专题05 圆和圆的位置关系4种常见压轴题型全攻略（解析版）

专题05圆和圆的位置关系4种常见压轴题型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一由半径和圆心距的关系求两圆相交的计算】 1【考点二两圆相切时求半径和圆心距的相关计算】 2【考点三由交点个数求两圆位置关系的计算】 2【考点四动点问题在两圆位置关系中拓展应用】 3【过关检测】 4【典型例题】【考点一由半径和圆心距的关系求两圆相交的计算】【例题1】如果两圆的半径分别是和，圆心距为，那么这两圆的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．外离 D．外切【详解】试题分析：若两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为d：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．∵∴这两圆的位置关系是相交故选A.考点：圆与圆的位置关系点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆与圆的位置关系，即可完成.【变式1】若⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6，圆心距O1O2=8，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】B【详解】试题分析：⊙O1、⊙O2的直径分别为4和6，圆心距O1O2=2，⊙O1、⊙O2的半径之和为5，只差为1，而1<O1O2=2<5,所以两圆相交考点：两圆的位置关系点评：考查两圆的位置关系，利用两圆的圆心距和两圆的半径之差或者之和，来判断两圆的位置【变式2】两圆的圆心都在x轴上，且两圆相交于A，B两点，点A的坐标是(3，2)，那么点B的坐标为(

)A．(–3，2) B．(3，–2) C．(–3，–2) D．(3，0)【答案】B【分析】根据两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，得点A和点B关于x轴对称．【详解】解：若两个点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数；所以点B的坐标为（3，-2）．故选B．【点睛】考查了两圆相交的性质：若两个点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．【变式3】已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程（x-1）（x-2）=0的两根，且O1O2=2，则⊙O1和⊙O2的位置关系是．【答案】相交.【详解】此题考查圆与直线的位置关系，，，，所以两圆相交答案相交【考点二两圆相切时求半径和圆心距的相关计算】【例题2】已知⊙O1与⊙O2外切，⊙O1的半径R=5cm，⊙O2的半径r=1cm，则⊙O1与⊙O2的圆心距是（）A．1cm B．4cmC．5cm D．6cm【答案】D【详解】：根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解．外切，则P=R+r（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．【变式1】已知两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】B【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可求解．【详解】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，∵3+2=5，∴d=R+r，∴这两圆的位置关系是外切．故选B．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系（设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d）为：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r；④两圆内切⇔d=R-r；⑤两圆内含⇔d＜R-r．【变式2】已知，一元二次方程的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是（）A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O2O2＜8【答案】C【详解】试题分析：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5，∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．故选C．考点：圆与圆的位置关系；根与系数的关系；分类讨论．【变式3】已知圆和圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆的半径为3cm，则圆的半径是（）．A．5cm B．11cm C．3cm D．5cm或11cm【答案】D【详解】若外切，则⊙B的半径是8-3=5，若内切，则⊙B的半径是8+3=11．故选D．【考点三由交点个数求两圆位置关系的计算】【例题3】已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，外离，则d＞R+r；内含，则d＜R-r．【详解】解：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R-r，即d＜2；当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．故选D．【变式1】已知的半径，的半径为，圆心距，如果与有交点，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系即可得．【详解】由题意得，的圆心在的内部如果与有交点，则有如图所示的两个临界位置因此有，即解得故选：D．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，依据题意，正确找到两个临界位置是解题关键．【变式2】已知的半径长为3，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是【答案】【分析】求得在内部且有唯一公共点时的半径和⊙O在内部且有唯一公共点时的半径，根据图形即可求得．【详解】解：如图，当在内部且有唯一公共点时，的半径为：，当在内部且有唯一公共点时，的半径为，

∴如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，注意掌握数形结合和分类讨论思想的应用．【变式3】⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O相切的圆的半径一定是（

）A．1cm或7cm B．1cm C．7cm D．不确定【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系可得⊙O与⊙M内切或外切，然后进行分类求解．【详解】解：由以M为圆心且与⊙O相切，可得：⊙O与⊙M内切或外切，则有：①当⊙O与⊙M内切时，∵⊙O的半径为3cm，OM=4cm，∴⊙M的半径为4+3=7cm；②当⊙O与⊙M外切时，∵⊙O的半径为3cm，OM=4cm，∴⊙M的半径为4-3=1cm；综上所述：当以M为圆心且与⊙O相切时，⊙M的半径为1cm或7cm；故选A．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，熟练掌握圆与圆的位置关系是解题的关键．【考点四动点问题在两圆位置关系中拓展应用】【例题4】如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含【答案】D【详解】试题分析：两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为d：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．由图可得以OP为半径的⊙O与⊙A的位置关系不可能是内含故选D.考点：圆与圆的位置关系点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握圆与圆的位置关系，即可完成.【变式1】如图，半圆D的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：连接01M，OO1，可得到直角三角形OO1M，依题意可知⊙O的半径为2，则OO1=2﹣y，OM=2﹣x，O1M=y．在Rt△OO1M中，由勾股定理得，解得．故选A．考点：根据实际问题列二次函数关系式．【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A、D为圆心，半径分别为2和1画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是(

)A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC于P，交⊙A、⊙D′于E、F′，连接PD，交⊙D于F，EF′就是PE+PF最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF最小值．【详解】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC于P，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．【变式3】如图，已知⊙的半径为3，圆外一点满足，点为⊙上一动点，经过点的直线上有两点、，且，°，不经过点，则的最小值为.【答案】4【详解】分析：连接OP、OC、PC，如图所示，则有OP≥OC-PC，当O、P、C三点共线时，OP=OC-PC；由∠APB=90°可知点P在以AB为直径的圆上，则⊙O与⊙C相切时，OP取得最小值，据此求解即可.详解：连接OP、OC、PC，如图所示，则有OP≥OC-PC，当O、P、C三点共线时，OP=OC-PC.∵∠APB=90°，OA=OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴⊙O与⊙C相切时，OP取得最小值，则OP′=OC-CP′=2，∴AB=2OP′=4.故答案为4.点睛：本题考查了圆与圆的位置关系，两点之间线段最短，判断出当⊙O与⊙C相切时，OP取得最小值是解答本题的关键.【过关检测】一、单选题1．已知点，，如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与⊙B的位置关系（

）A．内切 B．外切 C．内含 D．外离【答案】A【分析】求出AB=5，根据圆心距=半径之差，即可判断．【详解】解：∵点A（4，0），B，0，3），∴AB==5，∵⊙A与⊙B的半径分别为：2与7，∴半径差为：7-2=5，∴这两圆的位置关系是：内切．故选：A．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．2．如果⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，那么⊙O2的半径r的取值范围是（

）A． B． C．r>10 D．或r>10【答案】D【分析】根据⊙O1和⊙O2内含，分两种情况讨论，根据半径差大于圆心距列出不等式，解不等式求解即可【详解】解：∵⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，么⊙O2的半径为r当时，，则当时，，则综上所述，或r>10故选D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，分类讨论是解题的关键．3．如图，在梯形中，已知，，，，，分别以、为直径作圆，这两圆的位置关系是（

）A．内切 B．外切 C．相交 D．外离【答案】D【分析】先求出两圆的圆心距，和的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系求解．【详解】解：∵分别以、为直径作圆，∴两圆的圆心分别是、的中点，∴两圆心的连线是梯形的中位线．∵，，∴两圆的圆心距为，∵，，∴两圆的半径分别为3和2，∵，∴两圆外离，故选：D．【点睛】本题考查了梯形的中位线，以及圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆的半径．4．若两圆的半径分别是3和4，圆心距为8，则两圆的位置关系为

（

）A．相交 B．内含 C．外切 D．外离【答案】D【详解】试题分析：圆心距为d=8，R=4,r=3∵8>4+3，∴d>R+r∴两圆的位置关系是外离考点：圆的位置关系点评：本题难度较低，主要考查学生对圆心距的理解．易错：题目常以两个圆的半径且两个圆相切于一点，求圆心距，要分析内切与外切两种情况．5．点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（）A．5cm或9cm B．2.5cmC．4.5cm D．2.5cm或4.5cm【答案】D【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．【详解】解：①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm，∴圆的直径为7﹣2＝5（cm），∴该圆的半径是2.5cm；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为2cm，最长距离为7cm，∴圆的直径＝7+2＝9（cm），∴圆的半径为4.5cm，故选：D．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．6．已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（

）A．相交 B．内切 C．外切 D．外离【答案】C【分析】首先解方程x2-7x+10=0，求得两圆半径r1、r2的值，又由两圆的圆心距为7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径r1、r2的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系【详解】∵，解得：，∴两圆半径r1、r2分别是2，5．∵2＋5=7，两圆的圆心距为7，∴两圆的位置关系是外切．故选C．7．圆心距为6的两圆相外切，则以这两个圆的半径为根的一元二次方程是（）A．B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：A选项，∵△=，∴此方程无解．B选项，∵△=，∴此方程有解．又．C，D选项的两根之和都不是6，故选B．考点：1．圆与圆的位置关系；2．根与系数的关系．二、填空题8．已知两等圆的半径为，公共弦长为，则圆心距为．【答案】【分析】根据相交两圆的性质得出O1O2⊥AB，利用勾股定理得出CO1，即可得出答案．【详解】解：连接O1O2，设两圆的公共弦为AB，故O1O2⊥AB，∵两等圆的半径为5cm，公共弦长6cm，∴AC=BC=3cm，AO1=5cm，CO1=CO2===4（cm），∴O1O2=8（cm），故答案为8cm．【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，根据已知得出O1O2⊥AB是解题关键．9．已知两圆半径分别为1和3，两圆相切，则圆心距为．【答案】4或2．【详解】试题分析：由两圆相切，可从内切与外切去分析，又由两圆的半径分别为1和3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得两圆的圆心距．试题解析：∵两圆的半径分别为1和3，若两圆内切，则两圆的圆心距为：3-1=2；若两圆外切，则两圆的圆心距为：3+1=4；∴两圆的圆心距为4或2．考点：圆与圆的位置关系．10．已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为．【答案】11或21【分析】设半径长分别为13和20的、相交于点、点，，连接、，则，，再分两种情况讨论，一是点、点在直线的同侧，延长交于点，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得，，可由勾股定理求得，，则；二是点、点在直线的异侧，交于点，则，，．【详解】解：半径长分别为13和20的、相交于点、点，，连接、，则，，如图1，点、点在直线的同侧，延长交于点，垂直平分，，，，，；如图2，点、点在直线的异侧，交于点，，，，，，综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，故答案为：11或21．【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．11．两圆的半径分别为3cm和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为．【答案】相交【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【详解】解：由题意知，两圆圆心距d=5＜R+r=7，故两圆相交故答案为：相交．【点睛】本题主要考查两圆之间的位置关系，两圆外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R-r＜P＜R+r；内切，则P=R-r；内含，则P＜R-r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．12．如图，⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为3和1，过O1作⊙O2的切线，切点为A，则O1A的长为.【答案】．【分析】连接过切点的半径，构造直角三角形，根据两圆内切，得到两圆的圆心距，再根据勾股定理进行计算．【详解】解：连接O2A，根据切线的性质，得∠=90°，根据两圆内切，得=3-1=2，根据勾股定理，在Rt△O1AO2中，O1A=．故答案为：【点睛】此题综合运用了切线的性质、勾股定理以及根据两圆内切，正确计算两圆的圆心距的知识点．13．两圆半径分别为2、3，两圆圆心距为d，则两圆相交时d的取值范围为．【答案】1＜d＜5【详解】∵两圆半径分别为2、3，两圆圆心距为d，∴两圆相交时d的取值范围为3﹣2＜d＜3+2，即1＜d＜5．故答案为1＜d＜5．点睛：本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．14．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于厘米．【答案】3【分析】由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．【详解】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，∴d＝R﹣r＝5﹣2＝3cm，故答案为3．【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．15．若相切两圆的半径分别是方程的两根,则两圆圆心距的值是.【答案】1或5．【详解】试题分析：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+6=0的两根,∴r1=x1=2,r2=x2=3,∵两圆相切,∴圆心距为3﹣2=1或2+3=5．故答案是1或5．考点：圆与圆的位置关系．16．已知的半径为，的半径为，圆心距，如果在上存在一点，使得，则的取值范围是．【答案】【分析】当位于内部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最大值；当位于外部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最小值．【详解】当位于内部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最大值．如图所示，．

当位于外部，且，，位于同一条直线上时，可以取得最小值．如图所示，．

故答案为：．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．三、解答题17．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接．（1）求证：；（2）如果＝10，，求⊙的半径长．【答案】（1）证明见解析；（2）5.【分析】（1）连接，利用垂径定理，连心线与公共弦关系原理，证明△E≌△即可；（2）利用△E∽△CA即可解答．【详解】（1）⊙和⊙相交于A、B两点，∴是AB的垂直平分线，∴∠CA=90°，∵E为AD的中点，∴E⊥AD，∴∠EA=90°，∴∠CA=∠EA，如图,连接∵AE＝AC，A=A∴△E≌△C，∴E＝C.（2）∵E⊥AD，∴∠E＝90°，在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6，∵，∴，∴E＝8，∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠，∴△E∽△CA，∴,∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6，，∴＝5，即⊙的半径长为5.故答案为5.【点睛】本题考查圆，圆与圆的位置关系，三角形的相似，勾股定理，熟记圆垂径定理，连心线与公共弦的关系定理，三角形相似判定定理是解题的关键.18．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B．(1)求证：O1AO2B；(2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1AO2B，只需推知∠A＝∠B；（2）利用（1）中的结论，结