专题07 正多边形与圆的相关运算的4种压轴题型全攻略（解析版）

专题07正多边形与圆的相关运算的4种压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一求正多边形的中心角】 1【考点二求正多边形中的圆周角】 2【考点三求正多边形的边数】 2【考点四求正多边形点的坐标问题】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一求正多边形的中心角】【例题1】正十边形的中心角的度数为（）A．30 B． C．45 D．60【答案】B【分析】本题考查正多边形和圆，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的个数（多边形的边数），就得到中心角的度数．【详解】正十边形中心角的度数为，故选：B．【变式1】如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（

）A．72° B．54° C．60° D．36°【答案】A【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：的度数为；故选A．【变式2】如图，已知正五边形内接于，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正边形的中心角的计算公式（为正整数，）解答即可．【详解】解：∵正五边形内接于，∴正五边形的中心角．故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正边形的中心角的计算公式（为正整数，）是解题的关键．【变式3】如图点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC=（）A．65°B．50°C．80°D．100°【答案】C【分析】根据三角形的外接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可．【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，∵∠BIC=130°，∴∠IBC+∠ICB=180°-∠CIB=50°，∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，∴∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°．故选C．【点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠ACB+∠ABC的度数数解此题的关键．【考点二求正多边形中的圆周角】【例题2】如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．【详解】解：连接、，∵是圆内接五边形，∴，∴，故选B．【变式1】如图，正八边形内接于，M是弧上的一点，连接，，求的度数．【答案】【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关计算，先求出所对圆心角的度数，再根据圆周角定理求解即可【详解】解：如图，连接OA，OB．∵正八边形是的内接正八边形，∴，∴．【变式2】如图，正五边形内接于，点F在弧上，，则的大小为．【答案】【分析】本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出与的度数是解题的关键．连接，根据正五边形的性质得出的度数，从而得出的度数即的度数，再根据正五边形内接于，得出的度数即可求解．【详解】解：如图，连接，∵五边形是正五边形，∴，∵正五边形内接于，∴，∴，∴，故答案为：．【变式3】如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，三角形内角和定理，连接，根据切线的性质得，再利用圆内接正五边形的性质可得，再利用三角形的内角和等于即可求解．熟练掌握正多边形的性质与切线的性质是解题关键．【详解】解：如图，连接，

与相切，，正五边形内接于，，，，故选B．【考点三求正多边形的边数】【例题3】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（

）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】D【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可．【详解】解：连接，∵是内接正六边形的一边，∴∵是内接正八边形的一边，∴∴∴故选：D．【变式1】如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（

）A．10 B．12 C．15 D．20【答案】A【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，∵，∴，∴这个正多边形的边数为．故选：A．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．【变式2】如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（

）．A．六 B．八 C．十 D．十二【答案】D【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，∴,，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．【变式3】如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．【详解】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正八边形的一边，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故选：C．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．【考点四求正多边形点的坐标问题】【例题4】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重台，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正六边形的性质推出，进而得出，，则，再根据旋转的性质，依次得出前几次旋转的点A的对应点坐标，总结出一般变化规律，即可解答．【详解】解：∵该六边形为正六边形，∴，，∵轴，正六边形中心与原点0重合，∴，∴，，∴，∴，∴第1次旋转结束时，点A的坐标为；第2次旋转结束时，点A的坐标为；第3次旋转结束时，点A的坐标为；第4次旋转结束时，点A的坐标为，∵4次一个循环，∴第2023次旋转结束时，点A的坐标为．故选：A．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握求正多边形中心角的方法，旋转的性质．【变式1】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化—旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质，连接、，设交轴于点，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出，再根据旋转的性质得出第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，从而得到次为一个循环，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，连接、，设交轴于点，，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，，轴，，，是等边三角形，，，，，，将六边形绕点逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，…，为次一个循环，，第2024次旋转结束时，点的坐标为，故选：D．【变式2】如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为________．（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及的长；（3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系．【答案】（1）（2，0）；（2）π；（3）点E在⊙D内部．【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标；（2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°，根据弧长公式可得；（3）求出DE的长与半径比较可得．【详解】（1）如图，D点坐标为（2，0），故答案为（2，0）；（2）AD＝；作CE⊥x轴，垂足为E．∵△AOD≌△DEC，∴∠OAD＝∠CDE，又∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠CDE＋∠ADO＝90°，∴扇形DAC的圆心角为90度，∴的长为＝π；（3）点E到圆心D的距离为，∴点E在⊙D内部．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、垂径定理、弧长公式等，用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心．【过关检测】一．选择题1．边心距为3的正六边形的周长为（

）A．18 B． C． D．【答案】B【分析】设正六边形的中心为点O，边心距为3，连接、，作于点G，则，可证明是等边三角形，则，即可求得，则这个正六边形的周长为．【详解】解：如图，正六边形的中心为点O，边心距为3，连接、，作于点G，如图，

则，，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴正六边形的周长为，故选：B．【点睛】此题重点考查正多边形的中心角、边心距、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．2．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是(

)A．14 B．18 C．16 D．20【答案】D【分析】本题主要考查正多边形的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可．【详解】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，∴该正多边形的边数为：，故D正确．故选：D．12．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据正多边形的中心角=计算即可．【详解】解：设正多边形的边数为n．由题意=72°，∴n=5，故选：C．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=．4．如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】连接OB，OC，OA，根据圆内接正三角形，正方形可求出，的度数，进而可求的度数，利用，即可求得答案．【详解】如图：连接OB，OC，OA，为圆内接正三角形四边形ACDF为圆内接正方形若以BC为边的圆内接正边形，则有故选：C．【点睛】本题考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于（为正多边形的边数）是解题关键．5．如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．二.填空题6．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个多边形的边数是________．【答案】6/六【分析】本题主要考查了正多边形与圆，先由圆周角定理得到，再根据周角的定义即可求出答案．【详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∴这个多边形的边数是，故答案为：6．7．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标________.【答案】【分析】作、的垂直平分线交于点，即为内切圆圆心，连接，，根据正六边形的性质及等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定，即可求解．【详解】解：如图所示，作、的垂直平分线交于点，即为内切圆圆心，连接，，正六边形的边长是，，为等边三角形，，，，点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坐标与图形，理解题意，作出图形辅助线是解题关键．8．如图，在正六边形中，点P是上任意一点，连接，，则与正六边形的面积之比为____________．

【答案】/【分析】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．设正多边形的中心为O，如图，连接，，，根据，得到，根据得到，而，求出比值即可．【详解】解：设正多边形的中心为O，如图，连接，，，

，，，，，与正六边形的面积之比为．故答案为：．9．如图，边长为6的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，过点作，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为___________．

【答案】【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求解不规则图形的面积．如图，过点作于点，于点．证明，，可得，，从而可得答案．【详解】如图，过点作于点，于点．

点是正方形的中心，，，，，，即，，，即，，，，，．故答案为：．10．如图，一个圆形纸片的圆心O与一个正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点的距离的最小值为__________．【答案】【分析】如图，由三角形三边关系分析可得当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，以此即可求解．【详解】解：如图，点B为上一点，点D为正方形上一点，连接，由三角形三边关系可得，，∵是圆的半径，为定值，当点D在A时，取得最小值，∴当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值，最小值为，由题意可得，AC=4，OB=4，∵点O为正方形的中心，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题，利用三角形三边关系分析得出当O、A、B三点共线时，圆上任意一点到正方形边上任意一点距离有最小值是解题关键．三、解答题11．Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（1）如图①，求∠ODE的大小；（2）如图②，连接OC交DE于点F，若OF=CF，求∠A的大小．【答案】（1）∠ODE=90°；（2）∠A=45°.【详解】分析：（Ⅰ）连接OE，BD，利用全等三角形的判定和性质解答即可；

（Ⅱ）利用中位线的判定和定理解答即可．详解：（Ⅰ）连接OE，BD．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．

∵E点是BC的中点，∴DE=BC=BE．

∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE=∠OBE．

∵∠ABC=90°，∴∠ODE=90°；

（Ⅱ）∵CF=OF，CE=EB，∴FE是△COB的中位线，∴FE∥OB，∴∠AOD=∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE=90°，∴∠AOD=90°．

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=．点睛：本题考查