新疆乌鲁木齐六十八中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年新疆乌鲁木齐六十八中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）.1．（3分）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a3＝a9 B．（2a2）3＝6a6 C．a6÷a2＝a4 D．3a2+a2＝4a43．（3分）下列图形对称轴最多的是（）A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．线段4．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为（）A．8 B．11 C．13 D．145．（3分）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点6．（3分）下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形7．（3分）如图，A、B、C、D四点共线，AE∥DF，AE＝DF．要使△EAC≌△FDB，可添加的条件是（）A．∠E＝∠D B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝CD8．（3分）如图，直线DE过点A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（）A．BP是∠ABC的平分线 B．S△CBD：S△ABD＝1： C．AD＝BD D．CD＝BD10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C，交AF于点F，连接EF，下列结论：①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4，则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）.11．（3分）（1）（﹣a3）4•（﹣a）3＝；（2）＝．12．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，CD⊥AB于点D，若AB＝10，则BD＝．13．（3分）已知点A（a，﹣3），B（4，b）关于x轴对称，则a+b＝．14．（3分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．若∠ABE＝20°，则∠EFC′的度数为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，点D在AB上且AD＝AC，连结CD，则∠BCD＝°．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为．三、计算与解答题（17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题8分，22题8分，23题8分，共52分）.17．（6分）（1）（a2）4•a3﹣（a3）3•a2；（2）2xy2（﹣x2+2y2+1）．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）若在y轴上存在一点P使得△BCP的面积是△ABC面积的2倍，则点P的坐标为．19．（8分）如图，点D，E分别在AC，AB上，AD＝AE，BE＝CD．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠COD的度数．20．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．21．（8分）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？22．（8分）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）若点E关于直线BC的对称点为M（如图2），连接DM，AM．求证：DA＝AM．23．（8分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是；（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．

2024-2025学年新疆乌鲁木齐六十八中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）.1．（3分）用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3•a3＝a9 B．（2a2）3＝6a6 C．a6÷a2＝a4 D．3a2+a2＝4a4【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．【解答】解：A、a3•a3＝a6，故该项不正确，不符合题意；B、（2a2）3＝8a6，故该项不正确，不符合题意；C、a6÷a2＝a4，故该项正确，符合题意；D、3a2+a2＝a2，故该项不正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方和合并同类项，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．3．（3分）下列图形对称轴最多的是（）A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．线段【分析】根据轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做轴对称图形的对称轴．【解答】解：A、有4条对称轴，即两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线；B、有3条对称轴，即各边的垂直平分线；C、有1条对称轴，即底边的垂直平分线；D、有2条对称轴．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．4．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝5，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作DE∥BC，则△ADE的周长为（）A．8 B．11 C．13 D．14【分析】根据角平分线的定义，可得∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，根据平行线的性质，可得∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，根据等腰三角形的判定，可得OD＝BD，OE＝CE，根据三角形的周长公式，可得答案．【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ECO，∴DO＝BD，OE＝EC．∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC＝14．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质是解题关键，又利用了角平分线的定义，平行线的性质．5．（3分）在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．故选：D．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．6．（3分）下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的周长和面积分别相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形【分析】依据全等三角形的性质：能够完全重合的两个三角形．即可求解．【解答】解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．故选：B．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，全等是指形状相同，大小相同，两个方面必须同时满足．7．（3分）如图，A、B、C、D四点共线，AE∥DF，AE＝DF．要使△EAC≌△FDB，可添加的条件是（）A．∠E＝∠D B．EC＝BF C．∠A＝∠D D．AB＝CD【分析】全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL等等．【解答】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，添加条件∠E＝∠D，结合∠A＝∠D，AE＝DF，利用AAA无法证明三角形全等，故A不符合题意；添加条件EC＝BF，结合∠A＝∠D，AE＝DF，利用SSA无法证明三角形全等，故B不符合题意；添加条件∠A＝∠D，结合AE＝DF两个条件无法证明三角形全等，故C不符合题意；添加条件AB＝CD，则AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，结合∠A＝∠D，AE＝DF，利用SAS可以证明△EAC≌△FDB，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：8．（3分）如图，直线DE过点A，且DE∥BC．若∠B＝60°，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】先根据平行线的性质，得出∠DAB的度数，再根据平角的定义，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠2＝180°﹣∠DAB﹣∠1＝180°﹣60°﹣50°＝70°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时关键是注意：两直线平行，内错角相等．9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（）A．BP是∠ABC的平分线 B．S△CBD：S△ABD＝1： C．AD＝BD D．CD＝BD【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD＝30°＝∠A，则可对B选项进行判断；利用∠CBD＝∠ABC＝30°得到BD＝2CD，则可对D选项进行判断；由于AD＝2CD，则可根据三角形面积公式对C选项进行判断．【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，所以C选项的结论正确；∵∠CBD＝∠ABC＝30°，∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；∴AD＝2CD，∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C，交AF于点F，连接EF，下列结论：①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4，则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④【分析】先根据垂直定义和等角的余角相等证得∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF，再利用ASA可判断①正确；再证明△ADE≌△AFE可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∠B＝∠ACB＝45°，∵AF⊥AD，∴∠CAF+∠DAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAD，∵CF⊥BC，∴∠ACF＝90°﹣∠ACB＝45°，∴∠B＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），故①正确；∴AD＝AF，∵AF⊥AD，∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠FAE＝90°﹣∠DAE＝45°，在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE＝EF，故②正确；∵△ABD≌△ACF，△ADE≌△AFE，∴S△ABD＝S△ACF，BD＝CF，DE＝EF，S△ADE＝S△AFE，∴S△ABC＝S△ABD+S△ADE+S△AEC＝S△ACF+S△ADE+S△AEC＝S△ADE+S△AFE+S△CEF＝2S△ADE+S△CEF＝2×10+4＝24，故③正确；∵△CEF中，CF+CE＞EF，∴BD+CE＞DE，故④错误，综上，正确的是①②③，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明△ADE≌△AFE是解答的关键．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）.11．（3分）（1）（﹣a3）4•（﹣a）3＝﹣a15；（2）＝1．【分析】（1）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据积的乘方法则计算即可．【解答】解：（1）（﹣a3）4•（﹣a）3＝a12•（﹣a3）＝﹣a15，故答案为：﹣a15；（2）＝＝12024＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．12．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，CD⊥AB于点D，若AB＝10，则BD＝2.5．【分析】先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解．【解答】解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k，则k+2k+3k＝180°，解得k＝30°，2k＝60°，3k＝90°，∵AB＝10，∴BC＝AB＝5，∵CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴BD＝BC＝2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键．13．（3分）已知点A（a，﹣3），B（4，b）关于x轴对称，则a+b＝7．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出a，b的值即可．【解答】解：∵点A（a，﹣3），B（4，b）关于x轴对称，∴a＝4，b＝3，则a+b＝4+3＝7．故答案为：7．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．14．（3分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF．若∠ABE＝20°，则∠EFC′的度数为125°．【分析】根据矩形的性质，得出∠BAD＝90°，AD∥BC，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB＝70°，然后根据折叠重合的角相等，得∠BEF＝∠DEF＝55°，根据平行线的性质得到∠EFC＝125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′＝∠EFC，即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴∠BAD＝90°，AD∥BC．∵在直角三角形BAD中，∠ABE＝20°，∴∠AEB＝70°，∴∠BED＝110°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF＝∠DEF＝55°．∵AD∥BC，∴∠EFC＝125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′＝∠EFC＝125°．故答案为：125°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，点D在AB上且AD＝AC，连结CD，则∠BCD＝10°．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ACB度数，再利用等腰对等角和外角的定义表示出∠ACB＝∠B+2∠BCD即可求出∠BCD度数．【解答】解：由题意得在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°．∵AD＝AC（已知），∴∠ADC＝∠ACD．∵∠ADC＝∠B+∠BCD，∠ACB＝60°＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACB＝60°＝∠B+∠BCD+∠BCD，∴60°＝40°+2∠BCD，∴∠BCD＝（60°﹣40°）÷2＝10°．故答案为：10．【点评】本题考查了三角形的内角和、外角定义和等腰三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质和内角和公式．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC的面积是24，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为11．【分析】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，则当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小为AF+FB的长．【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，∴A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，∵F为BC边的中点，AB＝AC，根据等腰三角形的三线合一可得：AF⊥BC，，∴，∵BC＝6，∴AF＝8，∴△PBF周长＝AF+FB＝8+3＝11，故答案为：11．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．三、计算与解答题（17题6分，18题6分，19题8分，20题8分，21题8分，22题8分，23题8分，共52分）.17．（6分）（1）（a2）4•a3﹣（a3）3•a2；（2）2xy2（﹣x2+2y2+1）．【分析】（1）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算，最后合并即可；（2）根据单项式乘多项式的法则计算即可．【解答】解：（1）（a2）4•a3﹣（a3）3•a2＝a8•a3﹣a9•a2＝a11﹣a11＝0；（2）2xy2（﹣x2+2y2+1）＝﹣2x3y2+4xy4+2xy2．【点评】本题考查了单项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题的关键．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）若在y轴上存在一点P使得△BCP的面积是△ABC面积的2倍，则点P的坐标为（0，﹣3）或（0，5）．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；（2）设点P的坐标为（0，m），由题意得：，解方程即可得出答案．【解答】解：（1）如图，即为△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）设点P的坐标为（0，m），∵△BCP的面积是△ABC面积的2倍，∴，解得：m＝﹣3或5，∴点P的坐标为（0，﹣3）或（0，5），故答案为：（0，﹣3）或（0，5）．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．19．（8分）如图，点D，E分别在AC，AB上，AD＝AE，BE＝CD．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠COD的度数．【分析】（1）根据等式的性质得AB＝AC，再利用SAS证明△ABD≌△ACE即可；（2）由三角形内角和定理得∠AEC的度数，再由△ABD≌△ACE，得∠ADB＝∠AEC＝95°，最后运用三角形外角的性质可得答案．【解答】（1）证明：∵AD＝AE，BE＝CD，∴AB＝AC，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵∠A＝55°，∠C＝30°，∴∠AEC＝180°﹣55°﹣30°＝95°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝95°，∴∠COD＝∠ADB﹣∠C＝95°﹣30°＝65°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABD≌△ACE是解题的关键．20．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．【分析】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．【解答】解：∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．【点评】本题主要考查角平分线，三角形的内角和定理，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键．21．（8分）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论；（2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝20cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为20cm，∴AB+BC+AC＝20cm，∵AC＝7cm，∴AB+BC＝13cm，∵AB＝EC，BD＝DE，∴AB+BD＝DE+EC＝DC，∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm∴．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．22．（8分）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）若点E关于直线BC的对称点为M（如图2），连接DM，AM．求证：DA＝AM．【分析】（1）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可