专题12 类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题12类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】 1【类型二构造圆内接四边形转化角】 6【类型三利用直径构造直角三角形转化角】 10【类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角】 16【典型例题】【类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】例题：（2023·北京·九年级专题练习）如图，为的直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角为90度可得，进而可得，．【详解】解：如图，连接，，

，，，为的直径，，，，故选A．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角．【变式训练】1．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】解：点是的中点，，．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，则的度数为．

【答案】/30度【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，，，则．

【答案】75【分析】此题考查了弧与圆心角的关系．注意在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．由，根据弧与圆心角的关系，可得，继而求得答案．【详解】解：，，．故答案为：75．4．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）已知：如图，在中，，与相交于点M．求证：

(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由可证，再根据弧、弦、圆心角的关系即可证；（2）连接，，由弧、弦、圆心角的关系可得出，根据等弧所对圆周角相等可得出，结合对顶角相等可证，即得出．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∴；（2）证明：如图，连接，．

∵，∴，．又∵，∴∴．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理的推论，三角形全等的判定和性质．掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等是解题关键．5．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，中，弦与相交于点E，，连接．

(1)求证：；(2)连结，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由得，从而，据此可得答案；（2）由得，，再证明，根据可证．【详解】（1）∵，∴，∴，∴；（2）连接

∵，∴，,又∵，∴,∴．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．也考查了全等三角形的判定.【类型二构造圆内接四边形转化角】例题：（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）是的外接圆，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在优弧上取一点E，连接，由是的外接圆，，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数，最后由圆内接四边形的性质可得答案．【详解】解：如图，在优弧上取一点E，连接，

，，，．∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，

故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点A，B，C，D，E均在上，且经过圆心O，连接，若，则弧所对的圆心角的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，∴，∴弧所对的圆心角的度数为．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．2．（2023·江苏盐城·统考一模）如图，点A、B、C都在上，如果，那么的度数为．【答案】【分析】如图：在优弧AC上取一点D，连接，由圆周角定理和圆的内接四边形可得，，再结合求得．【详解】解：如图所示，在优弧上取一点D，连接，∴，，∵，∴∴，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在⊙O中，C为上的点，．若，则．

【答案】50°【分析】在优弧上取一点D，连接，，，根据圆周角定理即可得到结论．【详解】解：在优弧上取一点D，连接，，，∵，∴，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：50°．【点睛】本题考查了圆周角定理，添加辅助线构造圆心角和圆周角是解题的关键．4．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，点A，B，C，D，E都是上的点，，，则．

【答案】116【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接、，

∵点A、C、D、E都是上的点，∴，∴，∵，∴，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴，∴，故答案为：116．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【类型三利用直径构造直角三角形转化角】例题：（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，为的直径，点，点是上的两点，连接，，．若，则的度数是°．

【答案】【分析】连接，如图，利用圆周角定理得到，则，然后利用圆的内接四边形的性质求的度数．【详解】解：如图，连接，

为的直径，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1．（2023上·广东阳江·九年级校考期中）如图，是的直径，弦交于点E，连接．若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．连接，根据直径所对的圆周角是，可得，由，可得，进而可得．【详解】解：连接，

∵是的直径，∴，，，．故选：D．2．（2023上·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，是半圆的直径，O为圆心，B、C是半圆上的两点，，则°．

【答案】【分析】连接，如图，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可计算出，然后根据同弧所对的圆周角相等即可得到．【详解】如图所示，连接，

∵是直径，∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确作出辅助线是解题的关键．3．（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）如图，在中，以为直径作半圆O，分别交，于点D，E，．

(1)求证：．(2)若，求，的度数．【答案】(1)见解析(2)，【分析】（1）连结根据直径所对圆周是直角，结合即可得到证明；（2）根据同弧或等弧所对圆心角等于周角的两倍直接计算即可得到答案；【详解】（1）证明：连结，∵是直径，

∴，∵，

∴是的中垂线，∴，；（2）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；【点睛】本题考查直径所对圆周角是直角及同弧或等弧所对圆心角等于周角的两倍，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线．4．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，在中，以点为圆心画弧分别交，的延长线和于，，，连接并延长交于，．(1)求证：；(2)连接，判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）通过等腰对等角，对顶角相等，垂线性质可以推出，即可得出结论；（2）通过直径所对圆周角为直角可得到，根据同位角相等即可得到．【详解】（1）证明：，，，，，，，，；（2）如图，连接，为以点为圆心的圆的直径，，，，．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握相关定理性质是解答本题的关键．5．（2023上·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，D是等腰三角形底边的中点，过点A、B、D作．

(1)求证：是的直径；(2)延长交于点E，连接，求证：；(3)若，求长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)长是【分析】（1）连接，由，根据等腰三角形的“三线合一”证明，则，所以是的直径；（2）根据圆周角定理证明，根据“等边对等角”得，所以，则；（3）可由，，证明，根据相似三角形的对应边成比例求的长，再由求的长．【详解】（1）证明：连接，如图，

∵D是等腰三角形底边的中点，∴，∴，∴，∴是的直径．（2）证明：∵是等腰三角形，∴，∵，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴长是．【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．【类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角】例题：（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理求解即可．【详解】，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，熟记同圆中一条弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键．【变式训练】1．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）如图，点A、B、C、D在上，四边形是平行四边形，则的大小为（

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A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】连接，证明为等边三角形，得出，根据圆周角定理得出即可．【详解】解：连接，如图所示：

∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是证明为等边三角形，求出．2．（2023·广西防城港·统考一模）如图，点A，B，C，D都在上，，，则的度数为（

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A． B． C． D．【答案】D【分析】由，根据垂径定理的即可求得：，然后由圆周角定理，即可求得的度数．【详解】解：，，，．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．3．（2023·广东佛山·校考三模）如图，四边形内接于，连接，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，证明，得出，则，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解．【详解】解：连接，在和中，，∴，∵，，∴，∴，∵四边形内接于，∴，故选：A．

【点睛】本题