第03讲 复数（原卷版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第03讲复数（9类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第2题，5分复数的四则运算无2024年新Ⅱ卷，第1题，5分复数的模无2023年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共轭复数无2023年新Ⅱ卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的几何意义无2022年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共轭复数无2022年新Ⅱ卷，第2题，5分复数的四则运算无2021年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共轭复数无2021年新Ⅱ卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的几何意义无2020年新I卷，第1题，5分复数的四则运算无2020年新Ⅱ卷，第2题，5分复数的四则运算无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。知识讲解1．复数的定义我们把形如的数叫做复数，其中i叫做，满足，虚数单位的周期为．2．复数通常用字母z表示，即，其中的a与b分别叫做复数z的与．3．对于复数，复数，为实数；为虚数；为纯虚数；为非纯虚数.即复数4．在复数集中任取两个数，，规定与相等当且仅当，即复数相等：⇔.5．共轭复数（1）定义：当两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．（2）表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果，那么．6．复数的几何意义为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，的向量表示同一个复数.7．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做，x轴叫做，y轴叫做．实轴上的点都表示；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．8．复数的模向量的模称为复数的模或绝对值，记作或．即，其中．如果，那么是一个实数a，它的模就等于．9．复数的加、减法运算法则设，则，．10．复数加法的运算律对任意，有（1）交换律：．（2）结合律：．11．复数的乘法（1）复数的乘法法则设是任意两个复数，那么它们的积．（2）复数乘法的运算律对于任意，有交换律结合律乘法对加法的分配律12．设的三角形式分别是，那么，=.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，辐角相加.13．设的三角形式分别是，且，那么，.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.考点一、复数的四则运算1．（2024·全国·高考真题）设，则（

）A． B．1 C．-1 D．22．（2023·全国·高考真题）（

）A． B．1 C． D．1．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数．2．（2023·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（

）A． B． C． D．考点二、求复数的实部与虚部1．（2024·全国·模拟预测）已知，则的实部是（

）A． B．i C．0 D．12．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（

）A． B．1 C．3 D．1．（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（）A． B． C．3 D．2．（2024·陕西·二模）复数的实部为（

）A．1 B．3 C． D．3．（2024·江西鹰潭·二模）已知，则的虚部为（

）A． B． C． D．2考点三、复数相等1．（2023·全国·高考真题）设，则（

）A．-1 B．0

· C．1 D．22．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．1．（2024·河南·模拟预测）已知为虚数单位，，满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（

）A． B．C． D．3．（2024·河北保定·三模）若复数满足，则实数（

）A． B． C． D．考点四、复数的分类及纯虚数概念考查1．（2024·河北·二模）已知复数是实数，则（

）A． B． C． D．22．（2024·河南·三模）已知复数为纯虚数，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．1．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数为实数，则实数等于（

）A． B． C． D．2考点五、复数的几何意义1．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是．1．（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（

）A． B． C． D．3．（2024·江西·模拟预测）若复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B．C． D．考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题1．（2024·全国·高考真题）已知，则（

）A．0 B．1 C． D．22．（2023·全国·高考真题）（

）A．1 B．2 C． D．53．（2024·广东揭阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，且，则（

）A． B．C． D．1．（2024·福建南平·二模）若复数满足，则（

）A．1 B． C． D．22．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．253．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．3考点七、复数的三角形式1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（

）A． B．C． D．2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．02．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（

）A．2022 B．2023 C． D．考点八、欧拉公式1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（

）A． B．0 C．1 D．2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（

）A． B． C． D．1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（

）A． B．C． D．考点九、复数多选题1．（2024·福建福州·三模）已知复数，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．C．若，则或 D．若且，则2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最小值为3 D．的最小值为31．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，都是复数，下列正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（2024·山东济宁·三模）已知复数，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程的两个复数根分别为，则（

）A． B．C． D．一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．2．（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（

）A． B． C． D．3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．4．（2024·河北沧州·模拟预测）设，是复数，则下列命题中是假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（

）A． B．C． D．6．（2024·山东泰安·二模）若复数满足，则（

）A． B．2 C． D．1二、多选题7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数（为实数），若，则的值可能为（

）A． B． C．1 D．38．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（

）A． B．若互为共轭复数，则C．若，则 D．若复数为纯虚数，则三、填空题9．（2024·上海·三模）设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为．10．（2024·广东·二模）设，为虚数单位，定义，则复数的模为．一、单选题1．（2024·河北保定·二模）复数（

）A． B．C． D．2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件4．（2024·四川成都·模拟预测）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（）A． B． C． D．5．（2024·广东广州·三模）当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（

）A．1 B． C． D．2二、多选题8．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若为实数，则C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数三、填空题9．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为.10．（2024·江西南昌·三模）已知复数，，那么.一、单选题1．（2024·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C．10 D．2．（2