《noip教程动态规划》课件

NOIP教程-动态规划动态规划是算法设计中一种重要的思想。它通过将复杂问题分解成更小的子问题，并存储子问题的解，从而避免重复计算。动态规划概述最优子结构问题的最优解可以由子问题的最优解构成。重叠子问题子问题可能被重复求解多次。递推公式使用递推关系来计算子问题的解。问题类型1最优化问题寻找最优解，例如最大值、最小值、最短路径等。2计数问题计算满足特定条件的方案数量，例如排列组合问题。3判定问题判断是否满足特定条件，例如判断是否存在合法方案。4游戏问题计算游戏结果，例如判断胜负、最佳策略等。动态规划的基本思路分解问题将复杂问题分解成更小的子问题，每个子问题都对应一个状态。存储结果使用表格或数组来存储每个子问题的解，避免重复计算。状态转移定义状态之间的转移关系，根据子问题的解来推导出最终问题的解。动态规划的基本步骤1定义状态用数组或其他数据结构存储问题中每个子问题的解。2确定初始条件为状态数组的初始值赋予适当的值。3状态转移方程通过子问题的解构建当前问题的解。4计算结果根据状态转移方程，递推计算出最终答案。动态规划解决问题需要依次完成上述步骤，每个步骤都至关重要。编码技巧代码可读性清晰的代码结构、合理的命名和注释是编写高质量代码的关键。调试技巧掌握调试工具和方法，能够快速定位并解决代码中的错误。性能优化了解算法的时间复杂度和空间复杂度，选择合适的算法和数据结构以提高效率。状态定义状态的定义状态是指在动态规划问题中用来描述问题的某个阶段所处的状态。它通常包含一些重要的信息，例如当前所处的状态下，已经做出了哪些决策，以及当前的资源情况。状态的表示状态可以用不同的方式表示，例如使用数组、列表、字典或其他数据结构。选择合适的状态表示方式可以简化问题的解决过程。初始条件边界条件动态规划算法通常需要一些初始条件，这些条件是问题的基本情况，可以帮助我们建立递归关系。特殊情况在某些情况下，需要考虑特殊情况，例如当问题规模为零或一时的结果。初始值动态规划中的状态通常需要一个初始值，这个值通常是问题的初始状态。状态转移方程状态转移方程定义了从一个状态到另一个状态的转换关系。它描述了如何利用已知状态的值来计算未知状态的值。状态转移方程通常具有递归特性，可以利用之前计算的结果来推导出当前状态的值。实现细节代码实现根据状态转移方程，编写代码实现动态规划算法。通常，代码实现需要使用多维数组或其他数据结构来存储状态值。代码调试仔细调试代码，确保代码逻辑正确，并且能正确处理边界情况和特殊情况。代码优化根据具体问题，考虑代码优化方法，例如空间优化、时间优化等。时间复杂度分析动态规划算法的时间复杂度通常取决于状态空间的大小和状态转移的次数。状态空间大小状态转移次数时间复杂度O(N)O(N)O(N^2)O(N*M)O(N*M)O(N^2*M^2)对于一些问题，可以使用一些技巧优化时间复杂度，例如记忆化搜索、滚动数组等。背包问题经典问题给定一个背包，容量为W，和N件物品，每件物品有重量w[i]和价值v[i]。要求选择物品放入背包，使总价值最大，且不超过背包容量。基本思路对于每一个物品，可以选择放或不放进背包。使用动态规划，记录每个状态下的最大价值，并进行状态转移。背包问题的经典案例0/1背包问题是动态规划的经典案例，也是学习动态规划的入门问题。它通常用于解决有限资源分配问题，例如如何在有限的背包容量下选择最优的物品组合。另一个经典案例是完全背包问题，它允许重复选择同一物品，解决的是如何最大化价值，并允许重复使用物品。最长公共子序列问题定义给定两个字符串，求它们的最长公共子序列。应用生物信息学，文本编辑，代码比较。示例字符串"abcbdab"和"bdcaba"的最长公共子序列为"bcba"。最长上升子序列问题11.定义找到序列中最长的严格递增子序列，子序列不要求连续。22.算法使用动态规划，每个位置存储当前位置的最长上升子序列长度。33.状态转移从前一个位置开始遍历，找到所有小于当前位置的元素，更新当前位置的最长上升子序列长度。44.优化使用二分查找优化，降低时间复杂度，提高效率。编辑距离问题11.问题定义编辑距离是衡量两个字符串之间相似度的指标，计算将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小编辑操作次数。22.编辑操作常用的编辑操作包括插入、删除和替换字符。33.动态规划思路使用动态规划算法，通过构建一个二维表格来记录两个字符串所有子串之间的编辑距离，并逐步求解。44.应用场景广泛应用于自然语言处理、文本比较、拼写纠错等领域。最小路径和问题路径规划给定一个二维矩阵，寻找从左上角到右下角的最短路径，路径只能向下或向右移动。状态定义dp[i][j]表示从左上角到位置(i,j)的最短路径总和。状态转移方程dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+matrix[i][j]数字三角形问题问题描述给定一个数字三角形，从顶点出发，每次只能向下走一步，到达最底层，求路径上数字之和的最大值。动态规划思路定义状态dp[i][j]表示从顶点到位置(i,j)的最大路径和。状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j]棋盘问题棋盘格棋盘问题通常涉及在棋盘上移动棋子或其他元素。棋盘格的结构可以是二维数组或矩阵。移动规则棋盘问题通常具有定义好的移动规则，例如马的“日”字形走法或车的直线移动。目标状态目标状态通常是将棋子移动到特定的位置或达到某个条件，例如吃掉所有对方的棋子。优化策略动态规划可以用于寻找最优解，例如最短路径、最少步数或最大获胜概率。数位dp问题数位dp原理数位dp利用数字的位数进行递推，通常用于解决与数字位数相关的计数问题。状态定义通常使用dp[i][j]表示从高位到第i位，当前位数为j时的方案数。状态转移方程根据题目条件，定义状态转移方程，将当前状态与前一个状态联系起来。时间复杂度数位dp的时间复杂度通常为O(10^n)，n为数字的位数。概率dp问题概率DP的特点概率DP解决的问题中通常包含概率信息。状态转移方程需要考虑概率因素，并进行累加或求期望等操作。这类问题通常需要使用动态规划的思想来解决，并结合概率论的知识进行分析。应用场景概率DP可以解决许多现实问题，例如：随机游走，游戏胜率分析，股票价格预测等。在处理这类问题时，我们可以通过建立概率模型，并利用DP算法来求解最优解。树形dp问题树形结构树形dp问题通常涉及以树形结构表示数据，每个节点代表一个子问题。子问题之间的关系以树状关系表现。自底向上树形dp通常采用自底向上的方法，从叶子节点开始计算，逐层向上递推，最终得到根节点的答案。状态定义状态定义通常依赖于节点的属性，例如子树大小，最长路径，最小代价等等。状态转移状态转移方程通常基于递归关系，将当前节点的状态与子节点的状态联系起来，计算得到当前节点的状态。状态压缩dp问题状态压缩dp将状态集合中的所有状态压缩成一个二进制数，使用位运算来枚举状态，提高效率。旅行商问题经典问题，求解从一个城市出发，遍历所有城市并返回原点最短路径。区间dp问题区间划分将问题分解为若干个子问题，每个子问题对应一个区间。递推求解利用子问题的解，逐步合并区间，最终求解整个问题的解。经典应用例如石子合并、矩阵链乘、最长公共子序列等问题。记忆化搜索11.递归记忆化搜索本质上是递归算法的优化方法。22.缓存通过缓存中间结果，避免重复计算，提高效率。33.状态将每个状态的结果存入缓存，下次遇到相同状态时直接读取。44.动态规划记忆化搜索与动态规划有着密切联系，它们都利用了状态之间的依赖关系。优化技巧时间复杂度优化降低时间复杂度，提升运行效率，例如使用更优算法或数据结构。空间复杂度优化减少空间消耗，节省内存，例如使用更节省空间的算法或数据结构。代码优化精简代码，提高代码可读性，例如使用更简洁的表达方式或更合理的代码结构。应用场景游戏开发例如，在游戏开发中，动态规划可以用来优化游戏角色的属性分配，或者计算游戏关卡的最佳通关路径。金融投资例如，在股票投资中，动态规划可以用来预测股票价格走势，或制定最佳的投资策略。数据分析例如，在数据挖掘中，动态规划可以用来找到数据中隐藏的规律，或者进行预测分析。网络优化例如，在网络路由中，动态规划可以用来找到最短的网络路径，或者优化网络资源分配。小结与思考总结动态规划是一种强大的技术，它能有效地解决各种问题。它需要清晰的思维和逻辑分析，并能帮助我们优化程序效率。思考在学习动态规划的过程中，我们应该注重理解其原理，并将其应用到实际问题中。探索更复杂的动态规划问题，提升解决问题的能力。练习题推荐1经典练习NOIP真题，经典习题库，熟练掌握基础