第四章：三角函数（模块综合调研卷）（A4版-教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第四章：三角函数（模块综合调研卷）（19题新高考新结构）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若，，则（

）A．3 B． C．5 D．【答案】C【分析】由倍角余弦公式、平方关系求得，，进而有，再应用诱导公式、弦化切求目标式的值.【详解】因为，，所以，，所以，所以.故选：C2．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A． B．在上单调递增C．在上的最小值为 D．直线是图象的一条对称轴【答案】D【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D.【详解】对于选项A，由题意，可得，故A错误；对于选项B，令，，所以在上单调递增，故B错误；对于选项C，因为，所以，故，在上的最小值为0，故C错误；对于选项D，函数的对称轴方程为，化简可得，取，可得，所以是图象的一条对称轴，故D正确.故选：D.3．魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将代入，结合三角恒等变换化简可得结果.【详解】将代入，可得.故选：C.4．将函数的图象向右平移（）个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．若的图象关于点中心对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象平移写出解析式，结合对称中心列方程求参数的表达式，即可得最小值.【详解】令，图象向右平移（）个单位长度，则，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，则，又的图象关于点中心对称，则，所以，则，又，故.故选：A5．函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（

）A．函数的最小正周期是B．函数的图象关于点对称C．函数在单调递增D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数【答案】C【分析】A选项，根据M、N关于点C对称得到点横坐标，从而得到最小正周期；B选项，根据的图象关于点对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出，将代入解析式求出，，从而利用整体法判断出在不单调；D选项，求出，得到其奇偶性.【详解】A选项，点M、N关于点C对称，故，设的最小正周期为，则，故，A正确；B选项，可以看出函数的图象关于点对称，又的最小正周期，故函数的图象关于点对称，B正确；C选项，又，故，，故将代入解析式得，解得，又，故当且仅当时，满足要求，故，又当时，，故，则，当时，，由于在上不单调，故在上不单调，C错误；D选项，，定义域为R，又，为奇函数，D正确.故选：C6．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角函数恒等变换化简已知可得，再利用诱导公式和二倍角公式求值.【详解】根据题意，，而.故选：D7．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.【详解】根据题意，易得，对于A，因为，即，故A错误；对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.故选：C.【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.8．已知函数的图象关于对称，且，在上单调递增，则的所有取值的个数是（

）A．3 B．4 C．1 D．2【答案】D【分析】直接利用正弦型函数的性质对称性和单调性的应用求出结果.【详解】由于函数的图象关于对称，则：，①，由于，所以②，得：，所以，故为奇数，且在上单调递增，所以，解得．当，故的取值为：1，3，5，7，当时，可以求得，时，，满足条件；当时，因为，所以不满足条件；当时，，时，，满足条件；当时，，，既有增区间，又有减区间，所以不满足条件；所以满足条件的的所有取值的个数是2，故选：D．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关正弦型函数的性质，正确解题的关键是要明确正弦型函数的对称性与单调性.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9．若，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和（差）的正弦余弦公式逐一判断即可.【详解】由题意可得，所以，故A错误；，因为，所以，所以，故B正确；因为，所以，所以，故C错误：即，因为，所以，故，所以，故D正确.故选：BD10．已知，则（

）A．的最小正周期是 B．在上单调递减C．， D．的值域是【答案】BC【分析】对于A，计算是否等于可判断A；根据正弦型函数的单调性可判断B；计算是否等于可判断C；分、求出的值域可判断D.【详解】对于A，，故A错误；

对于B，当时，有，此时，显然是的一个单调递减区间，所以在上单调递减，故B正确；对于C，，，故C正确；对于D，当时，，当时，，所以的值域是，故D错误.故选：BC.11．已知函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（

）A．B．函数的图象不可能关于y轴对称C．若最小正周期为，且，则D．若函数在上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围是【答案】ACD【分析】代入即可求解A，根据，结合辅助角公式即可求解B，根据二倍角公式即可求解C，根据可得最值点满足，即可列不等式求解D.【详解】对于A，，由于，所以，A正确，对于B，，当时，为偶函数，其图象关于y轴对称，故B错误，对于C，最小正周期为，所以，故，则，故，即，C正确，对于D，因为，令，则，故由于在上恰有一个最大值点和一个最小值点，根据对称可知这两个极值点分别为，故，解得，故D正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键在于，利用整体代入法求得的最值点，从而得到关于的不等式，由此得解.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知，则.【答案】/0.28【分析】根据余弦的二倍角公式可求解，进而根据诱导公式即可化简求值.【详解】由得，，故答案为：13．已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是．【答案】【分析】由，可得，进而可求，进而根据在内恰有10个零点，可求的取值范围.【详解】函数（，）的周期为，又，所以，所以，即，因为，所以，解得，所以，因为，所以，要使在内恰有10个零点，则.所以的取值范围是.故答案为：.14．函数在区间上的值域为，则的取值范围为.【答案】【分析】化简函数得，其中，，再利用函数在区间上的值域为，可得，从而得到，再结合，，利用三角恒等变换化简即可得出结果.【详解】由题意可得，其中，，函数在区间上的值域为，当时，，即，当时，或，则或，，则，，，，，，则，，又，，的取值范围为：.四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数.(1)若，，求的值；(2)设，求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)或(2)最大值为，最小值为【分析】（1）根据条件，利用特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求出结果.【详解】（1）因为，由，得到，解得或，即或，又，所以或.（2）因为，令，因为，得到，由的图象与性质知，，所以，所以在区间上的最大值为，最小值为.16．设，.(1)若x，y均为锐角且，求z的取值范围；(2)若且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题设条件求得，把表示成关于的函数形式，再整理成对勾函数，利用其单调性即可求得z的取值范围；（2）将条件等式化切为弦，逆用差角公式求得，再利用差角公式求得，最后代入和角公式计算即得.【详解】（1）由，可得，，所以记，因，可得，因函数在上单调递减，故，则，故的取值范围是.（2），且，则：，即得：，又由，整理得：，故.17．已知函数．(1)若，求的值域；(2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将看成整体角，由求得，判断的单调性，求得函数的值域，继而得的值域；（2）结合函数的图象，得和，，求得，，由方程即可求得值.【详解】（1）因，令，则，因在上单调递增，在上单调递减，而，故．则，的值域为．（2）如图，因的最小正周期为，当时，易得，不满足，故舍去，当时，依题意：，代入得：．由，，可得，．由，，代入，解得，．，，当时，，；当时，，，

故的值为．18．已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.【答案】(1)，(2).【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法,求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求出即可.【详解】（1）由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，又，所以，故.令，得，所以函数的递减区间为.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或.令，当时，，画出的图象如图所示：的两个根对应的点关于直线对称，即，有，在上有两个不同的根，所以；又的根为，所以方程在内所有根的和为.19．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质．(1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论）(2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；(3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：．【答案】(1)具有性质(2)存在，，(3)证明见解析【分析】（1）利用定义直接判断即可；（2）假设函数具有性质，可求出，进而得到，再根据定义验证即可；（3）分析可知函数在的值域为，由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得，进而得证．【详解】（1）因为，则，又，所以，故函数具有性质；因为，则，又，，故具有性质．（2）若函数具有性质，则，即，因为，所以，所以；若，不妨设，由，得（*），只要充分大时，将大于1，而的值域为，故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即，因为，所以，所以，则，此时，则，而，即有成立，所以存在，使函数具有性质．（3）证明：由函数具有性质及（2）可知，，由可知函数是以为