数字信号处理-Lecture-15

数字信号处理

第十五讲中国地质大学(北京)地球物理与信息技术学院电子信息工程教研室制作1电子信息工程教研室Chapter6DiscreteFourierTransforms

第六章离散傅氏变换2电子信息工程教研室6.1傅氏变换的四种形式6.2周期序列的傅氏变换：离散傅氏级数展开6.3离散傅氏级数的性质6.4有限长序列的傅氏变换：离散傅氏变换6.5离散傅氏变换的性质6.6对DTFT的采样6.7用DFT对连续时间信号逼近的讨论3本讲的主要内容离散傅氏变换的性质离散傅氏变换实现有限长序列的线性卷积4§6.4离散傅立叶变换

6.4TheDiscreteFourierTransform把x(n)看成周期为N的周期序列x̃(n)的一个周期内的样本，那么x̃(n)就是x(n)以N为周期的周期延拓，即(6-30)

5x̃(n)=x((n))N

x(n)＝x̃(n)RN(n)(6-31)X̃(k)＝X((k))N(6-32)X(k)＝X̃(k)RN(k)(6-33)

6[例6-3]设x̃(n)是周期为N＝11的序列，求n＝26，

n＝-5两数对N的余数。解：因为n＝26＝2

11+4，故((26))N=11＝4，而n＝-5＝(-1)11+6，故((-5))N=11＝6，因此x̃(26)＝x((26))N=11＝x(4)，

x(-5)＝x((-5))N=11＝x(6)。在实际讨论中，利用前面的矩形序列的符号RN(n)，

7其中DFT[

]表示离散傅氏正变换，IDFT[]表示离散傅氏反变换，有时也用下列记号表示8§6.5离散傅氏变换的性质

6.5ThePropertiesofDFT下面讨论的序列都是长度为N的序列，并假设1.线性性如果两个有限长序列为x1(n)和x2(n)，那么(6-36)

92.对偶性与DFS的对偶性相类似，DFT的对偶性为：若(6-37)

那么(6-38)103.对称性若x(n)为实序列，则X(k)具有共轭对称性4.共轭对称性(6-39)

若x(n)为纯虚序列，则X(k)具有共轭反对称性(6-40)

设有限长度为N点的序列x(n)，延拓成周期为N的周期序列x̃(n)，即

x̃(n)=x((n))N(6-41)

11周期序列x̃(n)的共轭对称分量x̃e(n)及共轭反对称分量x̃o(n)分别为

x̃e(n)=1/2[x̃(n)+x̃*(-n)]=1/2[x((n))N+x*((N-n))N]

x̃o(n)=1/2[x̃(n)-x̃*(-n)]=1/2[x((n))N-x*((N-n))N]

圆周共轭对称xep(n)=1/2[x((n))N+x*((N-n))N]

RN(n)圆周反共轭对称xop(n)=1/2[x((n))N-x*((N-n))N]RN(n)设DFT[x(n)]＝DFT{Re[x(n)]+jIm[x(n)]}，则有

DFT{Re[x(n)]}=Xep(k)=1/2[X((k))N

+X*((N-k))N]RN(k)

DFT{jIm[x(n)]}＝Xop(k)＝1/2

[X((k))N

X*((N-k))N]RN(k)12[例6-4]设x1(n)、x2(n)都是实数序列，求DFT[x1(n)]＝X1(k)，

DFT[x2(n)]＝X2(k)解：用此二序列构成一个复序列，即

w(n)=x1(n)+jx2(n)(6-48)则DFT[w(n)]＝W(k)=DFT[x1(n)+jx2(n)]

＝DFT[x1(n)]+jDFT[x2(n)]

＝X1(k)+jX2(k)13又x1(n)＝Re[w(n)]故

X1(k)＝DFT{Re[w(n)]}

＝Wep(k)

＝1/2[W(k)+W*((N-k))N]RN(k)同样由于

x2(n)＝Im[w(n)]故

X2(k)＝1/jWop(k)

＝1/2

j[W(k)-W*((N-k))N]RN(k)所以用一次DFT求出W(k)后，则按以上公式即可求得X1(k)与X2(k)。145.循环移位一个长度为N的序列x(n)，其循环移位定义为x((n

m))NRN(n)＝x̃(n

m)RN(n)(6-46)其中m表示x(n)移了m位，x̃(n)是x(n)的周期延拓(周期为N)。有限长序列循环移位后的DFT为(6-47)

如图6-6为一个八点的序列，圆周右移m位相当于沿顺时针方向将圆周旋转m点，所以又称圆周移位。15图6-6序列循环移位示意图(左)8点序列(右)循环移位两点166.DFT

的帕塞瓦定理一个序列在时域的能量与在频域的能量是相等的，即7.循环卷积(6-50)

假设x1(n)和x2(n)都是长度为N的有限长序列（0

n

N-1），并且有DFT[x1(n)]＝X1(k)，DFT[x2(n)]＝X2(k)，如果

Y(k)＝X1(k)X2(k)那么17(6-52)

它是N点循环卷积，用符号表示为

18[例6-5]计算x1(n)、x2(n)的N点循环卷积，其中解：x1(n)、x2(n)的N点DFT分别为19那么所以两个序列x1(n)、x2(n)的N点循环卷积为Y(k)的DFT反变换，为208.用离散傅氏变换实现有限长序列的线性卷积在时域内两个有限长序列的卷积可以转换为在频域上两序列相应DFT的乘积。而DFT已有高效的快速算法：快速傅氏变换（FFT—FastFourierTransforms）。通过如下步骤能有效地实现两个序列的循环卷积运算。分别计算两个有限长序列x1(n)和x2(n)的N点傅氏变换 X1(k)和X2(k)；取0

k

N-1计算乘积Y(k)=X1(k)

X2(k)；计算X(k)的DFT反变换便得到。21是两序列的L点循环卷积，将x1(n)、x2(n)都看成是长度为L点的序列，令两个序列的线性卷积为(6-55)

循环卷积代替线性卷积的条件假设22考虑到(6-55)式的线性卷积，得2324因为yl(n)有N1+N2-1个非零值，所以延拓的周期L必须满足：

L

N1+N2-1(6-57)有y(n)＝yl(n)

，即25图6-8有限长序列的线性卷积与循环卷积26综上所述，用离散傅氏变换计算线性卷积的具体步骤为：将序列x1(n)和x2(n)补零到长度L

N1+N2-1；分别求出x1(n)和x2(n)的L点DFTX1(k)和X2(k)；将X1(k)和X2(k)直接相乘，得

Y(k)＝X1(k)X2(k)；计算Y(k)的反变换，便得线性卷积

yl(n)＝x1(n)x2(n)。

27（1）求x1(n)的4点DFT；（2）若，求DFTY(k)及y(n)；（3）求（4）求（5）求（6）求[例6‑7]有两序列28解：（1）（2）

29（3）

x1(n)和x2(n)的4点循环卷积可用下列方 法求得。先求x1(n)和x2(n)的线性卷积x1(n)

x2(n)，即

x2(n)

x1(n)102111021110210000022042yl(n)＝x1(n)

x2(n)＝{1,1,2,5,1,4,2}

30（4）n01234567yl(n)11251420yl(n+4)14202545n01234567yl(n)112514