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文档简介
试卷第=page11页,共=sectionpages33页专题08圆的最值模型之阿氏圆模型一、模型说明背景故事:“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”.模型建立:当点P在一个以O为圆心,r为半径的圆上运动时,如图所示:易证:△BOP∽△POA,,∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆,任意一个k的值,我们可以在任意一条直径所在直线上,在同侧适当的位置选取A、B点,则需【技巧总结】计算的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题:在圆上找一点P使得的值最小,解决步骤具体如下:①如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB②计算出这两条线段的长度比③在OB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则,④则,当A、P、C三点共线时可得最小值二、例题精讲例1.如图1,在RT△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点P为圆上一动点,连接AP,BP,求:①,②,③,④的最小值.例2.如图,正方形的边长为4,的半径为2,为上的动点,则的最大值是.例3.如图,在边长为4的正方形ABCD内有一动点P,且BP=.连接CP,将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ,则DQ+CQ的最小值为.例4.如图,Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDEF(C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且CD=,连接AF,BD(1)求证:△BDC≌△AFC(2)当正方形CDEF有顶点在线段AB上时,直接写出BD+AD的值;(3)直接写出正方形CDEF旋转过程中,BD+AD的最小值.例5.如图,抛物线与轴交于,,两点(点在点的左侧),与轴交于点,且,的平分线交轴于点,过点且垂直于的直线交轴于点,点是轴下方抛物线上的一个动点,过点作轴,垂足为,交直线于点.(1)求抛物线的解析式;(2)设点的横坐标为,当时,求的值;(3)当直线为抛物线的对称轴时,以点为圆心,为半径作,点为上的一个动点,求的最小值.【变式训练1】.如图,边长为4的正方形,内切圆记为⊙O,P是⊙O上一动点,则PA+PB的最小值为.【变式训练2】.如图,已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点,则的最大值为.【变式训练3】.问题提出:如图①,在中,,,,⊙C的半径为2,P为圆上一动点,连接AP、BP,求的最小值.(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图①,连接CP,在CB上取一点D,使,则.又,所以∽.所以.所以,所以.请你完成余下的思考,并直接写出答案:的最小值为________;(2)自主探索:在“问题提出”的条件不变的前提下,求的最小值;(3)拓展延伸:如图②,已知在扇形COD中,,,,,P是上一点,求的最小值.【变式训练4】.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B(1)求抛物线解析式及B点坐标;(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;(3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.三、课后训练1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=7,AC=9,以C为圆心、3为半径作⊙C,P为⊙C上一动点,连接AP、BP,则AP+BP的最小值为(
)A.7 B.5 C. D.2.如图所示,,半径为2的圆内切于.为圆上一动点,过点作、分别垂直于的两边,垂足为、,则的取值范围为.3.如图,在中,点A、点在上,,,点在上,且,点是的中点,点是劣弧上的动点,则的最小值为.4.如图,在中,,以点B为圆心作圆B与相切,点P为圆B上任一动点,则的最小值是.5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.
6.如图,已知正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上的一个动点,则PD﹣PC的最大值为.7.如图,在Rt中,AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点,点P是扇形AEF的上任意一点,连接BP,CP,则BP+CP的最小值是.8.如图,点A、B在上,且OA=OB=6,且OA⊥OB,点C是OA的中点,点D在OB上,且OD=4,动点P在上.求2PC+PD的最小值.9.已知与有公共顶点C,为等边三角形,在中,.(
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