专题04 反比例函数与一次函数、实际问题的综合压轴题四种模型全攻略（原卷版）

专题04反比例函数与一次函数、实际问题的综合压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一次函数与反比例函数图象综合判断】 1【考点二一次函数与反比例函数的交点问题】 3【考点三一次函数与反比例函数的实际应用】 6【考点四实际问题与反比例函数】 9【过关检测】 13【典型例题】【考点一一次函数与反比例函数图象综合判断】例题：（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，满足函数和的大致图像是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【变1-1】（2023·山东潍坊·统考一模）已知一次函数的图象如图所示，则与的图象在同一坐标系中正确的是（

）A．B．C．D．【变1-2】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，同一坐标系中，直线与双曲线大致位置错误的是（

）A．B．C．D．【考点二一次函数与反比例函数的交点问题】例题：（2023春·八年级课时练习）如图，反比例函数与一次函数相交于，两点，若，则x的取值范围是（）A． B．C． D．或【变2-1】（2023·浙江宁波·统考一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，的取值范围是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【变2-2】（2023春·广东云浮·九年级校考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，x的取值范围是(

)A． B． C．或 D．或【考点三一次函数与反比例函数的实际应用】例题：（2023春·浙江·八年级期末）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：(1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式；(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【变3-1】（2023春·全国·八年级阶段练习）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．(1)求部分双曲线的函数表达式；(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．【变3-2】（2023·山西晋中·统考二模）实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分．

(1)求点C，D所在反比例函数的表达式和直线的表达式；(2)张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生注意力指标不低于36，那么她最多可以讲______分钟．【考点四实际问题与反比例函数】例题：（2023春·八年级单元测试）当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位为）与发动机转数n（发动机曲轴的转动速度，单位为）存在一定的关系，某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M和转数n的数据如表：n（）1.522.534M（）400300240200150(1)以表中各组对应值为点的坐标，在如图直角坐标系中描出相应的点并用光滑曲线连结．(2)能否用学过的函数刻画变量M和n的关系？如果能，请求出M关于n的函数表达式；（不必写出n的取值范围）；如果不能，请说明理由．(3)某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不低于，但不超过，求此场景中该发动机转数n的取值范围．【变4-1】（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）已知，的长和边上的高分别是和，它的面积是．(1)求出与之间的函数关系式；(2)若自变量的取值范围是，求的最大值和最小值．【变4-2】（2023·山东临沂·统考二模）如图，某人对地面的压强（单位：）与这个人和地面接触面积（单位：）满足反比例函数关系．

(1)图像上点A坐标为，求函数解析式和这个人的体重．(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？(3)如果某一沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023春·四川宜宾·八年级校考期中）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北鄂州·统考二模）数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线与双曲线相交于点．根据图象可知关于的方程的解是（

）

A．或1 B．或2 C．1或2 D．或4．（2023·湖南邵阳·统考一模）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（）A．B．

C．

D．

二、填空题5．（2023春·浙江·八年级专题练习）若正比例函数与函数的图象没有交点，则k的值可以是________（写出一个即可）．6．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）已知点是函数与的图象的一个交点，且该交点的横坐标为，那么点的纵坐标是______．7．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．当时，的取值范围是______．8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是__________．三、解答题9．（2023·浙江台州·统考二模）如图，把的水从瓶子里全部倒出，设平均每秒倒出的水，所用的时间为秒．

(1)求关于的函数关系式；(2)要求至多10秒把水倒完，求平均每秒至少倒出多少毫升的水？10．（2023·广东广州·广东实验中学校考二模）电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．

(1)当时，求y与x之间的关系式；(2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过?11．（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式为．当广告停止后，销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．(1)当时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系式；(2)广告合同约定，当销售量不低于万件，并且持续天数不少于天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．12．（2023春·山西长治·八年级长治市第五中学校校考阶段练习）用橡胶或聚脂薄膜材斜制成气球，并充以比空气密度小的氢气或氦气，用以携带仪器升空，进行高空气象观测．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压与气体体积成反比例函数，其图象如图所示．

(1)求这个函数的表达式．(2)当气体体积为时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于时，气球将煤炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？13．（2023·贵州贵阳·统考一模）心理学家研究发现，一般情况下，学生在一节课中的注意力随教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，此时学生的注意力指标数与上课时间成一次函数关系，满足（），中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中为水平线段，为双曲线的一部分）．

(1)请根据图象，求出上课25min后学生的注意力指标数与上课时间所满足的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)一道数学作业题，需要讲22min，为了效果较好，老师能否经过适当安排，在学生注意力指标数不低于30的状态下讲完这道题目？请说明理由．14．（2023·内蒙古包头·二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（）与时