专题26 尺规作图（讲义）

专题26尺规作图的核心知识点精讲复习目标1.了解基本作图的概念．2.掌握五种基本作图的方法，并会按要求作出图形．3.会写已知、求作和作法，掌握准确的作图语言．4.能运用尺规基本作图解决有关的作图简单应用考点梳理考点1：尺规作图1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图．2．步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；(2)分析作图的方法和过程；(3)用直尺和圆规进行作图；(4)写出作法步骤，即作法．考点2：五种基本作图考点3：基本作图的应用1．利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)．(2)作三角形的内切圆．典例引领【题型1：根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论及计算】【典例1】（2023•山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为．即时检测【变式1-1】（2023•德州）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（）A．5 B．6 C． D．8【变式1-2】（2023•长春）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE【变式1-3】（2023•贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-4】（2023•新疆）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）A． B．1 C． D．2典例引领【题型2：尺规作图及相关证明与计算】【典例2】（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是．即时检测【变式2-1】（2023•盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．（1）求证：AC＝AD．（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）【变式2-2】（2023•陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）【变式2-3】（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．【变式2-4】（2023•济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．基础过关一．选择题（共8小题）1．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OC，则△DOC≌△EOC的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE交AB于点F．若∠B＝55°，则∠ACF的大小是（）A．10° B．15° C．20° D．25°3．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．4．如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若∠EBD＝32°，则∠A的度数为（）A．50° B．58° C．60° D．64°5．如图是一个钝角△ABC，利用一个直角三角板作边AC上的高，下列作法正确的是（）A． B．C． D．6．如图，已知在△ABC中，边BC的垂直平分线DF交AC于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点P，作射线BP恰好交AC于点E．若AB＝8，BC＝12，△BDE的面积为9，则△ABC的面积为（）A．9 B．12 C．30 D．277．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若∠ACB＝72°，则∠DMA的大小为（）A．72° B．54° C．36° D．22°8．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是（）A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm二．填空题（共2小题）9．如图，已知线段AB＝8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为．10．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．三．解答题（共6小题）11．如图，已知线段a和线段AB．（1）尺规作图：延长线段AB到点C，使BC＝a（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB＝5，BC＝3，求线段AC的长．12．如图，在△ABC中，BC＞AB，△ABC的周长为27cm．（1）尺规作图：作AC的垂直平分线DE，分别交BC、AC于点D、E，连接AD；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若AE＝3cm，求△ABD的周长．13．如图，已知锐角∠AOC，按照下面给出的画法补全图形，并回答问题．（1）画法：①画∠AOC的角平分线OP，在射线OP上任意取一点E；②过点E画EM∥OA，交射线OC于点G．（2）问题：请通过观察、度量，判断你画出的图形中与∠AOP相等的角．直接写出两个即可．（∠AOP除外）14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．（1）利用尺规作图，作△ABC中AC边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：．15．如图，在锐角三角形ABC中，D为BC边上一点，∠B＝∠BAD＝∠CAD，在AD上求作一点P，使得∠APC＝∠ADB．（1）通过尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹）；（2）证明满足此作图的点P即为所求．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，画直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连结AE．（1）由作图可知，直线MN是线段AB的；（2）当AC＝3，BC＝6时，求△ACE的周长；（3）若∠CAE的度数是15°，求∠B的度数．能力提升一．选择题（共11小题）1．如图，BD为▱ABCD的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交AD，BC于点E，F，交BD于点O，连接BE，DF．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（）A．点O为▱ABCD的对称中心 B．BE平分∠ABD C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED D．四边形BEDF为菱形2．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A． B．3 C．4 D．53．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B．D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AB＝3，BC＝6，则四边形MBND的周长为（）A．15 B．9 C． D．4．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为（）A． B．1 C． D．5．如图，▱ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接BE、DF．若∠BAD＝120°，AE＝1，AB＝2，则线段BF的长是（）A． B． C．3 D．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，交BC于点D；③以点D为圆心，DC的长为半径画圆弧，交AB于点E，连结CE，则AE的长为（）A． B． C． D．7．观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（）A． B． C． D．8．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC＝2，BC＝，则PM+PC长度的最小值为（）A． B． C．3 D．49．如图，▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上．以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E；画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（）A． B． C． D．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点P，作射线BP交AC于点D，若AC＝2BC，则S△BCD：S△ABD的值为（）A． B． C． D．11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB，BC于D，E两点，再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，射线BF交AC于点G，则tan∠CBG＝（）A． B． C． D．二．解答题（共2小题）12．如图所示，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝BC＝6．（1）求△ABC的面积以及的值；（2）作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．13．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法，保留作图痕迹）；（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．真题感知1．（2022•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（）A． B． C． D．2．（2022•盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（）A． B．4 C．6 D．3．（2023•成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC于点E．若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为．4．（2023•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为．5．（2023•西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为．6．（2023•滨州）（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）7．（2023•郴州）如图，四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图；作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）；（2）若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形．8．（2023•广东）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝30°．（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．9．（2023•绥化）已知：点P是⊙O外一点．（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）（2）在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF＝30°，求∠EDF的度数．

专题26尺规作图的核心知识点精讲典例引领【题型1：根据尺规作图的痕迹、步骤判断结论及计算】【典例1】（2023•山西）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为．【答案】．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，∵BA＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝60°，∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE，∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF＝＝，∴＝，故答案为：．即时检测【变式1-1】（2023•德州）如图，在∠AOB中，以点O为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，若OE＝8，则C，D两点之间的距离为（）A．5 B．6 C． D．8【答案】B【解答】解：连接CE，DE，CD，设CD与OE交于点F，由作图可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，∴四边形OCED为菱形，∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF，由勾股定理得，CF＝＝3，∴CD＝2CF＝6，即C，D两点之间的距离为6．故选：B．【变式1-2】（2023•长春）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE【答案】B【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点D、E；②分别以点D、E为圆心，DF长为半径作弧，两弧在∠MAN内相交于点F；③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线．根据角平分线的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，故选：B．【变式1-3】（2023•贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．∴∠ADG＝∠CDG，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CG＝CD＝3，∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．故选：A．【变式1-4】（2023•新疆）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点F，交AC于点E，分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，过D作DH⊥AB于H，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，在Rt△ACD与Rt△AHD中，，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH＝AC＝3，∴BH＝AB﹣AH＝2，∵BH2+DH2＝BD2，∴22+CD2＝（4﹣CD）2，∴CD＝．方法二：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，过D作DH⊥AB于H，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，在Rt△ACD与Rt△AHD中，，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH＝AC＝3，∴BH＝AB﹣AH＝2，在Rt△BDH中，tanB＝，在Rt△ABC中，∵，∴，∴，∴，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，过D作DH⊥AB于H，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DH，S△ABC＝＝S△ACD+S△ABD＝，∴AC•BC＝AC•CD+AB•DH，设CD＝DH＝x，∴3×4＝3x+5x，∴，故选：C．典例引领【题型2：尺规作图及相关证明与计算】【典例2】（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是3﹣π．【答案】（1）见解答；（2）3﹣π．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）∵PM和PN为⊙O的切线，∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，∴OM＝PM＝×3＝，∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON＝2××3×﹣＝3﹣π．故答案为：3﹣π．即时检测【变式2-1】（2023•盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．（1）求证：AC＝AD．（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）证明过程见解答；（2）图形见解答．【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD；（2）解：如图AF即为所求．【变式2-2】（2023•陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解答．【解答】解：如图所示：E、F即为所求．【变式2-3】（2023•河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】（1）解：如图所示，即为所求，（2）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴DE＝BE．【变式2-4】（2023•济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．【答案】（1）见解答；（2）①四边形BEDF是菱形，理由见解答；②25．【解答】解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线，（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF是菱形；②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，∵AB＝5，∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，解得x＝6.25，∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．基础过关一．选择题（共8小题）1．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OC，则△DOC≌△EOC的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【解答】解：由作图痕迹可知，OD＝OE，CD＝CE，∵OC＝OC，∴△DOC≌△EOC（SSS）．∴△DOC≌△EOC的依据是SSS．故选：A．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE交AB于点F．若∠B＝55°，则∠ACF的大小是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝55°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°，由作法得CF⊥AB，∴∠AFC＝90°，∴∠ACF＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．故选：C．3．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC，∴PA＝PC，∴点P在AC的垂直平分线上，即点P为AC的垂直平分线与BC的交点．故选：D．4．如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若∠EBD＝32°，则∠A的度数为（）A．50° B．58° C．60° D．64°【答案】B【解答】解：根据作图可得PQ是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠C＝∠EBD＝32°，∵∠ABC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣32°＝58°，故选：B．5．如图是一个钝角△ABC，利用一个直角三角板作边AC上的高，下列作法正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如图选项A中，线段BD是△ABC的高．故选：A．6．如图，已知在△ABC中，边BC的垂直平分线DF交AC于点E，再以点B为圆心，任意长为半径画弧交BA，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点P，作射线BP恰好交AC于点E．若AB＝8，BC＝12，△BDE的面积为9，则△ABC的面积为（）A．9 B．12 C．30 D．27【答案】C【解答】解：过点E作EG⊥AB于点G，由作图可知，射线BP为∠ABC的平分线，∵直线DF为线段BC的垂直平分线，∴∠BDF＝90°，BD＝CD＝＝6，∴DE＝EG，∵△BDE的面积为9，∴S△BCE＝2S△BDE＝18，＝，∴DE＝3，∴EG＝3，∴＝12，∴S△ABC＝S△ABE+S△BCE＝12+18＝30．故选：C．7．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点H，画射线AH交DC于点M．若∠ACB＝72°，则∠DMA的大小为（）A．72° B．54° C．36° D．22°【答案】B【解答】解：在长方形ABCD中，∵AB∥CD，∠ACB＝72°，∴∠CAD＝∠ACB＝72°，由作法得：AH平分∠CAD，∴∠DAM＝CAD＝36°，∵∠D＝90°，∴∠DMA＝90°﹣36°＝54°，故选：B．8．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC、BC分别相交于E和D，连接AD，若AE＝3cm，△ABC的周长为13cm，则△ABD的周长是（）A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm【答案】A【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，∴AE＝CE＝3，DA＝DC，∵△ABC的周长为13cm，即AB+BC+AC＝13，∴AB+BD+DA+6＝13，即AB+BD+DA＝7，∴△ABD的周长为7cm．故选：A．二．填空题（共2小题）9．如图，已知线段AB＝8cm，分别以点A，B为圆心，以5cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为48cm2．【答案】48cm2．【解答】解：由作法AC＝BC＝AD＝BD＝5cm，∴四边形ACBD为菱形，∴AB⊥CD，OA＝OB＝AB＝4cm，OC＝OD，连接CD交AB于点O，如图，在Rt△AOC中，OC＝＝3（cm），∴CD＝2OC＝6cm，∴四边形ACBD的面积＝8×6＝48（cm2）．故答案为：48cm2．10．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为4cm．【答案】4．【解答】解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4．故答案为：4．三．解答题（共6小题）11．如图，已知线段a和线段AB．（1）尺规作图：延长线段AB到点C，使BC＝a（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AB＝5，BC＝3，求线段AC的长．【答案】（1）作图见解答过程；（2）8．【解答】（1）根据线段的定义即可延长线段AB到C，使BC＝a；（2）AC＝AB+BC＝5+3＝8．12．如图，在△ABC中，BC＞AB，△ABC的周长为27cm．（1）尺规作图：作AC的垂直平分线DE，分别交BC、AC于点D、E，连接AD；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若AE＝3cm，求△ABD的周长．【答案】（1）见解析；（2）21cm．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）由作图可知AE＝EC＝3cm，DA＝DC，∴AC＝6cm，∵△ABC的周长为27cm，∴AB+BC＝27﹣6＝21（cm），∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝21cm．13．如图，已知锐角∠AOC，按照下面给出的画法补全图形，并回答问题．（1）画法：①画∠AOC的角平分线OP，在射线OP上任意取一点E；②过点E画EM∥OA，交射线OC于点G．（2）问题：请通过观察、度量，判断你画出的图形中与∠AOP相等的角．直接写出两个即可．（∠AOP除外）【答案】（1）见解答．（2）∠COP，∠MEP，∠OEG（任意写出两个即可）．【解答】解：（1）如图所示．（2）图中与∠AOP相等的角有：∠COP，∠MEP，∠OEG（任意写出两个即可）．14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．（1）利用尺规作图，作△ABC中AC边上的高BD（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】（1）解：如图，线段BD即为所求；（2）证明：过点A作AF⊥BC于点F．∵BD⊥AC，∴∠OFB＝∠ODA＝90°，∵∠BOF＝∠AOD，∴∠CBD＝∠CAF，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠BAF＝∠CAF，∴∠CBD＝∠BAC．15．如图，在锐角三角形ABC中，D为BC边上一点，∠B＝∠BAD＝∠CAD，在AD上求作一点P，使得∠APC＝∠ADB．（1）通过尺规作图确定点P的位置（保留作图痕迹）；（2）证明满足此作图的点P即为所求．【答案】（1）（2）见解析．【解答】解：（1）如图，点P即为所求；（2）理由：∵点P在AC的垂直平分线上，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∴∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠PAC，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝2∠DAC，∴∠CPD＝∠ADC，∴∠APC＝∠ADB，∴点P即为所求作．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，画直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连结AE．（1）由作图可知，直线MN是线段AB的垂直平分线；（2）当AC＝3，BC＝6时，求△ACE的周长；（3）若∠CAE的度数是15°，求∠B的度数．【答案】（1）垂直平分线；（2）9；（3）37.5°．【解答】解：（1）由作图可知：直线MN是线段AB的垂直平分线；故答案为：垂直平分线；（3）解：由（2）可知：△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝6，∴△ACE的周长＝AC+BC＝3+6＝9；（3）∵∠C＝90°，∠CAE＝15°，∴∠CEA＝90°﹣15°＝75°，∵EA＝EB，∴∠B＝∠EAB，∵∠CEA＝∠B+∠EAB，∴∠B＝∠CEA＝37.5°．能力提升一．选择题（共11小题）1．如图，BD为▱ABCD的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交AD，BC于点E，F，交BD于点O，连接BE，DF．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（）A．点O为▱ABCD的对称中心 B．BE平分∠ABD C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED D．四边形BEDF为菱形【答案】B【解答】解：根据作图可知：EF垂直平分BD，∴BO＝DO，∴点O为▱ABCD的对称中心，故A正确；∴BE＝ED，BF＝FD，∵FE＝EF，∴△BFE≌△DFE（SSS），∴∠BFE＝∠DFE，∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝DF，∴BE＝DE＝DF＝BF，∴四边形BFDE是菱形，故D正确；∴S△BDE＝S△BFD，∴S△ABE：S△BDF＝S△ABE：S△BDE＝AE：ED，故C正确；∵无法证明∠ABE＝∠DBE，∴BE不一定平分∠ABD，故B错误，故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A． B．3 C．4 D．5【答案】D【解答】解：连接AD，交直线EF于点N，设EF交AB于点G，由题意得，直线EF为线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG，EF⊥AB，∴当点M与点N重合时，BM+MD长度最小，最小值即为AD的长．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵BC＝4，△ABC面积为10，∴＝10，解得AD＝5．故选：D．3．如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B．D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若AB＝3，BC＝6，则四边形MBND的周长为（）A．15 B．9 C． D．【答案】A【解答】解：由作图过程可得：PQ为BD的垂直平分线，∴BM＝MD，BN＝ND．设PQ与BD交于点O，如图，则BO＝DO．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，在△MDO和△NBO中，，∴△MDO≌△NBO（AAS），∴DM＝BN，∴四边形BNDM为平行四边形，∵BM＝MD，∴四边形MBND为菱形，∴四边形MBND的周长＝4BM．设MB＝x，则MD＝BM＝x，∴AM＝AD﹣DM＝6﹣x，在Rt△ABM中，∵AB2+AM2＝BM2，∴32+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴四边形MBND的周长＝4BM＝15．故选：A．4．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），连接AC按照下列方法作图：（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交CA，CD于点E，F；（2）分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧交于点G；（3）作射线CG交AD于H，则线段DH的长为（）A． B．1 C． D．【答案】C【解答】解：∵O为线段BC的中点，矩形ABCD的顶点D（2，3），∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，如图，过H点作HM⊥AC于M，由作法得CH平分∠ACD，∵HM⊥AC，HD⊥CD，∴HM＝HD，在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，在Rt△CHD和Rt△CHM中，，∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），∴CD＝CM＝3，∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，设DH＝t，则AH＝4﹣t，HM＝t，在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝1.5，即HD＝1.5，故选：C．5．如图，▱ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接BE、DF．若∠BAD＝120°，AE＝1，AB＝2，则线段BF的长是（）A． B． C．3 D．【答案】D【解答】解：过B点作BH⊥AE于H点，如图，∵∠BAD＝120°，∴∠BAH＝60°，在Rt△ABH中，∵AH＝AB＝1，∴BH＝AH＝，在Rt△BHE中，BE＝＝＝，由作法得MN垂直平分BD，∴EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠FBD，∴∠EBD＝∠FBD，∴∠BEF＝∠BFE，∴BF＝BE＝．故选：D．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，交BC于点D；③以点D为圆心，DC的长为半径画圆弧，交AB于点E，连结CE，则AE的长为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，由作图可知BC是直径，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∠AEC＝∠ACB，∴△ACE∽△ABC，∴＝，∴AE＝＝．故选：C．7．观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知∠B＝∠C，△ABC是等腰三角形，不符合题意；B、根据垂直平分线的作法可知AB＝AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意；C、如图，根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC∥BD，∠ACB＝∠CBD，根据角平分线的作法可知，∠ABC＝∠CBD，∴∠ABC＝∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合题意；D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，故选：D．8．如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC＝2，BC＝，则PM+PC长度的最小值为（）A． B． C．3 D．4【答案】A【解答】解：如图：过P作PNAB于N，过C作CH⊥AB，由作图得：AD平分∠BAC，则PM＝PN，∴PM+PC＝PN+PC≥CN≥CH，在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，∴AB＝，∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，即：2＝CH，解得CH＝，故选：A．9．如图，▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上．以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N；分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E；画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由作法得OF平分∠AOC，∴∠AOF＝∠COF，∵四边形AOCD为平行四边形，∴AD∥OC，∴∠AFO＝∠COF，∴∠AOF＝∠AFO，∴AF＝AO，AD交y轴于H点，如图，设AH＝t，∵F（2，3），∴OH＝3，HF＝2，∴AO＝t+2，在Rt△AOH中，t2+32＝（t+2）2，解得t＝，∴A（﹣，3）．故选：A．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点P，作射线BP交AC于点D，若AC＝2BC，则S△BCD：S△ABD的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：过D点作DG⊥AB于G点，如图，根据作图可知：BP平分∠ABC，∵DG⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DG，∵在Rt△ABC中，AC＝2BC，∴，∴，∴在Rt△ADG中，，∵，∴S△BCD：S△ABD＝CD：AD，∵CD＝DG，∴，故选：B．11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，以点B为圆心，小于AB的长为半径画弧，分别交AB，BC于D，E两点，再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，射线BF交AC于点G，则tan∠CBG＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根据题意可得BF是∠ABC的角平分线，过G作GH⊥CB，垂足为H，∵∠A＝90°，∴GH＝GA，且BC＝＝＝10，设AG＝x，则GH＝x，CG＝8﹣x，∵＝，∴（8﹣x）×6＝，解得x＝3，∴AG＝3，∴tan∠CBG＝tan∠ABG＝＝＝，故选：A．二．解答题（共2小题）12．如图所示，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝BC＝6．（1）求△ABC的面积以及的值；（2）作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】（1）；；（2）作图见解析过程．【解答】解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵AC＝BC∴D为AB中点即AD＝BD＝2，CD平分∠ACB即，由勾股定理可知，∴，∴．（2）如图，分别作线段AB，BC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，两垂直平分线的交点O到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆圆心，以O为圆心，OA为半径作圆，即为所求．13．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点．（1）请用圆规和直尺画BE的垂直平分线交⊙O于点C，点C位于AB上方（不写作法，保留作图痕迹）；（2）设EA和BC的延长线相交于点D，试说明∠BCE＝2∠BDE．【答案】（1）图形见解答；（2）证明过程见解答．【解答】解：（1）如图，直线CF即为BE的垂直平分线；（2）∵直线CF为BE的垂直平分线，∴CE＝CB，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴∠BCE＝2∠BCF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴OF∥AE，∴∠BDE＝∠BCF，∴∠BCE＝2∠BDE．真题感知1．（2022•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：设MN与AC的交点为O，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8，∴△ADC为直角三角形，∵CD＝6，AD＝8，∴，，又由作图知MN为AC的垂直平分线，∴∠MOA＝90°，，在Rt△AOE中，，∵cos∠CAD＝cos∠EAO，∴，∴．故选：D．2．（2022•盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（）A． B．4 C．6 D．【答案】A【解答】解：如图，连接OC．根据作图知CE垂直平分AO，∴AC＝OC，AE＝OE＝1，∴OC＝OB＝AO＝AE+EO＝2，∴AC＝OC＝AO＝AE+EO＝2，即AB＝AO+BO＝4，∵线段AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理得