《金版教程•高考数学复习创新方案》提升版第九章第3讲圆的方程

第3讲圆的方程[课程标准]回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．1．圆的定义、方程(1)平面上到eq\x(\s\up1(01))定点的距离等于eq\x(\s\up1(02))定长的点的集合是圆．(2)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心为eq\x(\s\up1(03))(a，b)，半径为eq\x(\s\up1(04))r．(3)圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0：①方程表示圆的充要条件：eq\x(\s\up1(05))D2＋E2－4F>0，其中圆心坐标：eq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)；②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示eq\x(\s\up1(08))点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形．2．点与圆的位置关系(1)理论依据eq\x(\s\up1(09))点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．①eq\x(\s\up1(10))(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r；②eq\x(\s\up1(11))(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r；③eq\x(\s\up1(12))(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内⇔d<r.1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))3．求圆的方程，如果借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．(人教A选择性必修第一册2.4.2练习T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2，3)，3 B．(－2，3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)答案D解析圆x2＋y2－4x＋6y＝0化成标准形式为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)，半径r＝eq\r(13).故选D.2．(人教A选择性必修第一册习题2.4T5改编)已知A(1，0)，B(0，3)，则以AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝0答案A解析圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，半径r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)×eq\r(12＋32)＝eq\f(\r(10),2)，故圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,2).整理得x2＋y2－x－3y＝0.故选A.3．(人教B选择性必修第一册2.3.1练习BT4改编)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是()A．(－1，1) B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．(－eq\r(2)，eq\r(2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))答案C解析∵原点(0，0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2).故选C.4．(多选)若k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，1))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值可以是()A．－2 B．0C.eq\f(4,5) D．1答案CD解析若方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆，则(k－1)2＋4k2－4k>0，解得k<eq\f(1,5)或k>1，结合题意可知，若方程不表示圆，则k的取值可以是eq\f(4,5)，1.故选CD.5．(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．答案(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(65,9)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))eq\s\up12(2)＋(y－1)2＝eq\f(169,25)(写出一个即可)解析设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)，圆过其中三点共有下列四种情况：①若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2⇒a＝3，r＝eq\r(4＋a2)＝eq\r(13)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.②若圆过A，B，D三点，同①设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2⇒a＝1，r＝eq\r(4＋a2)＝eq\r(5)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.③若圆过A，C，D三点，则线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5，联立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(7,3)，))所以圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))，r＝eq\r(\f(16,9)＋\f(49,9))＝eq\f(\r(65),3)，所以圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(65,9).④若圆过B，C，D三点，则线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7，联立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝1，))所以圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，1))，r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)－4))\s\up12(2)＋1)＝eq\f(13,5)，所以圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))eq\s\up12(2)＋(y－1)2＝eq\f(169,25).考向一求圆的方程例1(1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案C解析到两直线3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为eq\f(10,\r(32＋（－4）2))＝2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析∵点M在直线2x＋y－1＝0上，∴设点M为(a，1－2a)，又点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴eq\r(（a－3）2＋（1－2a）2)＝eq\r(a2＋（－2a）2)＝R，解得a＝1，∴M(1，－1)，R＝eq\r(5)，⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1.已知圆E经过两点A(0，1)，B(2，0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,16)解析因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)).则圆E的半径为|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（0－0）2)＝eq\f(5,4)，所以圆E的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,16).2．已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________________．答案x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0解析设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))在圆C的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.考向二与圆有关的轨迹问题例2(2024·武汉模拟)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，且M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C(x0，y0)满足(x0－1)2＋yeq\o\al(2,0)＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．求与圆有关的轨迹方程的方法(2024·合肥质检)已知动点P到点M(－2，0)与到点N(1，0)的距离之比为2∶1，则动点P的轨迹方程为________；若动点A满足eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，则动点A的轨迹方程为________．答案(x－2)2＋y2＝4(x－6)2＋y2＝16解析设P(x，y)，则|PM|＝eq\r(（x＋2）2＋y2)，|PN|＝eq\r(（x－1）2＋y2)，因为动点P到点M(－2，0)与到点N(1，0)的距离之比为2∶1，所以eq\f(\r(（x＋2）2＋y2),\r(（x－1）2＋y2))＝eq\f(2,1)，所以(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，化简得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4.设点A(x，y)，P(x0，y0)，则eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x0＋2，y0)，因为eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝2（x0＋2），,y＝2y0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,2)x－1，,y0＝\f(1,2)y，))所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1－2))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y))eq\s\up12(2)＝4，化简得(x－6)2＋y2＝16，所以动点A的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝16.多角度探究突破考向三与圆有关的最值问题角度借助几何性质求最值例3已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆，eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).角度构建目标函数求最值例4设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)．则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值为________．答案12解析解法一：由题意，得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.解法二：设O为坐标原点，易知eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－4，又|eq\o(PO,\s\up6(→))|max＝3＋1＝4，故(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))max＝42－4＝12.角度利用对称性求最值例5(2024·济宁模拟)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，点M(7，12)，直线l：y＝x.点P是圆C上的动点，点Q是l上的动点，则|PQ|＋|QM|的最小值为()A．11 B．12C．13 D．14答案B解析由题设圆C：x2＋(y－2)2＝1，即圆心为C(0，2)，半径为1，又72＋(12－2)2＝149>1，所以点M在圆外同时不在直线l：y＝x上，如图所示，若M′为M关于l：y＝x的对称点，则M′(12，7)，则|PQ|＋|QM|＝|PQ|＋|QM′|≥|PM′|，而|PM′|min＝|CM′|－1，所以|PQ|＋|QM|≥|CM′|－1＝12，当且仅当C，P，Q，M′共线且P在C，Q之间时，等号成立，故|PQ|＋|QM|的最小值为12.故选B.与圆有关的最值问题的求解方法方法适用类型借助几何性质求最值形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、基本不等式法等求最值动化定、曲化直法求最值求解形如|PM|±|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题1.直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6] B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]答案A解析∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于点A，B，∴A(－2，0)，B(0，－2)，则|AB|＝2eq\r(2).∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2，0)，∴圆心到直线的距离d1＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[eq\r(2)，3eq\r(2)]，则S△ABP＝eq\f(1,2)|AB|d2＝eq\r(2)d2∈[2，6]．故选A.2．设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．答案10解析由题意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2eq\r(x2＋y2).因为点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的点，所以点P的坐标(x，y)满足方程(x－3)2＋y2＝4，1≤x≤5，所以y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2eq\r(x2－（x－3）2＋4)＝2eq\r(6x－5).因为1≤x≤5，所以当x＝5时，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq\r(6×5－5)＝10.3．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．答案5eq\r(2)－4解析圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－2，1)，半径为1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心为(3，4)，半径为3.如图，圆C1关于x轴的对称圆为圆C1′：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.连接C1′C2，交x轴于P，则P为使|PM|＋|PN|最小的点，此时点M为线段PC1与圆C1的交点，N为线段PC2与圆C2的交点，最小值为|C1′C2|－(3＋1)，而|C1′C2|＝eq\r(（3＋2）2＋（4＋1）2)＝5eq\r(2)，∴|PM|＋|PN|的最小值为5eq\r(2)－4.课时作业一、单项选择题1．(2022·北京高考)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1答案A解析由题意可知，圆心为(a，0)，因为直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).故选A.2．设甲：实数a<3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，则甲是乙的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，则(－1)2＋32－4a＝10－4a>0，解得a<eq\f(5,2).∵a<3a<eq\f(5,2)，a<eq\f(5,2)⇒a<3，∴甲是乙的必要不充分条件．故选B.3．(2024·日照模拟)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2，2)的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝25答案B解析圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圆心C(1，－2)，故排除C，D；设要求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，代入点(－2，2)，得r2＝25.故选B.4．已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是()A．(－∞，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，0))答案C解析圆C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝1－eq\f(3,4)k2，因为过点P有两条切线，所以点P在圆外，从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋4＋k＋4＋k2>0，,1－\f(3,4)k2>0，))解得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3).故选C.5．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是()A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．7答案C解析解法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式，化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2)，故x－y的最大值是1＋3eq\r(2).故选C.解法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0，2π]，则x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝3eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋1，因为θ∈[0，2π]，所以θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(9π,4)))，当θ＋eq\f(π,4)＝2π，即θ＝eq\f(7π,4)时，x－y取得最大值1＋3eq\r(2).故选C.解法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝eq\f(|2－1－k|,\r(2))≤3，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2).故选C.6．(2024·湖南郴州模拟)已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为()A．(x－4)2＋(y－2)2＝16 B．(x－2)2＋(y－4)2＝11C．(x－2)2＋(y－4)2＝16 D．(x－4)2＋(y－2)2＝11答案C解析A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，|AB|＝6，圆的半径为5，可得|PC|＝eq\r(25－9)＝4，所以点P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－4)2＝16.故选C.7．(2023·北京昌平二模)已知点P在直线eq\r(3)x－y－10＝0上，点Q(2cosθ，2sinθ)(θ∈R)，则|PQ|的最小值为()A．1 B．3C．5 D．7答案B解析设Q(x，y)，由Q(2cosθ，2sinθ)(θ∈R)可知x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以x2＋y2＝4，即Q是圆心为(0，0)，半径为2的圆上的动点，圆心到直线eq\r(3)x－y－10＝0的距离d＝eq\f(|0－0－10|,\r(3＋1))＝5，所以|PQ|min＝5－2＝3.故选B.8．(2023·邯郸三模)在平面直角坐标系内，已知A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足|PA|＝2|PB|，则(x－1)2＋(y－t)2(t∈R)的最小值是()A.eq\r(2) B．2C．4 D．16答案C解析因为A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足|PA|＝2|PB|，则(x＋3)2＋(y－4)2＝4(x＋3)2＋4(y－1)2，整理得(x＋3)2＋y2＝4，eq\r(（x－1）2＋（y－t）2)可以看成圆(x＋3)2＋y2＝4上的动点P(x，y)与定直线x＝1上的动点Q(1，t)的距离，其最小值为圆心M(－3，0)到直线x＝1的距离减去圆的半径2，即|PQ|≥4－2＝2，因此(x－1)2＋(y－t)2的最小值是22＝4.故选C.二、多项选择题9．已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是()A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为eq\r(5)C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内答案ABD解析设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，半径为eq\r(5)，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2，3)在圆M内．故选ABD.10．(2023·常德模拟)已知圆x2＋y2＝16与x轴的左、右交点分别为A，B，点M(1，1)在圆内，以下说法正确的是()A．过M的圆的最短弦长为2eq\r(14)B．若P为圆上的动点，且与B不重合，则BP的中点N的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠4)C．若P为圆上的动点，且与B不重合，则BP的中点N的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D．若P，Q为圆上的动点，且PM⊥QM，则PQ的中点T的轨迹方程为x2＋y2－x－y－7＝0答案ABD解析对于A，过M的圆的最短弦与OM(O为坐标原点)垂直，其长度为2eq\r(16－2)＝2eq\r(14)，故A正确；对于B，C，若P为圆上的动点，且与B不重合，则BP的中点N满足ON⊥BN，N在以OB为直径的圆上，但点B除外，故点N的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠4)，故B正确，C错误；对于D，若P，Q为圆上的动点，且PM⊥QM，设PQ的中点T(x，y)，则|PT|＝|MT|，OT⊥PQ，|MT|2＋|OT|2＝|PT|2＋|OT|2＝16，可得x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝16，整理可得x2＋y2－x－y－7＝0，故D正确．故选ABD.11．(2023·武汉模拟)已知直线l：x－y＋1＝0与圆CK：(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，下列说法正确的是()A．所有圆CK均不经过点(0，3)B．若圆CK关于直线l对称，则k＝－2C．若直线l与圆CK交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(2)，则k＝－1D．不存在圆CK与x轴、y轴均相切答案ABD解析对于A，将(0，3)代入(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，则(k－1)2＋(2k＋3)2＝1，所以5k2＋10k＋9＝0，此时Δ＝100－4×5×9＝－80<0，所以不存在k值，使圆CK经过点(0，3)，A正确；对于B，若圆CK关于直线l对称，则(1－k，－2k)在直线l：x－y＋1＝0上，所以1－k＋2k＋1＝0，则k＝－2，B正确；对于C，由题意，圆心CK到直线l的距离d＝eq\r(1－\f(|AB|2,4))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(|1－k＋2k＋1|,\r(2))＝eq\f(|k＋2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，则|k＋2|＝1，可得k＝－3或k＝－1，C错误；对于D，若圆CK与x轴、y轴均相切，则|1－k|＝2|k|＝1，显然无解，即不存在这样的圆CK，D正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·昆明模拟)已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值)答案0或1(只写一个即可)解析由题设知eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(MB,\s\up6(→))，即点M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为eq\r(2)，所以点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而直线y＝x＋2过圆心(－1，1)，所以点M到直线y＝x＋2的距离的取值范围为[0，eq\r(2)]，所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1.13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．答案74解析设P(x，y)，则d＝|PB|2＋|PA|2＝x2＋(y＋1)2＋x2＋(y－1)2＝2(x2＋y2)＋2，x2＋y2表示圆上任一点到原点距离的平方，∴(x2＋y2)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.14．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．(1)若定点为A(－1，0)，B(1，0)，写出k＝eq\f(1,2)的一个阿波罗尼斯圆的标准方程为________；(2)△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝k|BC|(k>1)，则当△ABC面积的最大值为2eq\r(2)时，k＝________．答案(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(5,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9)(填一个即可)(2)eq\r(2)解析(1)设动点为P(x，y)，则eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2)或eq\f(|PB|,|PA|)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(\r(（x＋1）2＋y2),\r(（x－1）2＋y2))＝eq\f(1,2)或eq\f(\r(（x－1）2＋y2),\r(（x＋1）2＋y2))＝eq\f(1,2)，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(5,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9).所以k＝eq\f(1,2)的阿波罗尼斯圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(5,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9).(2)设A(－1，0)，B(1，0)，C(x，y)，因为|A