CH4-光纤的模式理论

第四章光纤的模式理论分析

第二章的后两节中，我们用几何光学理论分析了光纤中光的传播问题。几何光学是电磁

波理论的零波长近似，只适用于分析多模光纤。在光纤通信中实际使用的主要是单模光纤，

这种光纤芯茎小（大约几个微米），与工作波长在同••量级，因此不能用几何光学理论分析。

本章从电磁波理论出发，把光纤中光的传播问题作为一个电磁场边值问题进行求解。这是一

种比几何光学方法更为严密的分析方法，不仅适用于分析多模光纤，而且适用于分析分析单

模光纤。

§4.1光纤中的电磁场方程

光纤是圆柱状的介质光波导，所以采用以光

纤中心轴为z轴的圆柱坐标系来定量描述其结构

及传输特性。在圆柱坐标系中光纤的横截面结构

如图4—1所示。在圆柱坐标系中，光纤纤芯半径

为a，折射率为小。包层内半径为外半径为从/\

折射率为3包层外面的护套对波的传播不产生/（\

影响，所以未画出。为了改进光纤的传输特性，〃2（小火空）——卜」>

一些新型光纤往往采用多包层结构，即包层由折\b乂/

射率分别为小，〃2,"3,……的多个子层构成。实J

际使用的光纤纤芯折射率小往往是渐变的，在圆

柱坐标系（厂，z）中，光纤横截面内的折射率一

分布可以写成图4-1光纤的横截面及分析光纤所

r/、取的坐标系

/x\nArlr<a、

〃（〃）={/\（4.1-1）

[n2=n\r=a\r>a

在圆柱坐标系中，电磁波的电场强度E和磁场强度〃可以写成如下三个分矢量之和,

即

E=erEr+e^+ezEz(4.1-2a)

H=erHr+e,H^e:Hz(4.1-2b)

在圆柱坐标系中将横向拉普拉斯算符展开，可得

5票+依犷一u近二。(4.1-3a)

GM-")也=0(4.1-3b)

将纤芯折射率小和包层折射率“2分别代进（4.1-3）式，即可求得纤芯和包层中

的纵向场分量及&和〃*一

电磁场的横向分量E，E§,%〃我可以从麦克斯韦方程的标量式中解得，略去推

导过程，这里直接给出结果

k；E,=

—那与板。6乩(4.1-4a)

orr

..dH.

」+/平。「(4.1-4b)

卬鹫dr

女=运£dEz.RdHr

个人J(4.1-4c)

rc(pPo-r

2眼j“H二

(4.1-4d)

drro(t)

式中

匕二疗即％/-伊一伊

2

n=£r=—(4.1—5)

%

求解光纤中的电磁场问题，第•步就是在已知的折射率分布条件下由(4.1-3)式求出

纤芯和包层中的纵向场分量二和”;，然后再由(4.1-4)式求出电磁场的横向分量。根据

纤芯和包层分界面上的电磁场边界条件，确定场解中出现的一些待定常数，最终完成求解过

程。(4.1-3)式是二阶偏微分方程，一般采用分离变量法求解。

如果光纤纤芯的折射率是变量，的函数，而且满足所谓的缓变条件，则E二和“二所满足

的波动方程在形式上与(4.1-3)式是一样的，只不过式中的〃2应该用〃2(r)代替。

§4.2阶跃光纤的严格解一一矢量模解

4.2.1阶跃光纤的电磁场解

阶跃光纤纤芯和包层折射率片和〃2都是常数。第41节给出的方程(4.1-3)式中的纵

向电场和纵向磁场乩满足同一方程。用“G/,z)代替和乩，则(4.1-3)式可以

写成

1A(8y八Id2i//,2八八

----r—+—r—■+£"=()(4.2-1)

rdr{dr)r2df

式中A：由(4.1-5)式定义。

方程(4.2-1)式可以用分离变量法求解，假设方程(4.2-1)式中的解材G4,z)可以

表示为

W，Z)=胫(4.2-2)

式中R（。只是，•的函数，①（。）只是。的函数，式中"胫表示电磁场是沿光纤轴（即z

轴）方向的行波，波的相位常数为夕。将（2-2）式代进（2-1）式，同时两边同乘以

///?«)①(。)得到

rdTdR[r\中二1/①㈤

(4.2-3)

丽石dr_°①⑻(1/

要使上式对任何，•和0都成立，必须两边同时等于同一常数，设为〃/。于是，由（4.2

—3）式右边得到

"*）+团池（。）=0(4.2-4)

d（p

（4.2-4）式的解为

COS/%。'

①(。)=〃7=0、I、2、(4.2-5)

sin；

作变换X=L",由（4.2-3）式左边得到

d2R1dR

--7+----R=0(4.2—6)

dX2XdX+F-同

（4.2—6）式在X2=k~r2＞0的条件下是机阶贝塞尔方程的标准形式，而在X2=k：户＜0

时是m阶变态贝塞尔方程的标准形式，（4.2—6）式的解，则视*2=^户＞0或

X2=d/＜0分别为m阶贝塞尔函数或m阶变态贝塞尔函数。X2的正负由

匕=匕〃2-仍决定,可见在电磁波频率确定的条件下，的正负号取决于介质的折射率

〃，〃大贝UK；可能为正，〃小贝Ui可能为负。

在光纤纤芯中，折射率/较大，可以假设4二%：〃：一＞0,因而在纤芯中（41—6）

式的解可以表示为

工（分）、

0<r<a(4.2-7)

式中乙”（（。是m阶第一类贝塞尔函数,有时也就称为m阶贝塞尔函数；%,“仅3）是。】阶

第二类贝塞尔函数，又称为m阶牛曼函数。和N用火厂）都是用级数表示的特殊函数,

这两类贝塞尔函数的曲线如图4-2和图4-3所示。两娄贝塞尔函数在物理上都可以表

示驻波场，由(4,2-8)式可以看到这种驻波场的振幅值按1/府规律递，这种递减规律

是圆柱坐标系中场量沿径向分布的必然规律。

由图4-2和图4-3可以看到，((匕/)都取有限值，但在f0时，即

在光纤轴上是发散的。为了求得物理上合理的解，必须舍弃N,”化/)只取/“&/)来构成纤

芯中的场解，即

M〃)二J〃〃3)0<r<a

将R(r)及①⑻的表达式代入(4.2-2)式中，即可得到纤芯内的场解

sin”?。、

E”=A/式％C(4.2-10a)

C0S〃7。/

cos〃如

「7的

C-(4.2-10b)

sin/

式中A、⑸是两个待定的常数，脚标“1”表示纤芯中的场。式中场量随。变化的函数6(。),

当(4.2—10a)式取sin〃加时，(4.2—10b)式取cos〃z。；反之(4.2—10a)式取cos〃?0时,

(4.2-10b)式取只有这样才能保证，•二〃，也就是纤芯和包层界面上的电磁场边

界条件得以满足。

在光纤包层中，由于折射率%较小，可以假设^二曾〃；-夕2<0。因而在包层中方

程(2-6)式的解为变态贝塞尔函数，即

o=r>a(4.2-11)

式中

a，=Y=俨一(4.2-12)

为m阶第一类变态贝塞尔函数,(.(4/)为m阶第二类变态贝塞尔函数,它们都

是单调函数。/式随aj•增大单调递增，随区,增大单调递减。两类变态贝塞

尔函数在宗量很小和很大时的渐近值具有十分重要的意义。下面我们给出变态贝塞尔函

数的渐近式。其大宗量渐近式为

/,”(X)X->J—/(4.2-13)

y[2nX

(4.2-13)

小宗量渐近式为

(4.2-14a)

力x）4熊了(d.2-14b)

(4.2-14c)

A

(4.2-14d)

两类变态贝塞尔函数的曲线如图4-4和图4-5所示。

图4—4第•类变态贝塞尔函数曲线图4一5第二类变态贝塞尔函数曲线

由（4.2—13）式及图4—4和图4—5可以看到在q/f8时，/”,（％/）是发散的，而

则在-8时按指数规律趋于零，因而在包层中物理上合理的解应取第二类变

态贝塞尔函数«生/）,即

=%”(%，,)r>a

于是包层中的场解可以写成

sin，”。］-建

E二2=(4.2-15a)

cosm（/））

cos，〃。、

乩2=与长式//区谀(4.2-15b)

sin)

式中4、无待定，脚标“2”表示包层中的场，有关sin〃z。与cosm。的选取原则同(4.2

—8)式。

为了计算方便，在纤芯和包层中的纵向场量表达式(4.1-10)式和(4.1-15)式中，

我们只取sin/〃。和cos"?0这两个解中的一个，例如只取式中上面的一组解。引进特征参量

U和W代替心和应，其定义为

U=kca,W=aea(4.2-16)

于是纤芯和包层中的纵向场解分别为

=AJ，”~rsin6如-jfiz0<r<a(4.2-17a)

\ci)

(W].一侬

E.T=A2K\—rsin的(4.2-17b)

U_

r\cosm(/)e,住0<r<a(4.2-17c)

W_

H：2=B?KmrCOS〃?如-磔r>a(4.2-17d)

特征常量U和W与攵°、〃、夕之间的关系为

U2+P2a2=k^n-a(4.2-18a)

-W2+^2a2=k^nfa(4.2-18b)

用(4.2-18a)式减去(4.2-18b)式，可以定义另一个重要的特征参量

2

V=k()ayj/?1—«2(4.2—19a)

V称为光纤的归一化频率，它与工作频率成正比，是一个无量纲的参数。

(4.2—17)式表明，电磁场的纵向分量E和H在纤芯内沿半径方向用贝塞尔函数描述。

场量在径向呈驻波分布。在圆周方向场量按sin〃3或cos，〃。函数也呈驻波分布。沿z轴方

向则呈行波状态。包层中场量沿圆周方向和光纤轴向分布规律一样，可以保证包层与纤芯界

面上的边界条件总可以得到满足。包层中的场量用第二类变态贝塞尔函数描述，在r较大时

场量按指数规律迅速衰减，以保证电磁波能量主要集中在纤芯以及与包层的分界面附近。否

则光纤中传播的电磁波就不再是导波，而是辐射波，所以有讨论(4.2—6)式的导波模解时,

我们总假设公=精〃：—夕＜。，这个假设也就是光纤的波为传播或导波模的必要条件。

纤芯和包层中的电磁波解必须满足纤芯与包层界面上的边界条件，电场和磁场的切线

分量必须连续，在r二。的面上有

马(，』)=%(〃=〃)

乩G=〃)=乩2(-=。)

也就是

",«)=♦镰(w)

令

A=AJ〃(U)=&KyW)

B=BlJ,AU)=B2Ktn(W)

则可将纵向电磁场量写成

6A/。1•X,-

E.,=-7-^J...—r\smm(/>e(4.2-20a)

UJ

―赤产修小山2生(4.2-20b)

B£

H-jrcos/77^e"7/fc(4.2-20c)

(W]

H=---K\—rcos〃z兹-抿(4.2-20d)

Kg)\ci)

将(4.2-20)式代进(4.1-4)式，即可得到四个横向电磁场量E，、Ee、H,、77,在纤

芯及包层中的表达式为

(4.2-21a)

(4.2-21b)

(4.2-2lc)

a①〃〃W_W

o1BKr+蜉K：(4.2-21J)

%tn

cos^UA,(U

-----------Jm\—sin/n^(4.2-21e)

—rlsin/^

m(4.2-21f)

-rHcos/^(4.2-21g)

a)\

2lh)

(4.2-20)和(4.2—21)各式中都略去了z方向的传摧因子exp(-庐)。

(4.2-20)式和(4.2-21)式所表示的电磁波成为光纤中的导波的条件是U和卬都

是正实数，以保证电磁场量在纤芯中沿半径方向呈驻波分布，在包层中呈表面波分布。由(5.2

18)式和(4.218)式易于看到。和W为正实数的条件是

心％<P<k。％(4.2-22)

如果上述条件不满足，将会由卬2＜。，包层中的场将成为辐射场，导波也就截止了。

因此我们将夕=攵0〃2，卬=°，U=V作为一个导波模截止的临界点。

4.2.2导波模的特征方程

光纤中的电磁场分量表达式(4.2—20)式和(4.2—21)式中尚有特征参量U、W、0

没有确定，特征常数A和8之间的关系也有待确定，只有把这些常数都定下来才能确定光

纤中导波模的传播特性和场分布。特征参量由特征方程解出，而特征方程则由电磁场边界条

件得出。

在纤芯与包层的界面上，电磁场的切线分量必须连续。也就是说在，•=〃面上必须应该

有

E©i=Ec，H6=H”

=

凡1凡2,Hzl=H工2

上面的四个关系式中的后两个，即沿Z轴方向电磁场分量连续的条件已在确定4、A?、

B「殳之间的关系时用过了。现在利用前两个边界条件方程，将(2-21)式七枳、E42、

“讯、的表达式代入，得到

刖。从举+打］=+二)(4.2-23a)

22

产°皿和)WK/fl(W)\"\UW)

〃国.(W)1

①％A+=PmB(4.2-23b)

WK,”(W)vv2

(4.2—23)式确定了常数A和B之间的关系，A和B的完全确定还依赖于光纤的激励条件。

但A和8的大小并不影响光纤中的电磁场结构以及传播特性，所以这里就不再进一步讨论

如何由激励条件确定4和3了。

将(4.2-23)式的两个方程相乘，即可消去常数A和8,得到

4⑺।

〃”⑻UJ,口)WK(W)

m(4.2一24)

/411y

(4.2-24)式中含有三个待求量：U、卬、夕、将它与(4.2-18)式联立，即可在已知

光纤结构参量及工作波长的条件下求得光纤中导波模式的特征参量。(4.2-24)式即为光纤

或圆柱状介质波导的特征方程。利用(4.2—18)式可消去(4.2—24)式中的纵向相位常数夕，

可以得到特征方程的另•种形式，即

]/的)।K：(W)「凶(卬)

M(U)WK„,(W)lUJ,„(U)WKn,(W)

(4.2-25)

(4.2—25)式中只有两个未知量U、W。考虑到

0+—=丫2=*2(/2一〃；)=柒2/2A(4.2-26)

式中

汉；一冠

A=——/(4.2-27)

在工作波长和光纤结构参数已知的条件下，就可以从(4.2—25)式和(4.2—26)式中解出U、

W这两个特征参量。

为了便于书写，引进两个简化符号

吟K；W)

UJ®WK,n(W)

将其代入(4.2-25)式，得到

将上式展开、整理，可得

z、2/、2/、/)

rn.]“，(|“22(11Y1n：1

AJ+—A-tn-7H---TM22j

"J"W2jnW

£于J的一元二次方程，因而其形式解可以写成

72、2

22(11Y

K+1+区K-^K~+4w--十—--

模、EH模、HE模等几大类。

1.TE模和TM模

TE模就是纵向电场工=0的电磁场模式。这就要求（4.2-20）式中的常数A=0。从

边界条件（4.2-23b）式可以得到

显然〃工（），-L+-L-0,8也不能为零，因为8再为零就没有电磁场存在了，欲使上

u2-w-

式成立就只有〃z=0了。这就是说只有〃2=0时TE模才能存在。由（4.2-23a）式或在（4.2

-29）式中取〃?=0,就得到

«(U),尤(W)

---7—\।-----7r-V(4.2-30)

UJ°⑺VW°(W)

这就是TE模式的特征方程。利用贝塞尔函数的递推公式

—7（。）

媚(w)=/(w)

可以将（2-30）式写成

心仞）K1（VV）八/

—[■<+—丹<=0（4.2-31）

■。仞）耿。（W）

这是TE模特征方程的常见形式。

对于TM模，必须”;二0,也就是（2—20）式中的常数8=0,这同样导致m=0才

能满足边界条件。由于3=0,从（4.2-23b）式可以得到

仞KW

4(4.2-32)

UJAU心W

这个方程就是介质波导中TM模的特征方程。对于弱导光纤%/〃尸1，则（4.2—32）式与

（4.2-31）式一致。在弱导条件下，（4.2-31）式为TE模和TM模共同的特征方程，也就

是（4.2—29）式在"2=0时的特例。

意味着场量不是。的函数，即场分量在光纤中呈轴对称分布。也就是说，只有

场结构呈轴对称分布的电磁波，才有可能在光纤或介质波导中以TE波或TM波的形式存在。

2.EH模和HE模

如果〃―0,场量沿圆周围方向按cos〃z。或sin，〃。函数分布，要使边界条件得到满足，

则A和8都不能为零，即电磁波的纵向场分审:2工0,”二工（）。也就是说，光纤中的非

轴对称场不可能时单独的TE场或单独的TM场。纥和H：同时存在的电磁场模式成为混

合模。

mHO时方程(4.2-28)式和(4.2-29)式在同一〃?值下，有两组不同的解，对应着

两类不同的模式。在弱导条件下，方程(4.2-29)式右边取正号时所解得的一组模式称为

EH模，而(4.2-29)式右边取负号时所解得的一组模式称为HE模。

根据上面的分类，弱导条件下，光纤中EH模和HE模的特征方程分别为

U2W2)

——2_--|---------——

22

UJ和)WKfn(\V)UW)

利用贝塞尔函数的递推公式，可以将上面两式中贝塞尔函数及变态贝塞尔函数的导函数用同

一阶或高一阶(或第一阶)的函数表示，即

〃(u)=.XS-JN(U)=-畀(u)+JA(U)

K：,(w)=9鸳(W)-K〃用(W)=K<w)+Kg(W)

WW

将其代入前面的Eli模和HE模的特征方程」可以将其化简为

J.M。(卬)

EH模(4.2-33)

%(w)

HE模(4.2-34)

UJ酬

在(4.2—33)式和(4.2—34)式中，如果令〃2=(),并注意到

K"w)=K(w)

则(2—33)式和(2-34)式都可以写成

4(。)।K』W)

叫⑺啾。(w)

这就是弱导条件下的TE模和TM模的特征方程(4.2-31)式。也就是说，在弱导条件下，

TE模和TH模可以看成是EH模和HE模的特例。

如果回到精确的特征方程(4.2-28)式，仍然定义式中右端取正号为介质波导的EH

模特征方程，取负号为HE模特征方程。则在m30时，将由EH模特征方程得到TM模

特征方程(4.2-32)式，由HE模特征方程得到TE模特征方程(4.2-31)式。因而可以

进一步认为，TE模是HE模在轴对称情形下的特例，而TM模则是EH模在轴对称情形下

的特例。在微波技术中又将TM模称为E模，TE模称为H模，这是因为前者在纵向有电

场E的分量，后者在纵向有磁场H的分量。从以上分析可以看到，将混和模区分为EH模

和HE模的根据，即将与H模相联系的混和模用HE模表示，将与E模相联系的混和模用

EH模表示。

有关光纤中的TE模，TM模和混合模，如果用射线理论和本地平面波理论解释.则

TE模和TM模由光纤中传播的子午光线形成；而混合模HE模和TM模则由偏斜光线形成。

进一步，由水平偏振的子午线形成TE模，而垂直偏振的了午光线则形成TM模。这是因为

子午光线的路径是平面折线，它们在光纤纤芯与包层的界面上反射时，横向场分量不改变方

向，水平偏振波的电场总在与Z轴垂直的方向上，而垂直偏振波的磁场总在与Z轴垂直的

X电场强度@磁场强度、磁场强度。电场强度

方向上，因而子午光线形成了光纤中的TE模和TM模。这种情形如图所示。偏斜光线的路

径是空间折线，纤芯包层分界面上的不同反射点的法线方向不一致，因而每一次反射不管光

线的初始偏振状态如何，都有可能产生Z方向的电场和磁场。因而偏斜光线只能形成光纤

中的混合模。

4.2.4导波模的截止参数和单模传输条件

一个导波模式场的横向分布特点用〃7、U、W确定，纵向传播特性则由夕确定。参数

机确定场最沿。角方向场的分布规律，U确定纤芯内场沿半径方向的分布规律，W则决定

场量在包层中沿半径方向衰减的快慢程度。〃?、U、W之间的关系由（4.2-18）式给出，

只要由特征方程解出其中的一个，其他两个便可由（4.2-28）式求出，导波模的特性也就

完全确定了。

一个导波模沿z方向无衰减传播（忽略材料自身的吸收损耗）的条件是m、W都是正

实数。如前所述，W为正实数时，包层中的电磁场沿半径方向几乎是按指数规律快速衰减,

W越大，衰减越快，电磁能景就越集中在纤芯中。反之W越小，就有越多的电磁能吊向包

层中弥散。如果皿2＜（）,则包层中的场将用汉克尔函数描述，成为沿径向辐射的模式，这

就是介质天线的情形。如果卬2=0,则恰好成为一个模式是导波模还是辐射模的临界点。

我们将W=0条件下求得的纤芯内的归一化径向相位常数U记为此时的归一化撅率则

记为匕。U。、匕即为导波的截止参数。显然在截止点有

V；=U^W；=U；或=Uc(4.2-35)

下面从各类模式的特征方程出发，分别讨论它们的截止特性。

1.TM模和TE模

TM模和TE模的特征方程为

(4.2-36)

"（U）\VK.（W）

在WfO时各阶第二类变态贝塞尔函数都是发散的，因而难以从（2-36）式直接得到TM

模和TE模的截止参数。从K（W）和K°（W）在Wf0时的渐近式出发，可以得到有意义

的结果。

由(4.2—14)式，在W->()时有

K0(W)->In1-8

6(W)f京-8

于是在截止状态下，特征方程(4.2-36)成为

二&(卬)1

—>----------------——>00

U/。)WK°(W)IV2In—

W

欲使上式成立，则应有

u/M)=o

这有两种可能，即u,=0和J0(U,)=O。但u,二o时，4(。,).与，

，(uJ/UM)(a.)=g,不满足上面的关系，因而TM模和TE模在截止时的特征方程应

为

“)(U,)=0(4.2-37)

上式说明，截止状态时的归一-化截止频率U,及匕是零阶贝塞尔函数的零点，即

Uc=Vc=WomH=|,2,3,-(4.2-38)

式中的斯”是零阶贝塞尔函数的第〃个零点。各阶贝塞尔函数都有无限多个零点或根。零阶

贝塞尔函数的头几个根为

“0〃=2.405,5.520,8.654。…

以上每一个“°”值都对应这一个TM模和一个TE模，分别记为花。”模和刀0。“模。这就是

说，花0“模和7M。“模的归一化截止频率为“0”。

电磁波在光纤中传播对，如果T作波长；I,光纤的结构参数〃、公都是确定的，

则其归一化频率V=五是一个完全确定的数。如果V大于某个模式的归一化截止

频率匕，则必有卬2>0,该模式可以再光纤中传播。反之，如果V小于某个模式的归一

化截止频率匕，则小2<0,该模式截止，成为辐射模。也就是说，光纤中任意一个模式的

传播条件是

(4.2-39)

序号相同的7E°〃模和加0”模，有相同的截止参数，我们称比0“模和刀/)〃模为一对简并

模。在所有匹)“模和刀心”模中，YE。1模和7M°】模的归一化截止频率是最低的，为2.405,

其截止波长4,是最长的，为

4。心,孙“)=恶(〃；-族=2.613“历。

(4.2-40)

J•*>Vz»_/

例如，某光纤a=4.0〃m,A«0.003,纤芯折射率％=1.48,则花；“模和TTW。1模

的截止波长4kl.202〃。这就是说，如果此光纤中传播的光波长2=1.31〃〃，则花(“模

和力Woi模都不能传播。如果工作波长为0.850?,则7%模和7Mol模可以传播。

2.EH模

EH模的特征方程为

，式叽G(W)

UJ酬\VKni(W)

将Wf0时K,“(W)的渐近式(2-14<1)式代入，可以得到上面的特征方程的右瑞为

，”+1

*2

1卬)2m

—=------7—8

2

W(〃一喘VV

由此可以得到EH模在截止状态时，其特征方程应为

也就是

ujM)=o

其中U,二0应舍弃，推导同上面章节，所以在截止状态，EH模的特征方程只能为

(4.2-41)

截止参数U,或归一化截止频率匕是〃?阶贝塞尔函数的根，即

=V.=U,nn〃？-1,2,3,-/f-b2,3,-(4.2-42)

式中，”是贝塞尔函数的阶数，〃是，”阶贝塞尔函数根的序数。由〃?阶贝塞尔函数的第

〃个根所确定的EH模称为EHmn模。

几个低阶贝塞尔函数J,n(U)的头几个根列在表4.1中。

表4.1Jm(U)的第〃个根“mm

X

0123

12.404833.831715.135626.38016

25.520087.015598.417249.76102

38.6537310.1734711.6198413.01520

411.7915313.3236914.7959516.22347

514.9309216.4706317.9598219.40942

在EHmn模序列中，EH”模的归一化频率是最小的，其值为

Uc=Vc=3.832

EHu模的截止波长在EHmn模序列中是最长的，其值为

友居二164()4(4.2-43)

3.HE模

HE模的特征方程为

4T(U)=K,i(W)

UJ0,(U)WKm(W)

Wf0时特征方程的右端的渐近特性应分为m=1和6之2两种情形讨论。

当〃?=1时，将K0(W)和K,”(W)的渐近式(4.2—14C)式和(4.2—14d)式代入特征

方程右端，得到

J0(U)…、M2/W2

UJ岫卬卑］一卬

这就是说〃7=1时，HE模在截止状态下的特征方程为

uj(S)=o(4.2-44)

方程(4.2—44)式的解为U,二0和一阶贝塞尔函数的根4“。由于U-0时，1,

所以U,二0也是特征方程在W->()时的一个解。以。和为归一化截止频率的HE模，

记为HEM为了将匕=0的模作为第一个HE.模即HE”模，HEm模的截止参数则为

Uc=V.=0,u,n,=0,3.832,7.016(4.2-45)

比较(4.2-42)式和(4.2-45)式，可以发现HE1.田模和HEm模具有相同的归一化截止

频率，所以HEi.m模和HEm模是简并模。

需要特别指出的是HE“模，其归一化截止频率

Uc=vc=o

截止波长

A\HE^)=CO(4.2—46)

这是一个重要的结论，也就是说HE”模不截止，它可以以任意低的频率在光纤中传播,

是介质波导和光纤的主模。HEu模的截止波长4.("品/=8,这个结论仅是一个理想的极

限。如果工作波长过长，则HE”模的能量将向包层中转移，传输损耗将加大，因而太低频

率的波以HEn模传输是十分困难的。

如果用之2,将K,”(W)的渐近式(4.2-14d)式代入特征方程右边，可得到

Ki(W))1

叫(W)2(m-1)

而特征方程左边则可用贝塞尔函数的递推公式的降价形式

2(加-1)4-W)=u/»2(u)+山式。)

将其简化为

二小仞)11二1

UJju)2(〃L1)J“,(U)2(^-1)2(777-1)

由此得到HE模(m22)在截止状态时的特征方程为

〃2(4)=0(4,2-47)

也就是说，对"之2的HE模，其归一化截止频率为

4=匕=〃「2.”(4.2—48)

式中"2=2、3、4…，n=k2、3。与(4.2—3)式比较，可以看到HE2n模与T&n模、TMOn

模具有相同的截止参数，它们是简并模。

表4.2.较低阶的模式组及其归一化截止频率

模式组Vo模式组

HEn02X1=2

TEoi>TMoi♦HE212.4051+1+1X2=4

EHu，HE31，HE123.8322X14-2X1+2X1=6

EH21，HEm5.1362X14-2X1=4

TEO2»TM02，HE225.5201X1十1X1十2X1=4

EH3I,HE516.3802X1+2X1=4

2X1+2X1+2X1=6

EH12，HE32，HE|37.016

EH4HH&i7.5882X14-2X1=4

从表4.2中可以看到，光纤中的主模HE”模，其归一化截止频率为零。次最低阶模为

TEoi模、TE<”模和HEzi模，其归一化截止频率为2.405。如果适当设计光纤，度选择工作

波长，使得归一化工作频率

0<V<2.045(4.2-49)

则TEoi、TEOHHE?1模及所有的高阶模都被截止，只有HE”模可以传播。这就是光纤中所

谓单模传播条件。由于归一化频率旷二心始二蝴小后,所以可以将单模传播

条件表于为

2>2.613/?1«V2A=A(.(TE^p77l/()l)(4.2—5。)

4.2.5远离截止状态的导波模的性态

截止状态下，光纤中各