内蒙古包头市昆都仑区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年内蒙古包头市昆都仑区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，矩形ABCD的对角线交于点若，则OC的长为(

)A.2

B.3

C.

D.42.如图，在菱形ABCD中，若，，则对角线AC的长为(

)A.2

B.3

C.

D.

3.若关于x的一元二次方程配方后得到，则c的值为(

)A.0 B.3 C.6 D.94.若，则关于x的一元二次方程实数解的个数是(

)A.1个 B.2个 C.1个或2个 D.0个5.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是根据题意，设小路的宽度为xm，则可列方程为(

)

A. B.

C. D.6.如图，直线，直线AC和DF被，，所截，，，，则DE的长为(

)

A.2

B.3

C.4

D.7.如图，在中，点D、E分别是AB、AC的中点，若的面积为4，则的面积为

A.8 B.12 C.14 D.168.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是(

)A. B. C. D.9.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，，ME交AD的延长线于点若，，则DE的长为(

)A.18

B.

C.

D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。10.已知实数，是方程的两根，则______.11.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是______.

12.如图，∽，若AC：：3，，则DE的长度是______.

13.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，AP与BC相交于点测得，，，则树高______14.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则______.三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题6分

解方程：

；

16.本小题6分

扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源.某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览.

甲选择A景点的概率为______；

请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率.17.本小题6分

为了让学生养成热爱阅读的习惯，某学校用于购买图书的资金逐年递增.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020年到2022年该学校购买图书费用的年平均增长率.18.本小题10分

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，

求证：四边形AOBE是菱形；

若，，求菱形AOBE的面积．19.本小题10分

如图，老李想用长为70m的栅栏.再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门建在EF处，另用其他材料

设矩形ABCD的边，则边BC的长度是多少？用含有x的代数式表示

当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？20.本小题10分

如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，

求证：四边形OEFG是矩形；

若，，求OE和BG的长．

21.本小题10分

在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点

求证：；

若，，求EC的长.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：四边形ABCD是矩形，且对角线AC，BD交于点O，

，

，

故选：

根据矩形的对角线互相平分且相等即可得出答案．

此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键．2.【答案】C

【解析】解：四边形ABCD是菱形，

，

，

为等边三角形，

故选：

根据菱形的性质及已知可得为等边三角形，从而得到

本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质．3.【答案】C

【解析】解：，

，

，

，

故选：

利用配方法可得结论．

本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．4.【答案】B

【解析】解：关于x的一元二次方程，

，

又，

，

方程有两个实数根．

故选：

利用判别式的值判断即可．

本题考查根的判别式，解题的关键是理解一元二次方程的根与有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当时，方程有两个相等的两个实数根；

③当时，方程无实数根．5.【答案】D

【解析】解：设小路的宽为xm，

由题意可得：，

故选：

设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于x的一元二次方程．

本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．

根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．

【解答】

解：直线，

，

，，，

，

，

故选：7.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出∽是解题关键．

直接利用三角形中位线定理得出，，得到∽，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．

【解答】

解：在中，点D、E分别是AB、AC的中点，，，

∽，

，

，

的面积为4，

的面积为16，

故选8.【答案】A

【解析】【分析】

列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

【解答】

解：列表如下：红绿红红，红绿，红绿红，绿绿，绿所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，

所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，

故选：9.【答案】C

【解析】解：四边形ABCD是正方形，，，

，

，

，

，，

∽，

=，即=，解得，

=.

，

，，

∽，

=，即=，解得.

故选：

先根据题意得出∽，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据∽即可得出结论．

本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．10.【答案】

【解析】解：实数，是方程的两根，

，

故答案为：

直接根据计算即可．

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键．11.【答案】

【解析】解：四边形OBCD是正方形，且边长为3，

，轴，轴，

点C的坐标是

故答案为：

根据正方形的性质及点的坐标的意义是解决问题的关键．

此题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，坐标与图形是解决问题的关键．12.【答案】9

【解析】解：∽，A

C：E

：3，

，

当时，，

故答案为：

根据相似三角形的性质列出方程即可求解．

本题主要考查了相似三角形的性质，找到对应的边成比例是解题的关键．13.【答案】6

【解析】解：由题意可得，

，，，，

∽，

，

即，

解得，

树高，

故答案为：

根据题意可知：∽，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到PQ的长．

本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14.【答案】

【解析】解：连接OE，

四边形ABCD是矩形，

，，，

，，

，

，

，

，

，

故答案为：

连接OE，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．

此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．15.【答案】解：，

，，，

，

，

，；

，

，

或，

，

【解析】利用公式法解方程；

利用因式分解法解方程．

本题考查解一元二次方程-因式分解法，公式法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，公式法解方程．16.【答案】；

根据题意画树状图如下：

共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，

甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是

【解析】解：甲选择A景点的概率为，

故答案为：；

见答案.

由概率公式直接可得答案；

先画出树状图，共有9种等可能的情况，再根据概率公式，计算即可得出结果．

本题考查了用树状图求概率，解本题的关键在于根据树状图找出所有等可能的情况数．概率等于所求情况数与总情况数之比．17.【答案】解：设2020年到2022年该学校购买图书费用的年平均增长率为x，

由题意得：，

解得：，不符合题意，舍去，

答：2020年到2022年该学校购买图书费用的年平均增长率为

【解析】设2020年到2022年该学校购买图书费用的年平均增长率为x，根据2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18.【答案】证明：，，

四边形AOBE是平行四边形，

四边形ABCD是矩形，

，，，

，

四边形AOBE是菱形；

解：作于点F，

四边形ABCD是矩形，，

，，，

，

，

是等边三角形

，

，

菱形AOBE的面积是：

【解析】根据，，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到，由菱形的定义可以得到结论成立；

根据，，可以求得菱形AOBE边OA上的高，然后根据菱形的面积=底高，代入数据计算即可．

本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积=底高或者是对角线乘积的一半．19.【答案】解：设矩形ABCD的边AB为xm，则边BC的长为，即，

答：边BC的长度是；

设矩形ABCD的边AB为xm，则边BC的长为，即，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，，

当时，；

当时，；

答：当羊圈的面积为时，羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为

【解析】根据题意列出代数式即可；

设矩形ABCD的边AB为xm，则边BC的长为，根据羊圈的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．

本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．20.【答案】解：四边形ABCD是菱形，，

是AD的中点，

是的中位线，

，

，

四边形OEFG是平行四边形，

，

，

平行四边形OEFG是矩形；

四边形ABCD是菱形，

，，

，

是AD的中点，

；

由知，四边形OEFG是矩形，

，

，，

，

【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

根据菱形的性质得出，再由点E是AD的中点，所以OE是的中位线，推出，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形OEFG是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．21.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，