专题03 反比例函数与几何综合问题压轴题七种模型全攻略（原卷版）

专题03反比例函数与几何综合问题压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一已知比例系数求特殊图形的面积】 1【考点二根据图形面积求比例系数(解析式)】 3【考点三反比例函数与三角形的综合问题】 6【考点四反比例函数与平行四边形的综合问题】 12【考点五反比例函数与矩形的综合问题】 15【考点六反比例函数与菱形的综合问题】 20【考点七反比例函数与正方形的综合问题】 24【过关检测】 27【典型例题】【考点一已知比例系数求特殊图形的面积】例题：（2023春·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考阶段练习）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于___________．【变式1-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是和设点在图象上，垂直于轴于点，交图象于点，垂直于轴于点，交图象于点，则四边形的面积为_______【变式1-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线上的一个动点，轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积将会________．（填“逐渐增大”或“不变”或“逐渐减小”）【考点二根据图形面积求比例系数(解析式)】例题：（2023·西藏拉萨·统考一模）如图，一直线经过原点，且与反比例函数相交于点、点，过点作轴，垂足为，连接．若面积为，则___．【变式2-1】（2023·山西忻州·统考一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴交于点D，过点A作轴于点C，若，则k=______．【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）如图，反比例函数和的图象在第一象限内分别交矩形的顶点和对角线的中点，则的值为______．【考点三反比例函数与三角形的综合问题】例题：（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图，为等边三角形，点恰好在反比例函数的图象上，且轴于点．若点的坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．2【变式3-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为________．【变式3-2】（2023·山东济南·统考一模）已知在等腰直角三角形中，，，．(1)如图1，请直接写出点C的坐标______，若点C在反比例函数上，则______；(2)如图2，若将延x轴向右平移得到，平移距离为m，当，都在反比例函数上时，求，m；(3)如图3，在（2）的条件下，在y轴上是否存在点P，使得的面积是面积的一半．若存在，请求出点P；若不存在，请说明理由．【考点四反比例函数与平行四边形的综合问题】例题：（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使点B、C均在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为_______．【变式4-1】（2023春·山东济南·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，．反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，则________【变式4-2】（2023·河南·模拟预测）如图，平行四边形OABC的顶点A，C都在反比例函数y（k＞0）的图象上，已知点B的坐标为（8，4），点C的横坐标为2．(1)求反比例函数y（k＞0）的解析式；(2)求平行四边形OABC的面积S．【考点五反比例函数与矩形的综合问题】例题：（2023·广东佛山·石门中学校考一模）如图，矩形ABCD的边轴，顶点A在反比例函数上，点B、D在反比例函数上，则矩形ABCD的面积为（）A． B．3 C． D．4【变式5-1】（2023·广东湛江·校考一模）如图，在矩形中，，点D是边的中点，反比例函数的图像经过点D，交于点E．(1)求k的值及直线的解析式；(2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标．【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是的中点，过点D的反比例函数图像交于E点，连接．若，．(1)求过点D的反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)x轴上是否存在点P使为直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点六反比例函数与菱形的综合问题】例题：（2023·陕西榆林·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则的值为__________．【变式6-1】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图像上，且若将该菱形向下平移个单位后，顶点恰好落在此反比例函数的图像上，则此反比例函数的表达式为________．【变式6-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．(1)求反比例函数的关系式；(2)设点在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．【考点七反比例函数与正方形的综合问题】例题：（2023·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为______．【变式7-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，点A，B分别在函数，的图象上，点D，C在x轴上．若四边形为正方形．则点A的坐标是______．【变式7-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图像经过点．(1)点的坐标为

；(2)求反比例函数的解析式．【过关检测】一、选择题1．（2023春·北京西城·九年级北京四中校考开学考试）下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与轴平行，，两点纵坐标分别为，，反比例函数经过，两点，若，则值为（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点、在轴上在的左侧，且，连接、，这关于四边形的面积的结论正确的是（

）A． B．C． D．四边形的面积无法确定4．（2023春·江苏·八年级专题练习）函数和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积大小不会发生变化；④．其中所有正确结论有（

）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题5．（2023秋·山东德州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点，连接，则面积为________．6．（2023秋·福建福州·九年级校考期末）如图，是反比例函数的图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积是______．7．（2023春·山东济南·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别与反比例函数和的图象交于、两点，若，则的值为______．8．（2023·河北沧州·校考三模）如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接，．若四边形的面积为3，则的值为________．

三、解答题9．（2023·福建宁德·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点，交于点．

(1)求该反比例函数的解析式；(2)求的面积．10．（2023·山东淄博·二模）如图，平面直角坐标系中，的边在x轴上，对角线交于点D，函数的图像经过点和点D．

(1)求点D的坐标；(2)求的面积．11．（2023·河南商丘·统考三模）如图，菱形顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点为．

(1)求的值；(2)点为反比例函数图象上一个动点，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标．12．（2023·江苏苏州·校考二模）如图1，四边形为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

(1)求点C的坐标；(2)如图2，将正方形沿x轴向右平移得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标．13．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．14．（2023·山东济南·统考三模）如图，矩形的顶点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，反比例函数图象经过的中点，且与交于点．

(1)求的值和点的坐标：(2)连接，，求四边形的面积；(3)为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边