一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法

(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利说明书(10)申请公布号CN104020664A

(43)申请公布日2014.09.03(21)申请号CN201410261987.2(22)申请日2014.06.12(71)申请人国电科学技术研究院地址210031江苏省南京市浦口区浦东路10号(72)发明人陈彦桥姜婷婷刘金琨(74)专利代理机构北京慧泉知识产权代理有限公司代理人王顺荣(51)Int.CI G05B13/00权利要求说明书说明书幅图(54)发明名称 一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法(57)摘要 本发明是一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，它有四大步骤：步骤1：柔性机械臂的动力学建模；步骤2：干扰观测器的设计；步骤3：观测器稳定性的验证；步骤4：设计结束。本发明首先利用哈密尔顿原理，求出整个系统的PDE模型；然后基于该模型，设计合理的干扰观测器以估计外界的未知干扰；最后，通过设计合适的李雅普诺夫函数，对所设计的观测器进行分析，进而验证其稳定性。法律状态法律状态公告日法律状态信息法律状态

权利要求说明书1.一种基于偏微分方程的柔性机械臂干扰观测器设计方法，其特征在于：该方法包括以 下步骤：

步骤1：柔性机械臂动力学建模

柔性机械臂的动力学建模采用哈密尔顿原理的方法，建模时用到的状态变量θ(t)、 y(x,t)分别表示在t时刻机械臂的关节角度和x点处的弹性变形；为了表示方便，以下分析中 θ(t)、y(x,t)分别简写为θ、y(x)；

柔性机械臂的自然边界条件为

y(0)＝y_x(0)＝0

(1)

其中，y_x(*)表示y(*)对x的一阶偏导数，

定义

z(x)＝xθ+y(x)

(2)

其中，z(x)为z(x,t)的简写，z_x(*)表示z(*)对x的一阶偏导数；

由式(1)和式(2)得z(0)＝y(0)，从而

<maths><math><mrow><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msub><mi>z</mi><mi>x</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mfrac><mrow><msup><mo>∂</mo><mi>n</mi></msup><mi>z</mi></mrow><msup><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow><mi>n</mi></msup></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mo>∂</mo><mi>n</mi></msup><mi>y</mi></mrow><msup><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow><mi>n</mi></msup></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

由得z_xx(0)＝y_xx(0)，z_xx(L)＝y_xx(L)，z_xxx(L)＝y_xxx(L)；

系统的动能、势能以及非保守力做功的表达式如下

<maths><math><mrow><msub><mi>E</mi><mi>k</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msup><mover><mi>θ</mi><mo>·</mo></mover><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>L</mi></msubsup><mi>ρ</mi><msup><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>m</mi><msup><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msup><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><msub><mi>E</mi><mi>p</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>L</mi></msubsup><msubsup><mi>EIz</mi><mi>xx</mi><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><msub><mi>W</mi><mi>nc</mi></msub><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>τ</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mi>F</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>L</mi></msubsup><mi>f</mi><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mi>dx</mi></mrow></math></maths>

其中，EI为均匀梁的弯曲刚度，L为机械臂的长度，m为机械臂末端负载的质量，I_h为中 心转动惯量，ρ为机械臂单位长度上的质量，τ为首端控制力矩输入，F为末端控制力矩输 入，d₁为首端控制输入慢时变干扰，d₂为末端控制输入慢时变干扰；

由哈密尔顿原理得柔性机械臂的PDE模型如下

<maths><math><mrow><mi>ρ</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mi>τ</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mi>F</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

y(0)＝y_x(0)＝y_xx(L)＝0

(4d)

步骤2：干扰观测器设计

设计观测器的基本思想就是用估计输出与实际输出的差值对估计值进行修正，因此，取 <maths><math><mrow><msub><mover><mi>d</mi><mover><mo>∩</mo><mo>.</mo></mover></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><msub><mover><mi>d</mi><mover><mo>∩</mo><mo>.</mo></mover></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></math></maths>其中，L₁>0，L₂>0，为对d₁的估计，为对d₂的估计；

定义辅助参数向量<maths><math><mrow><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>·</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>;</mo></mrow></math></maths>其中，<maths><math><mrow><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>,</mo></mrow></math></maths><maths><math><mrow><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>·</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></math></maths>则<maths><math><mrow><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>,</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>;</mo></mrow></math></maths>

由(4b)得则由上述各式求得

<maths><math><mrow><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIZ</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

同理，由(4c)可得<maths><math><mrow><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>F</mi><mo>,</mo></mrow></math></maths>则

<maths><math><mrow><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mover><mi>zθ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mover><mi>zθ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>EIZ</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mo>,</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

故干扰观测器设计为

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>7</mn><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>7</mn><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

由式(7a)和(7b)得

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>8</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mrow><mo>-</mo><mi>EIz</mi></mrow><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

定义干扰误差由于干扰均为慢时变干扰，认为<maths><math><mrow><msub><mover><mi>d</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mrow></math></maths>则得

<maths><math><mrow><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mover><mi>d</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>11</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

所以，由式(7a)至(11)以及和的表达式，得观测误差方程为

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>L</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>τ</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>12</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><mfenced><mtable><mtr><mtd><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mover><mi>w</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mover><mi>P</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>-</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>zθ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>zθ</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mover><mi>zθ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>-</mo><msub><mi>EIz</mi><mi>xxx</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>-</mo><mi>Fτ</mi><mo>)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>∩</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>13</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

即通过设计L₁、L₂，使估计值按指数逼近干扰 d₁、d₂；

针对定义<maths><math><mrow><msub><mover><mi>P</mi><mo>·</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><mover><mi>θ</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mo>,</mo><msub><mover><mi>P</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><mover><mi>z</mi><mrow><mo>.</mo><mo>.</mo></mrow></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></math></maths>分别取<maths><math><mrow><msub><mi>P</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><mover><mi>θ</mi><mo>.</mo></mover><mo>,</mo></mrow></math></maths>c₁>0， <maths><math><mrow><msub><mi>P</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mover><mi>z</mi><mo>·</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><mover><mi>z</mi><mo>.</mo></mover><mrow><mo>(</mo><mi>L</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow></math></maths>c₂>0，则得

<maths><math><mrow><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub></mfrac><mo>,</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi></mfrac><mo>-</mo><mo>-</mo><mo>-</mo><mrow><mo>(</mo><mn>14</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

在仿真过程中，观测器的参数选为c₁＝5，c₂＝5；因为干扰是慢时变的，所以选取 d₁(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)，d₂(t)＝10+0.1sin(t)(N·m)；控制输入力矩选取 τ＝sin(t)(N·m)，F＝sin(t)(N·m)；参数估计的初始值均为0.5(N·m)， 系统其他物理参数如表1所示；

表1柔性机械臂物理参数的数值

步骤3：观测器稳定性的验证

设计系统的李雅普诺夫函数为

V_o(t)＝V₁(t)+V₂(t)

其中，<maths><math><mrow><msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>,</mo><msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>m</mi><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>;</mo></mrow></math></maths>则

<maths><math><mrow><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>I</mi><mi>h</mi></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup></mrow></math></maths>

<maths><math><mrow><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>m</mi><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><msub><mover><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>L</mi><mn>2</mn></msub><mi>m</mi><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup></mrow></math></maths>

则

<maths><math><mrow><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mi>o</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mover><mi>V</mi><mo>.</mo></mover><mn>2</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub><msup><msub><mover><mi>d</mi><mo>~</mo></mover><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup><mo>≤</mo><mo>-</mo><msub><mi>λ</mi><mn>0</mn></msub><msub><mi>V</mi><mi>o</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></math></maths>

其中<math