专题04 反比例函数与一次函数、实际问题的综合压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题04反比例函数与一次函数、实际问题的综合压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一次函数与反比例函数图象综合判断】 1【考点二一次函数与反比例函数的交点问题】 3【考点三一次函数与反比例函数的实际应用】 6【考点四实际问题与反比例函数】 9【过关检测】 13【典型例题】【考点一一次函数与反比例函数图象综合判断】例题：（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，满足函数和的大致图像是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】B【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案．【详解】解：一次函数．∵反比例函数的图象经过第二、四象限，∴，∴，∴一次函数位于第一、二、四象限；故图①错误，图②正确；∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴；∴，∴一次函数位于第一、三、四象限；故图③正确，图④错误，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．【变1-1】（2023·山东潍坊·统考一模）已知一次函数的图象如图所示，则与的图象在同一坐标系中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意可得，，从而得到一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比函数的图象位于第一、三象限内，即可求解．【详解】解：根据题意得：，，∴，∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比函数的图象位于第一、三象限内．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．【变1-2】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，同一坐标系中，直线与双曲线大致位置错误的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出，的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出，的符号，至此找出一次函数和反比例函数，的符号一致的选项即可．【详解】解：A.由一次函数图象知，异号，即，同号，由反比例函数图象知，同号，故该选不符合题意；B.由一次函数图象知，异号，即，同号，由反比例函数图象知，异号，故该选项错误，符合题意；C.由一次函数图象知，同号，即，异号，由反比例函数图象知，异号，故该选项错误，不符合题意；D.由一次函数图象知，异号，即，同号，由反比例函数图象知，同号，故该选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于确定出，的符号，明确系数与函数图象的关系．【考点二一次函数与反比例函数的交点问题】例题：（2023春·八年级课时练习）如图，反比例函数与一次函数相交于，两点，若，则x的取值范围是（）A． B．C． D．或【答案】D【分析】把A点坐标代入可求出m的值，进而可求出B点坐标，根据，即可求出答案．【详解】解：把代入得，，解得：，∴反比例函数的解析式为，把代入得，解得：，∴，当时，正比例函数图象在反比例图象下方，∴或，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据题意求出B点坐标是解题关键．【变2-1】（2023·浙江宁波·统考一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，的取值范围是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】先把代入，求出n值，再根据图象直接求解即可．【详解】解：把代入，得，解得：，∴，∵图象交于、两点，∴当时，或．故选：D．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握利用图象法求自变量的取值范围是解题的关键．【变2-2】（2023春·广东云浮·九年级校考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，当时，x的取值范围是(

)A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】利用待定系数法求得点A的坐标，结合图象，利用数形结合法解答即可．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，，∴，∴．∴．∴当时，x的取值范围是或．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键．【考点三一次函数与反比例函数的实际应用】例题：（2023春·浙江·八年级期末）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：(1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式；(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【答案】(1)药物燃烧时的函数解析式为；药物燃烧时的函数解析式为；(2)没有效，见解析【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用时分别代入求出答案．【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为，将点代入，得，解得，∴药物燃烧时的函数解析式为；设药物熄灭后y关于x的函数关系式是，将点代入，得，解得，∴药物燃烧时的函数解析式为；（2）当时，，解得；当时，，解得，∵，∴这次消毒没有效．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．【变3-1】（2023春·全国·八年级阶段练习）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．(1)求部分双曲线的函数表达式；(2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．【答案】(1)；(2)第二天早上不能驾车去上班．【分析】（1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；（2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．【详解】（1）解：设直线的解析式为，∵直线过，∴，解得∴直线的解析式为，当时，，即，设双曲线的解析式为，将点代入求得：，∴；（2）解：由得，当时，，从晚上到第二天早上时间间距为小时，∵，∴第二天早上不能驾车去上班．【点睛】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点，熟练相关性质是解题的关键．【变3-2】（2023·山西晋中·统考二模）实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，其中当时，图象是反比例函数的一部分．

(1)求点C，D所在反比例函数的表达式和直线的表达式；(2)张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生注意力指标不低于36，那么她最多可以讲______分钟．【答案】(1)，(2)【分析】（1）设反比例函数的表达式为，将点C代入确定反比例函数解析式，然后即可确定，设的表达式为，利用待定系数法代入求解即可；（2）求出当时，两个函数的值，然后即可求解．【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，将代入得：，∴．当时，，∴．∴．设的表达式为，将，代入，得：，解得，∴（2）当时，，解得，，解得：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式是解题关键．【考点四实际问题与反比例函数】例题：（2023春·八年级单元测试）当发动机的输出功率一定时，输出的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位为）与发动机转数n（发动机曲轴的转动速度，单位为）存在一定的关系，某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M和转数n的数据如表：n（）1.522.534M（）400300240200150(1)以表中各组对应值为点的坐标，在如图直角坐标系中描出相应的点并用光滑曲线连结．(2)能否用学过的函数刻画变量M和n的关系？如果能，请求出M关于n的函数表达式；（不必写出n的取值范围）；如果不能，请说明理由．(3)某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不低于，但不超过，求此场景中该发动机转数n的取值范围．【答案】(1)见详解(2)能，M关于n的函数表达式为(3)【分析】（1）根据题意可直接进行画出函数图象；（2）由（1）可知M和n符合反比例函数关系，则设M关于n的函数表达式为，然后问题可求解；（3）根据题意及结合函数图象可直接进行求解．【详解】（1）解：由题意可得如下函数图象：（2）解：由（1）可设M关于n的函数表达式为，则把点代入得：，∴M关于n的函数表达式为；（3）解：由题意可得：当时，则有，解得：；当时，则有，解得：；∴n的取值范围为．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【变4-1】（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）已知，的长和边上的高分别是和，它的面积是．(1)求出与之间的函数关系式；(2)若自变量的取值范围是，求的最大值和最小值．【答案】(1)(2)没有最大值，最小值是【分析】（1）利用三角形的面积公式即可解决问题；（2）先列表，然后描点，连线即可画出函数图象，观察图象即可解决问题；【详解】（1）解：由题意：∴．（2）列表：…………描点、连线如图所示：

自变量的取值范围是，则没有最大值，当时，的最小值是．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【变4-2】（2023·山东临沂·统考二模）如图，某人对地面的压强（单位：）与这个人和地面接触面积（单位：）满足反比例函数关系．

(1)图像上点A坐标为，求函数解析式和这个人的体重．(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？(3)如果某一沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？【答案】(1)函数解析式为，这个人的体重．(2)人双脚站立时对地面的压强为．(3)木板面积至少为．【分析】（1）由图象可知压强与接触的受力面积成反比，故可得到对应的反比例函数，再将点代入解析式即可求得反比例函数的解析式，由反比例函数的解析式可分析得到人的体重．（2）首先换算单位，根据，带入解析式即可求得此人双脚站立时对地面的压强大小．（3）根据得：，将地面能承受的最大压强代入解析式即可求得至少多大的木板才不至于下陷．【详解】（1）解：由图示图像可知函数解析式为：，∵时，，由，人的体重，∴．答：函数解析式为，这个人的体重．（2）解：先换算单位，根据，代入反比例函数中得：人双脚站立时对地面的压强为：．答：人双脚站立时对地面的压强为．（3）解：根据得：，木板面积至少为：．答：木板面积至少为．【点睛】本题主要考查求反比例函数解析式，反比例函数与实际问题，能够通过函数图象判断函数类别以及正确求解函数解析式是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图象即可判断．【详解】解：由图象可知：当时，反比例函数大于一次函数的函数值，当时，反比例函数等于一次函数的函数值，当时，一次函数大于反比例函数的函数值，当时，反比例函数等于一次函数的函数值，当时，反比例函数大于一次函数的函数值，即当一次函数大于反比例函数的值时，x的取值范围是：故选：B．【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数的图象，解题的关键是熟知交点的性质．2．（2023春·四川宜宾·八年级校考期中）在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．【详解】解：当时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A、B错误，C正确；当时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D错误；故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．3．（2023·湖北鄂州·统考二模）数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线与双曲线相交于点．根据图象可知关于的方程的解是（

）

A．或1 B．或2 C．1或2 D．或【答案】A【分析】根据反比例函数图象和一次函数图像的交点直接判断即可．【详解】解：∵直线与双曲线相交于点，∴关于的方程的解是或1．故选：A．【点睛】本题主要考查反比例函数图象和一次函数图像的交点问题，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．4．（2023·湖南邵阳·统考一模）在同一坐标系中，函数和的图象大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据一次函数和反比例函数图象的性质进行判断即可．【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k，∴两个函数图象必有交点，交y轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有选项C，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质．二、填空题5．（2023春·浙江·八年级专题练习）若正比例函数与函数的图象没有交点，则k的值可以是________（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】根据正比例函数与反比例函数图象与系数的关系解答即可．【详解】解：∵正比例函数与函数的图象没有交点，∴，∴k的值可以是（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握它们的图象与性质是解题的关键．（1）正比例函数，①时，正比例函数图象过第一、三象限；②时，正比例函数图象过第二、四象限．（2）反比例函数，①时，反比例函数图象在第一、三象限；②时，反比例函数图象在第二、四象限．6．（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）已知点是函数与的图象的一个交点，且该交点的横坐标为，那么点的纵坐标是______．【答案】2【分析】根据点A是两个函数的交点，那么当时，两函数的函数值相等，则，求出a的值进而求出正比例函数解析式，再把代入正比例函数解析式求出y的值即可得到答案．【详解】解：根据题意，得：，解得：，∴正比例函数的解析式是：，把代入中得，，点的纵坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，正确求出a的值是解题的关键．7．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．当时，的取值范围是______．【答案】【分析】先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后结合函数图像，写出反比例函数图像在一次函数图像下方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：∵，在反比例函数的图像上，∴，解得：，∴反比例函数解析式为，当时，，即，∴，∴当时，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．掌握利用图像法解不等式是解题的关键．8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是__________．【答案】或【分析】先利用对称性求出点B的坐标为，再利用函数图象法进行求解即可．【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象交于，两点，∴由对称性可知，点B的坐标为，由函数图象可知，当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，即此时，∴若，则的取值范围是或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数综合，正确找出正比例函数图象在反比例函数图象的下方时自变量的取值范围是解题的关键．三、解答题9．（2023·浙江台州·统考二模）如图，把的水从瓶子里全部倒出，设平均每秒倒出的水，所用的时间为秒．

(1)求关于的函数关系式；(2)要求至多10秒把水倒完，求平均每秒至少倒出多少毫升的水？【答案】(1)(2)平均每秒至少倒出水，至多把水倒完【分析】（1）所用时间等于总量÷每秒倒出的水量列关系时即可；（2）令（1）中，解出x的值，在勇反比例函数增减性计算即可．【详解】（1）∵，∴；（2）当时，，解得∵当时，随的增大而减小，∴时，，∴平均每秒至少倒出水，至多把水倒完．【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，根据实际问题抽象化为反比例函数，列出关系式是解题的关键．10．（2023·广东广州·广东实验中学校考二模）电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．

(1)当时，求y与x之间的关系式；(2)电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过?【答案】(1)当时，y与x的关系式为：．(2)温度x取值范围是时，电阻不超过．【分析】（1）设y与x之间的关系式为，把点和点代入求得m的值即可解答；（2）当时，设y与x的关系式为，然后求得解析，然后分别求出时，两函数的函数值即可求解解答．【详解】（1）解：当时，设y与x之间的关系式为，根据题意得：该函数图像过点和点，∴，解得：，∴当时，y与x的关系式为：．（2）解：∵，∴当时，，根据题意得：该函数图像过点，∵温度每上升，电阻增加．当时，设y与x的关系式为，∴该函数图像过点，∴，解得：，∴当时，y与x的关系式为：；对于，当时，；对于，当时，．答：温度x取值范围是时，电阻不超过．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键．11．（2023秋·陕西榆林·九年级绥德中学校考期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系式为．当广告停止后，销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．(1)当时，求该商品上市以后销售量y（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系式；(2)广告合同约定，当销售量不低于万件，并且持续天数不少于天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？请说明理由．【答案】(1)(2)设计师可以拿到特殊贡献奖，理由见解析【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；（2）分别求得销量不低于万件的天数，相加后大于等于天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．【详解】（1）解：当时，设，把代入得，∴（2）当时，由得，，即，有天；当时，由，解得：，即，有天，共有天，因此设计师可以拿到特殊贡献奖．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型．12．（2023春·山西长治·八年级长治市第五中学校校考阶段练习）用橡胶或聚脂薄膜材斜制成气球，并充以比空气密度小的氢气或氦气，用以携带仪器升空，进行高空气象观测．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压与气体体积成反比例函数，其图象如图所示．

(1)求这个函数的表达式．(2)当气体体积为时，气压是多少？(3)当气球内的气压大于时，气球将煤炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，将点代入，得，进行计算即可得；（2）将代入计算即可得；（3）将代入计算即可得．【详解】（1）解：设，将点代入，可得，∴，故；（2）当时，，∴当气体体积为时，气压是；（3）当时，，∴为了安全起见，气体的体积应不小于【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比函数的图象和性质．13．（2023·贵州贵阳·统考一模）心理学家研究发现，一般情况下，学生在一节课中的注意力随教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，此时学生的注意力指标数与上课时间成一次函数关系，满足（），中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（min）的变化规律如图所