专题06 三角形的外接圆和内切圆的应用4种常见压轴题型全攻略（解析版）

专题06三角形的外接圆和内切圆的应用4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一圆和直线相切在直角坐标系中的相关计算】 1【考点二圆的切线的性质定理的应用】 2【考点三三角形外接圆和内切圆半径的计算】 2【考点四三角形外接圆和内接切圆中有关面积的计算】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一圆在直角坐标系中结合函数的相关计算】【例题1】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）A． B．C．或 D．（﹣2，0）或（﹣5，0）【答案】C【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴，∴，∴AP=，∴OP=或OP=，∴P或P，故选：C．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，是直线上的动点，的半径为，直线与相切于点，则线段的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接PQ、PO，如图，根据切线的性质得，再利用勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小的时候，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【详解】解：连接PQ、PO，如图：∵直线OQ切于点Q，∴，在中，，∴当OP最小的时候，OQ最小，当OP⊥直线y=2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为；故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理．4．如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝y或x＝﹣y，再判断一元二次方程解的情况即可求解．【详解】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，∴x＝y或x＝﹣y，当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x，∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，∴方程有两个不相等的实数解；当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x，∵Δ＝b2﹣4ac＝0，∴方程有两个相等的实数解；综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得到x＝y或x＝﹣y是解题的关键．5．如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（

）A．4 B． C． D．5【答案】D【分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求得；再求得直线AC的解析式为；设的半径为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据求得m=1，即可得点P的坐标为（1，5）；再由抛物线过点P，由此即可求得．【详解】在Rt△AOB中，，，∴；∵，，∴OC=6，∴C（0，6）；∵，∴A（6，0）；设直线AC的解析式为，∴，解得，∴直线AC的解析式为；设的半径为m，∵与相切，∴点P的横坐标为m，∵点P在直线AC上，∴P（m，-m+6）；连接PB、PO、PA，∵与、均相切，∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m，∵P（m，-m+6）；∴△AOP边OA上的高为-m+6，∵，∴，解得m=1，∴P（1，5）；∵抛物线过点P，∴．故选D．【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出的半径是解决问题的关键．【考点二切线的性质定理的应用】【例题2】和外切于点和的半径分别为1和2，直线与相切于点，与相交于，则的值为（

）

A． B． C． D．1【答案】B【分析】连接作直径，连接CH，延长交圆M于点G，连接，，作，交于点D，得出，即，再证明和，利用相似三角形的性质求出比值即可．【详解】解：连接作直径，连接CH，延长交圆M于点G，连接，，作，交于点D，由圆内接四边形和半径相等得，，∵是直径，∴，∴，∴，∵，∴，∵直线与相切于点，∴，∴∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．

【点睛】本题考查了圆的综合与相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意作出辅助线，熟练运用圆的切线性质和相似三角形的判定进行推理求解．【变式1】如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O在边AC上．如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理求得AB=5，两个三角形面积公式求得CD，即可得出⊙C的半径，根据“内相交”的定义得出＜OA＜，即可得出结论．【详解】解：△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，作CD⊥AB于D，以C为圆心，以CD为半径的圆C与直线AB相切于D，∴CD是⊙C半径，∵AC•BC=AB•CD，即×4×3=×5CD，∴CD=，∴⊙C的半径为，∵4-=，4+=，∴＜OA＜．故选：B．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理的应用，三角形的面积，求得⊙C的半径是解题的关键．【变式2】如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．【详解】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6，∴OP=，∴PQ=．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．11．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，则∠CBD的度数是（

）A．45°10' B．44°50' C．46°10' D．不能确定【答案】B【分析】根据切线的性质得到∠OPB=90°，根据平行线的性质得到∠POB=∠CBD，于是得到结论．【详解】解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB=90°，∵∠ABC=90°，∴OP∥BC，∴∠POB=∠CBD，根据量角器读出∠POB的度数约为：44°50'，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．【考点三三角形外接圆和内切圆半径的计算】【例题3】已知一个三角形的三边长为3、5、7,则其外接圆半径为（

）A． B． C． D．【变式1】如图，在中，，则内切圆的半径是（

）

A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理．设、、与的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长．【详解】解：如图，

在中，，根据勾股定理.四边形中，，，∴四边形是正方形，由切线长定理，得：，，；∴；∴．故选：C．【变式2】如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，连接，∵与相切，∴，，，，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴矩形是正方形，∴，设，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故选：D．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．22．如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】连接，，，如图，设的半径为r，利用勾股定理计算出，再证明四边形为正方形，则，所以，，进而可证，，因此，由此可解．【详解】解：连接，，，如图，设的半径为r，∵，，，∴，∵F点、D点为切点，∴，，又∵，∴四边形为矩形，又∵，∴四边形为正方形，∴，∴，，在和中，，∴，∴，同理可证，∴，∵，∴，∴，即的半径为2．故选C．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明四边形为正方形．【考点四求三角形外接圆和内切圆面积的计算】【例题4】如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（

）A．8 B． C． D．【答案】C【分析】设，由切线长定理得出，，，根据勾股定理，得．整理得，再由三角形面积公式即可得出答案．【详解】解：设，根据切线长定理，得，，，根据勾股定理，得，整理，得，∴，则的面积为，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．【变式1】已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，，，由面积关系可求解．【详解】解：如图，设内切圆与相切于点，点，点，连接，，，，，，切于，，，，同理：，，，，，故选A【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键．【变式2】已知的内切圆半径，、、为切点，，，，则．

【答案】5【分析】连接、、、、、，根据题意得到，即，进而得出，即可求解．【详解】解：如图，连接、、、、、，

∵的内切圆半径，、、为切点，，

，

，

，，

，

，

，，即，，故答案为：5．【点睛】本题考查圆的外接三角形，等腰三角形的性质，圆的切线定理，准确作出辅助线是解题的关键．【变式3】如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积．【答案】12【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果．【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，，∴，∵的周长为12，∴，∴的面积为：．【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示．【过关检测】一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得：PQ⊥OQ，再利用勾股定理得出OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，即可求解．【详解】连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在直角中，，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（-4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（

）A．

B．

C．

D．3【答案】B【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2−OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．【详解】解：如图，连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ．根据勾股定理知PQ2＝OP2−OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短，又∵A（−4，0）、B（0，4），∴OA＝OB＝4．∴AB＝．∴OP＝AB＝．∴PQ＝．故答案为：B．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．3．已知∠BAC＝45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA＝x，如果半径为1的⊙O与射线AC有两个公共点，那么x的取值范围是（）A．0＜x≤ B．l＜x＜ C．1≤x＜ D．x＞【答案】B【分析】当⊙O与射线AC相切时，OA有最大值，再考虑有两个公共点时，OA的取值范围．【详解】解：当⊙O与AC相切时，OA最长，故OA＝，∵点O与点A不重合，且与射线AC有两个公共点，∴故OA的长应大于1，∴x的取值范围是1＜x＜，故选：B．【点睛】本题利用了切线的概念，等腰直角三角形的性质求解．4．如图，已知中，，为的内切圆，若，且的面积为24，则的周长为（）A．48 B． C．24 D．【答案】C【分析】本题考查了三角形内切圆的性质及正方形的判定和性质．设的半径为r，与的三边、、的切点分别为D、E、F，连接、、．先证四边形是正方形，则，根据勾股定理求出r．又由的周长内切圆半径，即可求出的周长．熟练掌握“三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等”这一性质，并且能求出内切圆的半径是解题的关键．【详解】解：如图，设的半径为，与的三边、、的切点分别为，连接、、，则，，，且，又，∴四边形是正方形，，，，解得，，，，即的周长为，故选：C．5．如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（

）

A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解．【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，

根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，，，，，设，则，，，，，，，设，，，，，．故选：C．6．如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】连接、、，，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，【详解】解：连结接、、，，，，设半径为，

，，，，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，且，，，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．7．已知中，．是的内切圆，下列选项中，的半径为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，证明四边形是正方形，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．【详解】解：设圆O的半径是x，圆切于E，切于D，切于F，如图，

∵，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴的半径为，故选：A．【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．8．如图，在中，，，，则的内切圆的半径r是（

）

A．2 B．3 C．4 D．无法判断【答案】A【分析】根据等积法求内切圆半径，进行求解即可．【详解】解：∵，，，∴，如图：设的内切圆与各边的切点分别为点，连接，则：，

∵，∴，即：，∴；故选A．【点睛】本题考查求三角形内切圆的半径．熟练掌握等积法求内切圆的半径，是解题的关键．二、填空题9．在矩形中，，点E在边上，，以点E为圆心、为半径作（如图），点F在边上，以点F为圆心、为半径作．如果与外切，那么的长是．【答案】【分析】本题考查圆与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，连接，作于，设的半径是，得到，，，由勾股定理得到，求出，即可解决问题．解题的关键是通过作辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于方程．【详解】解：连接，作于，∵，点E在边上，，设的半径是，∵两圆外切，，∵四边形是矩形，，，∴四边形是矩形，，，，∵，∴，∴，∴的长是，故答案为：．10．如图，已知半的半径为60，半圆内两个小半圆的半径均为30，与三圆均相切，则的半径为．

【答案】20【分析】设的半径为r，连接，，再利用勾股定理可得，再解方程即可．【详解】解：设的半径为r，连接，，

则，，在中，由勾股定理，得，解得．故答案为：20【点睛】本题考查的是两圆相切的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．11．如图，正方形的边长是，，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处，分别与，，相切，切点分别为F、G、H，则的半径为．

【答案】2【分析】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定．如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可．【详解】解：如图所示，延长交于M，连接，∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，由折叠的性质可得，∴，又∵，∴，

∴，

设，则，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，如图所示，连接

∵分别与，，相切，切点分别为，，，∴，∵，∴，∴，∴的半径为，故答案为；2．12．如图，在中，，，则它内切圆的半径为．

【答案】【分析】本题考查了三角形内切圆的性质和等腰三角形的性质，连接，，，把原三角形分成三个三角形，而这三个三角形的高就是内切圆的半径．等腰三角形的面积可通过作高求得，这样得到关于半径的方程，解方程即可．【详解】解：作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，，

则，，，是内心，，，．、、三点共线，，设内切圆半径为，，，，，则，又，．故答案为：．13．如图，已知圆O为的内切圆，切点分别为D、E、F，且，，，则的半径r为．【答案】2【分析】连接，由勾股定理的逆定理求得是直角三角形，根据面积关系，即可求得半径．【详解】解：如图，连接，∵，，，，∴，∴是直角三角形，∵为的内切圆，切点分别为D、E、F，∴，且，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：2．14．已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为．

【答案】/【分析】连接，，通过证明得到，求得线段，利用三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得的长，再利用三角形的外角的性质和等腰三角形的判定与性质得到，则．【详解】解：连接，，

∵，∴，∴，∴，∴，∵点为的内心，∴，分别为，的平分线，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形的内角的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，充分利用相似三角形的判定与性质求得相应线段的长度是解题的关键．15．如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H．若，则的长为．【答案】/【分析】连接与交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到，，，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，从而得到，然后利用为等腰直角三角形得到，，从而得到．【详解】解：连接与交于P点，则它们的交点为O点，如图，∵正方形和等边都内接于圆O，∴，，，∵，∴，∴，在中，，∵，∴，∵为等腰直角三角形，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形和正方形的性质．16．如图，是的内切圆，若，则．【答案】/119度【分析】根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案．【详解】解：∵是的内切圆，∴，，∵，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．17．如图，已知正外切于最小圆，内接于第二个圆，正外切于第二个圆，内接于最大圆，若最小的圆的半径为，则最大圆的半径等于．【答案】【分析】连接，则最大圆的半径为，过的顶点A，过点O作，则与的交点D为内切圆的切点，即，与均为正三角形，，利用含直角三角形的性质即可求得最大圆的半径．【详解】连接，则最大圆的半径为，过的顶点A，过点O作，则与的交点D为内切圆的切点，即∵与均为正三角形，∴，∴，∴，即最大圆的半径等于，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内切圆与外接圆综合及含直角三角形的性质，熟练掌握含直角三角形的性质是解决问题的关键．18．已知，点为的外心，点为的内心．（1）若，则；（2）若，则．【答案】/100度/125度【分析】（1）如图，证明；求出，进而求出即可解决问题；（2）根据圆周角定理得到，根据三角形的内心的性质得到平分平分，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：（1）如图，的内心为点，，，，，，故答案为：；（2）如图，点为的外心，，，点为的内心，平分平分，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形的内心的概念和性质是解题的关键．三、解答题19．如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．

(1)若，求的度数；(2)若，求的周长．【答案】(1)(2)11【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是：（1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果；（2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可【详解】（1）解：∵，∴，∵为的内切圆，∴，，∴，∴；（2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为，∴，，∴的周长为：∵，，，∴．

20．如图，圆是的内切圆，其中，，求其内切圆的半径．【答案】．【分析】过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，根据勾股定理BD=，根据△ABC面积两种求法列等式得出即可．【详解】解：过B作BD⊥AC于D，切点分别为E、F、G，连结OE，OF，OG，设AD=x，CD=8-x,其内切圆的半径为r，根据勾股定理，即，解方程得，∴BD=，∵圆是的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥AB，OG⊥BC，OE=OF=OG=r，∴S△ABC=，∴，∴．【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积，掌握三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积公式是解题关键．21．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径．