专题02 反比例函数的图象和性质压轴题八种模型全攻略（解析版）VIP

专题02反比例函数的图象和性质压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一判断(画)反比例函数图象】 1【考点二已知反比例函数的图象判断其解析式】 3【考点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 4【考点四判断反比例函数所在象限】 6【考点五判断反比例函数的增减性】 7【考点六已知反比例函数分布的象限求参数范围】 9【考点七已知反比例函数的增减性求参数】 10【考点八比较反比例函数值或自变量的大小】 11【过关检测】 13【典型例题】【考点一判断(画)反比例函数图象】【例题1】（2023春·八年级单元测试）反比例函数的图象大致是(

)A．B．

C．D．

【答案】C【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：∵反比例函数中，∴图象分布在第二、四象限，即：

故选：C．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【变式1-1】（2023·湖南株洲·九年级统考阶段练习）已知反比例函数，其图象在平面直角坐标系中可能是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．【详解】解：∵，，∴该函数图象在第一、第三象限，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．【变式1-2】（2023·安徽蚌埠·校联考二模）反比例函数的图像大致是图中的（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于二四象限的双曲线，据此判断即可．【详解】对于反比例函数，比例系数，∴函数图像是位于二四象限的双曲线．故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键．【考点二已知反比例函数的图象判断其解析式】【例题2】（2023·云南昆明·昆明八中校考二模）如图所示，其函数解析式可能是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的图象进行解答即可．【详解】解：反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限，，可能是，故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．【变式2-1】（2023春·江苏·八年级统考期末）物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由于压强压力受力面积，由图像可知与之间是反比例函数关系，可设，利用图像上的点，可求出的值，即可得出最后结果．【详解】解：由图像可知与之间是反比例函数关系，故设，由于在此函数解析式上，，即，．故选：．【点睛】本题考查了反比例函数解析式及图像，解答本题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．【变式2-2】（2023·河北沧州·统考三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（

）

A． B．1 C．3 D．5【答案】C【分析】由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案.【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即，所以k的值可能是3；故选：C.【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据函数图象得出是解题的关键.【考点三由反比例函数图象的对称性求点的坐标】【例题3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解：点A与关于原点对称，点的坐标为．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数．【变式3-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_______________．【答案】【分析】正比例函数和反比例函数的图象是中心对称图形，则它们的交点一定关于原点对称．【详解】∵已知正比例函数（a为常数，）与反比例函数的图象的一个交点坐标为，∴交点坐标为∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点关于原点对称，∴该点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称是解题的关键．【变式3-2】（2023春·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是___．【答案】（﹣3，﹣2）【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵A的坐标为（3，2），∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【考点四判断反比例函数所在象限】【例题4】（2023春·江苏·八年级专题练习）已知反比例函数则该反比例函数的图象在___________象限．【答案】第二、四【分析】根据，即可求解．【详解】解：∵反比例函数，∴该反比例函数的图象在第二、四象限，故答案为：第二、四．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，在中，当k>0时，函数的图象在一、三象限，当时，反比例函数的图象在二、四象限，数形结合是解题的关键．【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）已知函数，当时，函数的图象在第_____象限．【答案】四【分析】反比例函数的图象，当、时位于第四象限．【详解】∵，∴当时，，∴函数，当时，函数的图象在第四象限故答案为：四．【点睛】本题考查了判断反比例函数图象所在象限，当时，函数位于一、三象限；当时，函数位于二、四象限．【变式4-2】（2023·广东云浮·校考一模）点在反比例函数的图象上，那么该反比例函数的图象位于第______象限．【答案】二、四【分析】根据题意易得，进而问题可求解．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴，∴该反比例函数的图象位于第二、四象限；故答案为二、四．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【考点五判断反比例函数的增减性】【例题5】（2023春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）已知点、在反比例函数的图像上，则a______b（填“>”、“<”或“＝”）．【答案】>【分析】根据反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，即可进行解答．【详解】解：∵反比例函数，，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，∵点、在反比例函数的图像上，，∴，故答案为：>．【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数，再每一象限内，y随x的增大而减小；反之，反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而增大．【变式5-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过、两点，则__________．（填“”“”或“”）【答案】【分析】根据反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案．【详解】解：∵反比例函数解析式为，，∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，∵反比例函数的图象经过、两点，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，正确判断出反比例函数的增减性是解题的关键．【变式5-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知点，，都在反比例函数（为常数，且）的图象上，则的大小关系是______．【答案】【分析】根据得到图象在第二、四象限并且函数值随自变量的增大而减小即可解答．【详解】解：∵比例函数，∴，∴图象在第一、三象限，当时，图象在第三象限，函数值随自变量的增大而减小，∴在点，中，，∴,当时，图象在第一象限，函数值随自变量的增大而减小，∴在点中，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．【考点六已知反比例函数分布的象限求参数范围】【例题6】（2023·福建莆田·校考三模）若双曲线在第一、三象限，则k可以是________．（写出一个k的值即可）【答案】2【分析】根据反比例函数的图象和性质，由即可解得答案．【详解】解∶∵反比例函数的图象在第一、三象限内．∴．故答案为∶2(答案不唯一，大于0即可)．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质∶当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．【变式6-1】（2023·重庆沙坪坝·统考一模）反比例函数的图象过第一、三象限，则常数的取值范围是__________．【答案】【分析】根据反比例函数的图象与性质，时，图象过第一、三象限，即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数的图象过第一、三象限，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是本题的关键．【变式6-2】（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的值为__________．【答案】2【分析】根据反比例函数的图象与性质可得到关于m的不等式，解不等式即可求得m的取值范围．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴，解得：或，又，解得：，∴．故答案为：2【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确地求得m的值是解题的关键．【变式6-3】（2023·浙江台州·统考一模）已知反比例函数的图像位于第二、第四象限，则m的取值范围为________．【答案】【分析】根据反比例函数的性质得到，解不等式即可得到答案．【详解】解：∵的图像位于第二、第四象限，∴，∴，即m的取值范围为．故答案为：【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．【考点七已知反比例函数的增减性求参数】【例题7】（2023春·八年级单元测试）在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则m的取值范围是____．【答案】【分析】根据在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而增大知，即可得．【详解】解：依题意得：，解得．故答案是：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，即对于反比例函数有（1）当时，都随的增大而减少；（2）当，都随的增大而增大．【变式7-1】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知反比例函数的表达式为，和是反比例函数图象上两点，若时，，则的取值范围是_______．【答案】【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围．【详解】解：∵反比例函数的图象上两点和是，若时，，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．【变式7-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知点和在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据当时，，可知图象在第二、四象限，据此求解即可．【详解】当时，图象在第二、四象限故答案为：．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是关键．【考点八比较反比例函数值或自变量的大小】【例题8】（2023春·江苏连云港·九年级统考期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．【答案】/【分析】将点，，分别代入，求出，，的值，再比较即可．【详解】解：将，，分别代入，得：，，，解得：，，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键．【变式8-1】（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知实数x、y满足，当时，y的取值范围是_________．【答案】【分析】根据反比例函数图象性质，即可解答．【详解】解：，，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，当时，的取值范围是：，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【变式8-2】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围为__________．【答案】或【分析】先求出反比例函数解析式，再根据的取值判断即可；【详解】∵反比例函数的图象经过点，∴，∴，当时，，当时，，，∴时，的范围为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，数形结合是解题的关键．【变式8-3】（2023·山东青岛·模拟预测）若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________．【答案】【分析】由的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】由反比例函数（是常数）可知图象位于一、三象限，每一象限内y随x的增大而减小．∵点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，∴点不在同一象限，∴点第一象限，点在第三象限．∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）若反比例函数的图象在一、三象限，则的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数，解得的取值范围即可．【详解】解：反比例函数的图象在一、三象限，，解得：．结合选项可知，只有1符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上随的增大而减小；当时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上随的增大而增大．2．（2023秋·九年级单元测试）已知反比例函数，当时，y的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数中的值确定函数增减性，再分别求出当和时，所对应的y的值，进而解答本题．【详解】解：反比例函数，，在每个象限内，y随x的增大而增大，当时，，当时，，当时，y的取值范围是，故选D．【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的性质判断出：，再根据当在每一象限内随的增大而减小判断出的大小关系，即可推得的大小关系．【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上，∴，∵，在反比例函数的图象上，在每一象限内随的增大而减小，∴，∴的大小关系是：，故选：．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．4．（2023·广东肇庆·统考二模）反比例函数经过点，则下列说法错误的是（

）A．B．当时，随的增大而增大C．函数图象分布在第一、三象限D．当时，随的增大而减小【答案】B【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质逐一判断即可．【详解】解：∵反比例函数经过点，∴，故选项A正确，不符合题意；∴函数图象分布在第一、三象限，故选项C正确，不符合题意；∴当时，随的增大而减小，故选项B错误，符合题意；∴选项D正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．5．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力阻力臂动力动力臂”.若现在已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】直接利用阻力阻力臂动力动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可．【详解】解：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别是和，动力（单位：关于动力臂（单位：的函数解析式为：，则，是反比例函数，A选项符合，故选：A．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．二、填空题6．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）已知一个反比例函数的图象在第二、四象限，这个反比例函数的表达式可以是______．【答案】（答案不唯一）【分析】根据反比例函数的图象与性质求解即可．【详解】解：因为反比例函数的图象在第二、四象限，所以比例系数k小于零，所以这个反比例函数的表达式可以是，故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的表达式为，得到比例系数k小于零是解答的关键．7．（2023春·浙江·八年级专题练习）反比例函数，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是__________．【答案】/【分析】若反比例函数，当时，y随着x的增大而减小，即反比例系数，从而求得k的范围．【详解】解：∵反比例函数，当时，y随着x的增大而减小，∴，解得：．故答案为：．【点睛】正确理解反比例函数的性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求．8．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）已知点，，（）在反比例函数的图象上，则___________．（填“>”“＜”或“=”）【答案】【分析】先求得k的值，然后根据反比例函数的性质，即可得到答案．【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数图象位于二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，∵，∴点在第二象限，，在第四象限，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和增减性是解题的关键．9．（2023春·全国·八年级专题练习）若点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点，则__________．【答案】【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，则交点也关于原点对称，进而求得的值，即可求解．【详解】解：∵点与点是正比例函数图象与反比例西数图象的两个不同的交点，∴，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键．10．（2023春·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知点、、三点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”号连接）【答案】【分析】首先判断函数图象所在象限，然后再根据图象的性质可判断出．【详解】解：，双曲线在第一、三象限，在图象的每一支上，随的增大而减小，∵、、，三点都在反比例函数的图象上，且，，故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．三、解答题11．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知函数．(1)在什么条件下，函数的图象分布在第一、第三象限？在什么条件下，函数的图象分布在第二、第四象限？(2)在什么条件下，随的增大而减小？在什么条件下，随的增大而增大？【答案】(1)；(2)当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限内，随的增大而增大【分析】（1）根据函数图象经过的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；（2）根据函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】（1）解：∵函数的图象分布在第一、第三象限，∴，∴；∵函数的图象分布在第二、第四象限，∴，∴；（2）解：∵在每一个象限内，函数随的增大而减小，∴，∴，即当时，在每一个象限内，随的增大而减小；∵在每一个象限内，函数随的增大而增大，∴，∴，即当时，在每一个象限内，随的增大而增大．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，函数图象经过一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当时，函数图象经过二、四象限，且y随x的增大而增大是解答此题的关键．12．（2023·广东广州·统考二模）如图，反比例函数图象的一支在第一象限．

(1)求k的取值范围；(2)在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，那么和有怎样的大小关系？【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得：，解不等式即可；（2）根据反比例函数的性质解答即可．【详解】（1）解：∵反比例函数图象的一支在第一象限，∴，解得．（2）∵，∴反比例函数在每一个象限内，y都随x的增大而减小．∵，∴．∴．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．13．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）画出反比例函数的大致图象，结合图象回答：(1)当时，y的值；(2)当时，y的取值范围；(3)当且时，x的取值范围．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】作出反比例函数图象，如图所示，（1）把代入反比例解析式求出y的值即可；（2）分别求出与时y的值，结合图象确定出y的范围即可；（3）分别求出与时x的值，结合图象确定出x的范围即可．【详解】（1）解：作出反比例函数的图象，

把代入得：；（2）解：当