，由(1)知，BD⊥AD，∵ME⊥AD，∴ME∥BD，∵DE∥AB，∴四边形DEMB为平行四边形，∴DE＝MB，∴DE＝AM，∴四边形EDMA为平行四边形，∵EM⊥AD，∴四边形EDMA为菱形，∴∠DAB＝∠CAD，∴BD＝CD；(ii)解：如解图②，过点E作EH⊥AB于点H，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝AC2∵EM⊥AD，∴▱AMDE是菱形，∴AE＝AM＝12AB＝5∵∠EAH＝∠BAC，∠EHA＝∠BCA＝90°，∴△EAH∽△BAC，∴EHBC＝AHAC＝AE∴EH＝3，AH＝4，∴BH＝AB－AH＝10－4＝6，∴tan∠ABE＝EHBH＝36（一题多解）(ii)解：如解图⑤，过点E作EQ⊥AB于点Q，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴AM＝AE＝5，sin∠BAC＝35∴EQ＝3，AQ＝4，∴BQ＝6，∴tan∠ABE＝EQBQ＝36八、(本题满分14分)23.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx

(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2.(1)求a，b的值；(2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的