专题11 比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略(原卷版)

专题11比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例压轴题六种模型全攻略【考点导航】TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一比例的性质之等比性质】 1【考点二利用黄金分割求线段的长】 3【考点三与黄金分割有关的证明】 4【考点四由平行判断成比例的线段】 8【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】 11【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】 13【过关检测】 17【典型例题】【考点一比例的性质之等比性质】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若，求的值．【变式训练】1．（2023秋·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）若，则.2．（2023秋·八年级课时练习）已知（，，均不为0），则式子的值是．3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，求的值．【考点二利用黄金分割求线段的长】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若线段的长为2cm，点P是线段的黄金分割点，则最短的线段的长为（）A． B． C． D．2．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（

）A． B． C． D．【考点三与黄金分割有关的证明】例题：（2023·全国·九年级假期作业）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；(2)若，求的面积．（结果保留根号）【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．(1)求的长；(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．（2）若BD＝1，则BC的长为．【考点四由平行判断成比例的线段】例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（）

A． B． C． D．2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．【考点五由平行截线求相关线段的长或比值】例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么．【变式训练】1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是．

2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则．【考点六构造平行线截线求相关线段的长或比值】例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为．

【变式训练】1．（2023·四川成都·一模）如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么的值是．2．（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）如图，在中，，，与相交于点，则.【过关检测】一、单选题1．（2023春·全国·九年级专题练习）若（），则（）A． B． C．1 D．22．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（

）

A． B． C． D．3．（2023·山东淄博·校考一模）如图，在四边形中，，过点C作交于点E，连接，，若，则的长度是（

）A．2.5 B．3 C．3.5 D．44．（2023秋·湖北十堰·九年级统考期末）“黄金分割”广泛存在于人们生活实践中．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（参考数据：，，）A．0.73m B．0.76m C．1.24m D．1.36m二、填空题5．（2023秋·四川眉山·九年级统考期末）如果，则．6．（2023·吉林松原·统考一模）如图，abc，若，，则的长为．7．（2023·四川·九年级专题练习）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，之间的距离为．8．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）作业本中有一道题：“如图，在中，点为的中点，点在上，且，，交于点，求的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点作，交于点．最后小明求解正确，则的值为．三、解答题9．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若，求的值；（2）若，且，求．10．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．11．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．(1)如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度；(2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．12．（2023·河北石家庄·校考模拟预测）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E……任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图③，在中，是角平分线，，，．求的长．13．（2023·全国·九年级假期作业）材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a