专题08 圆的对称性压轴题六种模型全攻略（原卷版）

专题08圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用垂径定理求值】 1【考点二利用垂径定理求平行弦问题】 4【考点三利用垂径定理求同心圆问题】 7【考点四利用垂径定理求解其他问题】 10【考点五垂径定理的推论】 13【考点六垂径定理的实际应用】 15【过关检测】 18【典型例题】【考点一利用垂径定理求值】例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为．

【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为．2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为寸．

【考点二利用垂径定理求平行弦问题】例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是．2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【考点三利用垂径定理求同心圆问题】例题：如图，已知的两条弦、分别与的同心圆交于点E、F、X、Y，，，，则的长度为．

【变式训练】1．如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm2．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．(1)求证：．(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．【考点四利用垂径定理求解其他问题】例题：如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A． B． C． D．【变式训练】1．如图是一破损了的圆形零件的设计图，请你根据所学的有关知识将设计图恢复完整．

2．已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

(1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由；(2)如图②，若，画出的平分线．【考点五垂径定理的推论】例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为米．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是寸．【考点六垂径定理的实际应用】例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度为，过O作于点D，．

(1)求该圆弧形拱桥的半径；(2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？【过关检测】一、单选题1．如图，的半径为5，于点C，若，则弦的长为（

）

A．2 B．4 C．6 D．82．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽（相邻两边互相垂直）内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（

）A． B． C． D．3．已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数为（）A． B． C．或 D．或4．如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（）A． B． C． D．5．已知圆中两条平行的弦之间距离为，其中一弦长为，若半径为，则另一弦长为（

）A．或 B．或 C．或 D．或二、填空题6．如图，已知的弦，半径于，，则的半径为．

7．如图，将半径为4的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕的长．

8．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为寸．9．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为．10．图1是车载手机支架实物图，图2是其正面示意图，其中，，为伸缩杆，其中，支架最大宽度，支架的高为，则外接圆O的半径为，当一部宽为的手机置于支架中，如图3，此时手机夹臂收缩，手机托下移，手机伸缩杆的移动距离相同（），形成的外接圆的圆心为点P，若，则为cm．

三、解答题11．如图，割线与交于点A，B，割线过圆心O，且，若弦，的半径，求的长．

12．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．

(1)求的半径长；(2)连接，作于点F，求的长．13．将图中破损的轮子复原，已知点，，在弧上．(1)尺规作图：作出该轮子的圆心（不写作法，用黑色笔将作图痕迹加黑）；(2)连接，若点是弧的中点，，点到的距离是，求轮子的半径．14．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），，

(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；(2)现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？15．在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．

(1)与相等吗？为什么？(2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长．16．我们在学习了《浙教版数学九年级上册》探究活动，“已知：如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面已知桥洞的拱形是抛物线”，现以水平方向为轴，若小明同学以为顶点求出了函数表达式是；探究一：(1)若小红