数学建模-第二章

第二章数学建模概述2.1从现实对象到数学模型2.3数学建模的方法和步骤2.2数学建模实例2.4怎样学习数学建模2.5

简单的建模案例分析11/30/202412.1从现实对象到数学模型玩具、照片、飞机、火箭模型…我们常见的模型~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图、分子结构图…~符号模型模型是为了一定的目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型的特点：集中反映了原型中人们需要的那一部分特征11/30/20242数学模型对于一个实际问题，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。通过数学的求解，得到定量的结果，以便于应用。简单地说：就是研究对象的某种特征的数学描述即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律．数学建模建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）11/30/20243你曾碰到过的数学模型行程问题数学结构：路程＝速度×时间极限的ε－δ定义数学结构：浓度问题数学结构：溶质＝浓度×溶液11/30/20244

数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻画该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模。观点：“所谓高科技就是一种数学技术”高性能的计算机的出现使数学建模这一方法得到飞速的发展。数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题能力的重要手段。11/30/20245数学建模的具体应用分析与设计预报与决策控制与优化规划与管理数学建模计算机技术完美结合如虎添翼11/30/20246

年

1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060

年

19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.02.2数学建模实例例1人口预报问题背景世界人口增长概况中国人口增长概况研究人口变化规律控制人口过快增长11/30/20247指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)x(t)~t时刻的人口数基本假设

:人口(相对)增长率r

是一个常数随着时间增加，人口数按指数规律无限增长正确与否的检验11/30/20248年实际人口（106）预测人口（106）指数增长模型17903.918005.318107.27.318209.610.0183012.913.7184017.118.7185023.225.6186031.435.0187038.647.8188050.265.5189062.989.6190076.6122.5191092.0167.61920106.5229.311/30/20249指数增长模型的应用及局限性可用于短期人口增长预测不能预测较长期的人口增长过程19世纪以后人口的数据反映人口增长率r不是常数(逐渐下降)按计算数据，取，则2500年人口数达到22人/平方米荒唐与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合11/30/202410r是x的减函数人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）11/30/202411dx/dtx0xm/2xmtx0x(t)~S形曲线,

x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)将指数增长模型中的增长率r换成x的函数r(x)xm11/30/202412179018001810……19601970198019903.95.37.2……179.3204.0226.5251.4r=0.2083,xm=457.6参数估计

用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数

r或

r(x)，利用统计数据用最小二乘法作拟合例美国人口数据（单位~百万）专家估计11/30/202413年实际人口（106）预测人口（106）指数增长模型阻滞增长模型17903.918005.318107.27.36.518209.610.08.7183012.913.711.4184017.118.715.1185023.225.619.8186031.435.026.5187038.647.835.4188050.265.543.5189062.989.656.2190076.6122.570.2191092.0167.684.71920106.5229.3102.511/30/202414模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)x(2010)=297.9模型应用——预报美国2010年的人口

Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)11/30/202415用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数2.3

数学建模的方法和步骤数学建模的基本方法机理分析测试分析二者结合根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究来学习。以下建模主要指机理分析。11/30/202416模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’数学建模的一般步骤11/30/202417模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具11/30/202418模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用11/30/2024192.4数学建模能力的培养数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力学习、分析、评价、改进别人作过的模型亲自动手，认真作几个实际题目11/30/202420本节通过一些具体的建模实例，了解建模的方法及模型的求解。数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用2.5

简单的建模案例11/30/202421例2椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常

~三只脚着地放稳

~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。11/30/202422的对称性,用

(对角线转过的角度)表示椅子位置的变化模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)xO四只脚着地距离是

的函数

椅脚与地面的距离为零正方形ABCD绕O点旋转DBACD´C´B´A´11/30/202423模型构成四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和B,D两脚与地面距离之和两个距离正方形对称性f(

)~g(

)~xO

DBACD´C´B´A´11/30/202424对任意

,f(

),g(

)至少一个为0数学问题已知：

f(

),g(

)是连续函数;

对任意

，f(

)•g(

)=0;且

g(0)=0，f(0)>0.证明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型构成椅子在任意位置至少三只脚着地f(

),g(

)是连续函数地面为连续曲面11/30/202425模型求解将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。h(/2)=f(/2)－g(/2)＝g(0)－

f(0)<0，因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.令h(

)=f(

)–g(

),

由f,g的连续性知h(

)为连续函数,据连续函数的介值定理,必存在

0

,使h(

0)=0,即

f(

0)=g(

0).由g(0)=0，f(0)>0，得h(0)=f(0)–g(0)>0即一定存在某个角度

0

，使得四脚同时着地。

11/30/202426评注和思考1.建模的关键

~

和

f(

),g(

)的确定2.通过适当的数学处理，将一个看似与数学毫无关系的生活常识问题，用数学的方法表述得非常清楚，并且从理论上肯定了问题的结果3.转化问题的能力值得重视和培养——96年建模竞赛试题——节水洗衣机模型检验求解的结果与生活常识的结论是一致的11/30/202427例3

商人们怎样安全过河问题(智力游戏)

3名商人

3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀商人劫财.但乘船渡河的方案由商人决定.问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人数多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)商人们怎样才能安全过河?11/30/202428符号引入xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk

,yk)~过程的状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk

,vk)~决策uk+vk=1,2uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk

+(-1)k~状态转移律D={(0

,1),(1,0),(1,1),(0,2),(2,0)}D~允许决策集合11/30/202429模