第16讲 拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【备考策略】1能用导数解决函数基本问题2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义3能运用拉格朗日中值定理解题【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习知识讲解1.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数f（x）满足如下条件：（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得．2.拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．需要注意的地方（逆命题不成立）

拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于

切线斜率,如fx=x3在拉格朗日公式还有下面几种等价形式，，．注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，．考点一、拉格朗日中值定理的认知及简单应用1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值点”，根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为.2．（2024高三上·全国·专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（

）（参考数据：.）A．1 B．2 C．0 D．3．（2024高三上·全国·专题练习）已知，，(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件．（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导则在开区间上至少存在一点ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值”．2．（2024·河北衡水·三模）已知．(1)求的单调区间和最值；(2)定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：若，求证：．3．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；(3)若，且，求证:.考点二、拉格朗日中值定理在导数中的综合应用设,求证:当时,对任意,有设,当时,若对任意的成立,求的取值范围设,若对任意,都有,求的范围1．（2024·天津·高考真题）设函数．(1)求图象上点处的切线方程；(2)若在时恒成立，求的值；(3)若，证明．2．（2024·山东济宁·一模）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立；(3)设，，数列的前项和为．证明：．3．（高三上·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数.（1）求函数的最大值；（2）设,证明.1．（2022高三·全国·专题练习）已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，证明：对任意，，．2．（21-22高二下·广东深圳·期中）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)任取两个正数，当时，求证：.3．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，证明：4．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数.(1)试判断函数的单调性；(2)已知函数，若有且只有两个极值点，且，证明：.5．（2022·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）.(1)讨论函数的单调性；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.6．（2023·山东淄博·二模）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若，是函数的两个极值点，且，求证：.7．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，其中.(1)当时，求的极值；(2)当，时，证明：.8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数，．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)设是函数的两个极值点，证明：．9．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最大值.10．（2022高三·全国·专题练习）已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：(1)当时，；(2)当时，．11．（21-22高二下·安徽合肥·期中）已知函数（为常数）(1)讨论的单调性(2)若函数存在两个极值点，且，求的范围.12．（22-23高二下·河南洛阳·期末）已知函数（a为常数）．(1)若函数是增函数，求a的取值范围；(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．13．（2023·湖南常德·一模）已知函数（）.(1)讨论函数的单调性；(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.14．（21-22高二下·天津·期中）已知函数(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；(2)当时，讨论f（x）的单调性；(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.15．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数.(1)若函数为增函数，求的取值范围；(2)已知.（i）证明：；（ii）若，证明：.16．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且在处取得极大值．(1)求的值与的单调区间．(2)如图，若函数的图像在连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表达式〔用含的式子表示〕．(3)利用这条性质证明：函数图像上任意两点的连线斜率不大于．17．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导;③对，，则，使得.特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.18．（2024·广东·二模）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．(1)证明：当时，；(2)从图形上看，函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．①当时，证明：；②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．19．（23-24高二下·重庆·期中）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理．(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明；(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若，求证：．20．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数、，的图象在处的切线与轴平行．(1)求，的关系式并求的单调减区间；(2)证明：对任意实数，关于的方程：在,恒有实数解；(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间,上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数