2024年新高考艺体生冲刺复习考点11 等差数列（解析版）

考点11等差数列

知识点一等差数列定义

知识点二等差数列的有关公式

一知识点三等差中项

知识点

一知识点四等差数列前n项和的性质

知识点五求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

知识点六判定数列｛an｝是等差数列的常用方法

等

差

数考点一等差数列基本量的运算

列

考点二等差中项

考点三前n项和与等差中项

考点四前n项和片段性

一考点五前n项和与n的比值

考点一

一考点六等差数列的奇数项或偶数项之和

考点七等差数列的最值问题

考点八含有绝对值的等差数列求和

考点九等差数列的证明与判断

考点十等差数列的实际应用

T知:识，讲:解

一.等差数列定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符

号表示为an+i—an=d(nN\d为常数).

二.等差数列的有关公式

1.通项公式：。”=4]+(〃-1)4通项公式的推广：4“=«”+(〃一〃?)"(〃，

“八-ix,n(/?-1)n

2.刖〃项和公式：S”=na\+--2----〃=-----2-----

三.等差中项

1.等差中项：数列小人，力成等差数列的充要条件是人=与，其中人叫做小力的等差中项.

2.等差中项推广

（项数相同

d^a.<=><<=>Fwin+n=p+q=2t<=>3,,+a,=a+a=2a

［下标和同P°t

［项数可同可异.

d=a/0下标mgp+q=2t=am+an=ap+aq=2£t=am+n

卜标和同

*

四.等差数列前n项和的性质

1.前n项和与等差中项

数列项数为奇数2n-1时（S。、T”分别是等差数列a。、,的前n项和）

S2n.i=（2n-1）an

SHI_Qn_Da”。例、_%

T3（2m-l）b,nT2n_,bn

2.前n项和片段性：Sm,S.—Sm，S3HLS»”，…构成等差数列.

3.®｝是等差数列，则用是等差数列，且首项为a,公差为gd

4.当项数为偶数2〃时，SLS奇=〃由项数为奇数2〃一1时，S济一S粥=。中，S奇：5我=〃：（〃-1）.

五.求等差数列前〃项和Sn最值的两种方法

1.函数法：利用等差数列前〃项和的函数表达式Si/+版,通过配方结合图象借助求二次函数最值的方

法求解.

2.邻项变号法：

©之0，

（1）当0>0,dVO时，满足A的项数也使得S〃取得最大值为S”；

跖+£0

a,SO,

（2）当0<0,d>0时，满足八的项数机使得S,取得最小值为S”.

3.等差数列的增减性与最值

（1）公差冷0时为递增数列，且当时，前〃项和S”有最个值；

（2）公差d<0时为递减数列，且当m>0时，前〃项和5〃有最大值.

六.判定数列｛斯｝是等差数列的常用方法

1.定义法：对任意〃£N*,。”+|一%是同一个常数.

选下标-列定义式-换一项-化简…写结论

2.等差中项法:对任意应2,〃£N“，满足2诙=%+i+a“T.

3.通项公式法：数列的通项公式m是〃的一次函数.

4.前〃项和公式法；数列的前〃项和公式S〃是〃的二次函数，且常数项为0.

典N例：剖N析|-------------------------

考点一等差数列基本量的运算

【例1】（2023广东潮州）等差数列｛4｝的公差为d,数列｛叫的前八项和为S”.

31

⑴已知4=不，~=一万,Sm=-15,求加及q”；

⑵已知4=1,=-512,Sn=-1022,求d；

(3)已知§5=24,求4+%.

(4)若q=7,6t5O=1()1,求S50；

⑸若q=2,a2=1,求£0；

⑹若4=:，"=一:，S“=-5，求〃.

26

⑺若。?+%=19,$5=40,求q；

⑻若S'?=84,520=640,求S?8；

(9)若«|0=3。，«20=5。，5”=242,求〃.

【答案】⑴加=12,凡,=-4(2)4=-171⑶一⑷2700⑸,⑹〃=12⑺2⑻1596(9)11

52

【解析】⑴因为鼠=，陷+如二b=3〃,x业二工-15.

2222

所以整理得病-76-60=0,解得m=12或相=-5(负值舍去)，

所以品=%=%+114=]3+1吁(15、卜-4

(2)因为,=3(4+/)=白(1-512)=-1022,所以〃=4,

又因为g=%=4+3d=l+3d=-512,所以"=一171

5x424

（3）方法一：由S5=5q+-4--=-24,即4+21=彳

2

48

所以q+a4=q+d+q+3d=2q+4d———

方法二：由SS=5(4；%)=24,得%+%=£

「皿48

所以。2+。4=%+a5=—

（4）因为4=7,须=101,根据公式5“=〃（"；％）,可得S5°=迎笥也1=2700.

（5）因为4=2,«2=|,所以d=；.根据公式S“=〃4+^^d,可得品二］OxZ+lOx'F小券

⑹把q=:，d=-；,S”=-5代入S”="4+”（:-d,得-5=A、-十

26222

整理,n~-7/2-60=0.解得〃=12,或〃=-5（舍去）.所以〃=12.

（7）由题意知数列｛4｝为等差数列，勾+%=19,55=40,

2q+5d=19

设｛〃"｝公差为d，故，5x（5-l），解得4=2；

5%+—―^=40

（8）数列｛%｝为等差数列,1=84,$20=640,

302"=84219

12“+

设应｝公差为d，故<2,解得•T

孙”ai25

20q+

2T

28x（28-1）2191

贝IJS货=284+d=28q+378d=28x+378x—=1596；

24

（9）由题意知数列｛4｝为等差数列，%=30,%）=3。，

4+9d=301二；2,由S“=242,得12〃+^^X2=242,

设也｝公差为d，则，|；+阳=5。,解得I

«=22

解得〃=11或〃=—22（舍去），故〃=11.

【变式】（2023•北京）已知数列几｝是等差数列.

（1）若4=7,%=101,求S”；

⑵若4=2,a2=|,求品）；

⑶若4=!，4=一!，S〃=—5,求〃.

2o

⑷若4+%=19,55=40,求q；

⑸若3=84,S20=640,求S”;

（6）若%=30,a20=5（）,Sn=242,求〃.

85

【答案】（1）2700（2）彳⑶1=12.（4）2（5）1596（6）11

【解析】（1）因为q=7,a5o=10I,根据公式S'=可得S5o=5Ox（丁01）=2700.

（2）因为4=2,%所以d=J.根据公式5“=〃6+吗$4,可得§。=10><2+电粤3'：=弓.

（3）把q=J,4=一；，S"=-5代入Sn=+/d,得-5=：〃+“（；%-^1.

26222v

整理，得/一7〃-60=0.解得〃=12,或〃=-5（舍去）.所以八=12.

（4）由题意知数列｛4｝为等差数列，4+%=19,怎=40,

2q+5d=19

设乩｝公差为d.故《5x(57)解得4=2；

5a.+———-6/=40

,'2

（5）数列｛q｝为等差数列，兀=84,§20=640,

史3=84219

12«,+

设｛4｝公差为d,故・2,解得，

期士〃=64。：心交

20%+

24

则S=28«,+28X(：T)=28《+=28x219)

2Md378f/+378x—=1596；

v;4

（6）由题意知数列｛4｝为等差数列，%=30,♦二50,

设小,｝、公差为乩则f需a+9皿J==35U。'解得｛faa=12'

由，=242,得⑵2+〃（,」2=242,解得〃=11或〃=一22（舍去），故〃=11.

考点二等差中项

【例2-1］（2023•黑龙江哈尔滨）己知a=6+&，〃=百-亚，则。、。的等差中项为（）

r-11

A•亚B.万C.耳D.正

【答案】B

【解析】。、〃的等差中项为土吆」“卜二）'（4-6）=6.故选:B.

22

【例2-2］（2023•福建）在等差数列｛4｝中，4+%=10,则%=（）

A.5B.6C.8D.9

【答案】A

【解析】由｛4｝是等差数列，则应是为和〃9的等差中项，所以双=4+%,则2%=10,6=5.故选：A

【例2-3］（2023•湖南长沙）已知｛4｝为等差数列，且外吗4是方程f-4x-15=0的两根，则均等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】C

【解析】由《，阳是方程丁一4X-15=0的两根，可得4+44=4,

乂由数列｛q｝为等差数列，可得%+如=2为，所以佝=2.故选：C.

【例2-4】（2023湖南）在等差数列｛〃“｝中，4+〃+%=96,则2%-0=（）

A.24B.48

C.20D.16

【答案】A

【解析［因为数列｛%｝为等差数列，因为q+2《+%=96,得46=96,所以勾二24,

所以2%一%=%+4—40=6=24,故A项正确.故选:A.

【变式】

1.（2023•山东青岛）已知在等差数列也｝中，4+%=20,%=12,则%=（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】由等差数列｛q｝中，因为4+4=20,可得2缘=4+4=20,所以4=10,

又由。7=12,且&="、；"，可得见=2%-％=20-12=8.

故选：C.

2.（2023・新疆）若x,3x—2,3刀+2成等差数列，则x的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为4,31-2,3/2成等差数列,所以根据等差中项的定义得2x（3x-2）=x+（3x+2）.解得工二3,

故选：C.

3.（2023•四川成都）在等差数列也”｝中，^+67,,=40,则％-4+的值为（）

A.20B.40C.60D.80

【答案】A

【解析】在等差数列｛4｝中，因为。2+42=%+%=。6+4=2%=40,所以％=20,

所以《一4+%-4+%=（4+%）-（％+■）+%=%=20.故选：A

371n.n

4.（2023•云南曲靖）在等差数列中,叼+。6=彳，则sm)

3>

A.BC..直

BD.

2-422

【答案】D

【解析】等差数列中，生+4=段，则回

则0故选：D

考点三前n项和与等差中项

【例3-1]（2023•全国•模拟预测）已知S”是等差数列｛q｝的前〃项和,%+%+%=12,则S||二(

A.22B.33C.40D.44

【答案】B

【解析】解法一：因为｛凡｝是等差数列.

所以回

则|冈9所以0

解法二：设等差数列｛q｝的公差为

则由%+%+。7+旬=12得，,得I冈……―1；

所以0

故选：B.

S

[ft3-2]（2023•河北张家口）等差数列｛q｝、也｝中的前〃项和分别为S”,却广-喷=（）

1n7

40B,史1732

A.—C.—D.—

93874281

【答案】B

s4〃

【解析】•••等差数列｛叫、也｝中的前〃项和分别为S“，却广=

9/7+3

叵

故选：B.

【例3-3]（2023•广东）已知等差数列｛见｝和也｝的前〃项和分别为S”，T”,若率="£二，则八？；”[

。〃十一十/十必

).

A.上c26D,上

D.------

1113737

【答案】C

【解析】由等差数列的性质可得：制啜=1号,0

则回

,10,故选：C.

【变式】

〃

V,都有率=42+3V%的

1.（2023•陕西咸阳）设等差数列河｝,色｝的前〃项和分别为T.,nE

Tn4〃-3

值为（)

A."c19

B.—D

6529-I?

【答案】D

【解析】因为等差数列也｝，他」的前〃项和分别为邑，I,且^S^二2三〃+33,

*7

0-

所以.故选：D.

S2〃一3

2.（2023•安徽蚌埠）两个等差数列｛〃.｝,出｝的前〃项和分别为S“，T且声，咤=（）

nt3n-2

9

A.3D

二1-1

【答案】C

〃

【解析】由两个等差数列｛qj,也｝的前〃项和分别为S“Z，且S广=2茫3^，

0

根据等差数列的求和公式，可得.故选：C.

3.（2023・湖北荆州）等差数列｛《｝、也｝的前〃项和分别为S”与r"，且率="兽，则今咚=（）

14127

A.—B.—D.-

974

【答案】B

【解析】由等差数列性质得,S

等差数列｛q｝前〃项和满足|区------则旧一I，

等差数列也｝前〃项和满足回^一----则［区|〜

所以S

故选：B.

S„5〃一2a..

4.（2023•黑龙江鹤岗）已知等差数列｛q｝和｛"｝的前〃项和为分别为S”和7；,若或"==7,则/的值为

Tn3/1+1%

（）

A.吧c103193193

B.-----D.

641186?T78

【答案】B

［解析］回，令|冈］，则|冈］,

所以|国------|，|臼|，所以冈，故选：B

考点四前n项和片段性

【例4-1］（2023•甘肃武威）等差数列｛风｝中，5=3,§6=9,则§9=（）

A.12B.18C.24D.30

【答案】B

【解析】等差数列｛%｝中，S3，S6-S3，SLS6成等差数列，

所以|区I即I冈.

故迄B

【例4-2】（2023•江苏）已知等差数列｛qj的前〃项和为40,前3〃项和为420,则前2〃项和为（）

A.140B.180C.220D.380

【答案】B

【解析】设等差数列的前〃项和为s”，则回二----怫等差数列,所以旧------

乂|回-------|所以同解得|区|.所以等差数列｛a,,｝的前2〃项和为后|

故选:B.

【例4-3】（2023•甘肃金昌）设等差数列｛q｝的前〃项和为S”，若^^=7,则兴=（

)

【答案】A

【脩析】在等差数列｛g｝中，|国|冈|成等差数列,即|冈------卜

设|冈|，则|冈于是|冈|，解得[冈-一]，所以[因]

故选：A

【变式】

1.(2023・湖南长沙)已知｛&｝为等差数列｛%｝的前〃项和，若3=14£=邑+22,则56=()

A.26B.27C.28D.29

【答案】B

【解析】由题意得§2,£-邑,§6-，成等差数列，

ffl2(54-S2)=S2+(56-S4),又S4=14£=邑+22,

02[14-(56-22)]=56-22+(56-14),解得§6=27.

故选:B.

2.(2023•四川乐山•统考一模)设等差数列｛q｝的前〃项和鼠，若另=9,S6=36,则%+%+%=()

A.18B.27C.45D.63

【答案】C

【解析】由题意得S3，S«-邑,59-$6成等差数列，

即9,36—9,%+%+%成等差数歹。，

即2x(36-9)=9+%+%+为，解得。了+%+4=45.

故选:C

3(2023・湖北省)己知｛〃“｝为等差数列，若邑=3~6=24,则()

A.73B.120C.121D.122

【答案】B

【解析】设等差数列｛4｝的公差为"，

则0

所以且.故选：B

考点五前n项和与n的比值

【例5-1］（2023上•四川眉山•高三校考开学考试）在等差数列｛%｝中，=-2024,其前〃项和为S”,若

亲一券=2,则S”()

10o

A.2023B.-2023C.-2024D.2024

【答案】C

CC

【例5・2］（2023•河南）己知等差数列｛为｝的前〃项和为s”，且半_5=4,则%-缘=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,

0

则

•••数列｛｝｝是公差为即等差数列，s，解得:

-----

故选:D.

【变式】

1.（2023•全国•高三专题练习）已知S〃是等差数列｛刖｝的前〃项和，若〃/=-2018,黑-黑=6,则S2020

等于（）

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【答案】C

【解析】四是等差数列｛,，〃｝的前〃项和，回数列管｝是等差数列.

回。/=-2018,

20192013

团数列｛｝｝的公差叵,首项为-2018,

02018+2019x1=1,

团5'2。2。=2020.

故选：C.

2.（2023・湖北武汉）在等差数列&｝中，«,=!,其前〃项和为%若今-多=2,则％等于（）

86

A.10B.100C.110D.120

【答案】B

【解析】因为数列｛«,｝是等差数列，则数列卜乜为等差数列.设其公差为心

则区］,则殍又因为H\

所以0,所以S,,=〃2,所以［百一一1

故选：B.

3.（2023北京）在等差数列｛%｝中，4=-2021,其前〃项和为若要一今=2,则S曲等于（）

10o

A.2021B.-2021C.-2020D,2020

【答案】B

【解析】•数列｛4｝为等差数列，数列为等差数列，设其公差为d,

又&_务=24=2,解得：d=l,又务=q=-2021,

1081

/.当包=-2021+2020=-1,/.S9=-2021.

2021

故选：B.

4（2023湖北）已知5〃是等差数列｛〃〃｝的前〃项和，若〃尸・2018,黑-黑=6,则§2⑼等于（）

工U1J/U1D

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【答案】C

【解析】as〃是等差数列｛.〃｝的前〃项和，团数列｛2｝是等差数列.

的=-2018,

20192013

§｝的公差向,首项为-2018,

团数列｛

R02018+2019x1=1,

团S2D20=2020.

故选：C.

考点六等差数列的奇数项或偶数项之和

【例6-1］（2023•河南周口）一个等差数列共100项，其和为80,奇数项和为30,则该数列的公差为（）

【答案】D

【解析】设等差数列的公差为"，则由条件可知:

数列的奇数项之和为向

偶数项之和为叵，②

由②-①，得I臼I，所以回，即该数列的公差为

故选：D.

【例6-2］（2023•重庆•统考二模）已知等差数列｛《,｝的前30项中奇数项的和为A,偶数项的和为8,且

3-A=45,2A=8+615,则牝=（）

A.3〃一2B.3〃-1C.3〃+1D.3/?+2

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为"，首项为6,

则至,所以4=3,

因为2A=4+615,即同］，则I臼I，

等差数列的奇数项是以卬为首项，0为公差的等差数列，等差数列｛4｝的前30项中奇数项有15项，所以

,得q=2,

所以区|

故选:B

【例6-3］（2023•陕西榆林）已知等差数列｛凡｝的项数为2〃?+1（〃?€用）,其中奇数项之和为140,偶数项之和

为120,则，〃=（）

A.6B.7C.12D.13

【答案】A

【解析】项数为百」的｛%｝中奇数项共有叵二|项，

其和为回

项数为可D的｛为｝中偶数项共不增员，其和为0

所以0解得回~1

故选:A.

【例6-4】（2023•上海徐汇）设等差数列的项数〃为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（）

nnInn-1

【答案】D

故选：D

【变式】

1.（2023广西）已知等差数列｛4｝共有10项，其偶数项之和为20,奇数项之和为5,则该数列的公差为（）.

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【解析】6+/+&+/+/=5,«2+«4+«s4-6/10=20,54=15,d=3.故选：D.

2.（2023•江苏无锡）等差数列共有2〃+1项，所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则〃等于（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】SS◎皎=^+。3+一，+42"1=132,54行32+。4+•+。2“=120,

05rS的贫=。2”+1-〃d=。”+|=12,

(2〃+1)(4+%)

回S2C+*S方舒S内折252==(2n+1)an+l=12(2n+1)n=10.故选：C.

2

3.（20223•安徽宣城）己知等差数列｛q｝共有2〃（〃cN*）项，若数列｛4｝中奇数项的和为190,偶数项的和

为210,%=1,则公差d的值为（）

55

A.2B.4D.-

.42

【答案】A

【解析】由题意s，0

所以，回

叵

所以，I臼HI臼I：

故选:A.

4.（2023•浙江宁波）已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300,则偶数项之和为（）

A.300B.298C.296D.294

【答案】D

【解析】由题意得：国

乂囱.故选：D.

5.（2023•陕西西安）等差数列｛4｝共2〃+1个项，且奇数项和为165,偶数项和为150,则〃=（）

A.10B.13C.11D.22

【答案】A

【解析】等差数列｛/｝共2〃+1个项，其中奇数项仃目个，偶数项有〃个,

设等差数列｛4｝的公差为小

奇数项和

偶数项和

①-②，则国.故选：A

考点七等差数列的最值问题

【例7・1】（2023•安徽）（多选）已知数列｛《,｝的前〃项和为S“=〃2-9〃，则下列说法正确的是（）

A.%=-8B.数列｛凡｝是递增数列

C.数列｛£｝的最小项为Sg和兀D.满足S“<0的最大正整数〃=8

【答案】ABD

【解析】<S.=，，-9〃/.当〃=1时，应

当引时，0

TH一卜•「冈1・

囚1.数列｛&｝是递增数歹U,故选项A、B正确;

.・・当〃=4或〃=5时S”最小，即数列｛，｝的最小项为邑和故选项C错误，

令臬<0,得0<"9,〃eN,，却满足S.<（）的最大正整数〃=8,故选项D正确.

故选:ABD

【例7・2】（2023•河北石家庄）（多选〉设｛%｝是等差数列，S”是其间〃项的和，.且55<邑，56-%>58则下

列结论正确的是（）

A.，<0B.%=0C.59>S5D.S（,与S?均为S”的最大值

【答案】ABD

【解析】根据题意，设等差数列｛凡｝的公差为"，

因为S5VsQEaS®,可得4=S6-S5>0M=S7—S6=0,4=S8-S7<0,

对于A中，由d=%-《<0，所以A正确；

对于B中，由弓=S7-S6=。，所以B正确：

对于C中，由§9一邑=。6+。7+/+«9=2（。7+。8）<0，所以SgVSs，所以C不正确：

对于D中，由d<0,可得数列｛4｝为递减数列，且％=0,所以I区T，

所以$6和邑均为S”的最大值，所以D正确.

故选：ABD.

【变式】

1.（2023秋•安徽黄山）（多选）数列口｝的通项公式为。”=22-2〃，其前〃项和为S”，则使S“最大的〃的

取值可以是（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】BC

【解析】令晌|，则字;旦|因M故।臼、附回"I恒成立,

所以使s“最大的〃的取值为10或11.

故选:BC

•江苏扬州）（多选）设｛如是公差为的等差数列，是其前〃项的和，且％则（）

2.（2023dS”<0,54=58,

A.d<0B.Sn>S6C.4=°D.SJ2=0

由回，开口向上且对称轴为凶

所以S,NS6,冈BsD对.

故选:BD

3.（2023・四川达州）（多选）已知等差数列｛%｝是递减数列，且满足%=36,｛q｝的前〃项和为S”，下列选

项中正确的是（）

A.q>0B.当〃=5时，S”最大

C.S5>S6D.Sx>0

【答案】AC

【解析】由题意等差数列｛叫是递减数列，且满足向一卜所以国，

从而因，故A正确；而冈所以当且仅当〃=4或®3时，S“最大，故

B错误；

由B选项分析可知|因故C正确：因为凶，故D错误.

故选：AC.

4.（2023•陕西西安）（多选）已知等差数列｛4｝,其前〃项和为5,,,若几>0,4+%<。，则下列结论正

确的是（）

A.%<0

B.当"=8时，■最大

C.使5”>。时，〃的最大值为16

D.使5“>0时，〃的最大值为15

【答案】ABD

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A,等差数列｛q｝中，若几>°，

即区，即|臼:，

又由。8+%<°，则％<0，A正确；

对于B,由于叵三]而为<。，则当〃=8时，S”最大，B正确；

对于C和D,1>0,而H,

故使工>。时，〃的最大值为15,D正确.

故选:ABD.

考点八含有绝对值的等差数列求和

【例8】（2023春・湖南衡阳）数列｛q｝中，4=31,'*=4-2,

⑴求数列｛4｝的通项公式及前〃项和S.；

（2）求数列｛同｝的前〃项和7；.

【答案】⑴为=33—2"，工=32〃-/

『32〃一〃2n<\6

⑵7=4

"[512-32〃+〃2,〃>16

【解析】（1）因为%+I=勺-2,即〃向一/=-2,所以数列｛q｝是等差数列，

所以4=31+（〃-1）x（—2）=33-2〃，S“=31+33_2〃X〃=32/"

(2)令/>。得〃KI6,(=同+同++㈤；

2

当“K16时，£=同+同++同=4+%++all=Slt=32n-n；

当”>16时，Tn=«14--«+t716-^7-一q=S]6-(S〃一S16)

=2S|6-Sa=512-32〃+"2.

32〃-忧/:<16

综上可得，

512-32〃+后〃>16

【变式】

1.12023•天津和平）已知等差数列｛q｝的前〃项和为S”，且$=35,〃必=45.

⑴求数列｛可｝的通项公式；

(2)记。=|4|,求数列｛2｝的前〃项和T„.

【答案】⑴，”=13-2〃

\2n-n2,n<6

"一一⑵+72,〃>6

【解析】(1)设数列｛4｝的公差为"，由57=35,%%=45,

7<7.+2U=35[a,=11,.

得(+d)(q+3d)=45,解得日=_2,•.4="+(〃—x)《z2)—

(2)由=13-2/?>0,得n<—当n<6时，>0,

此时Tfl=同+同++㈤=q+/+,+4="(11+；2")=]2/i-

当n>6时，4“<。，

此时(=同+同++同=4+%++/_(勺+4+・・+4)

=2(4+%+・,+4)-(％+%+…+4+%+-+%)

=2x(12x6-62)-(12/?-/72)=n2-12«+72,

所以小八⑵+72,〃>6

2.（2023•江苏常州）已知等差数列｛4），%=4,%=1。

⑴求数列｛4｝的通项公式句;

⑵设2=|9-q|,求数列也｝的前〃项和小

【答案】⑴/=2〃

（2）囚

【解析】（1）设公差为"，则0,

故I区］

⑵向….…一一，

当I回一-1时,I区I回十

当目时，I冈过，

故当I臼I时,s，

当寻时，|0,

综L区

3.（2023上•辽宁丹东•高三校联考阶段练习）已知等差数列｛《,｝的公差为整数，%=9,设其前〃项和为S“,

且岛是公差为3勺等差数列.

⑴求数列｛〃“｝的通项公式；

（2）若勿=*-60,求数列帆｝的前〃项和却

［答案］（"冈……|

2

55n-4ntn<7

-4〃2-55〃+378,〃N8

【解析】（i）设｛《J的公差为"，依题意得H

所以0，即I区］

，解得同或回（舍去），

化简得S

所以因经检验满足题意.

（2）依题意得，回，La

其前〃项和a

当B],1冈I，

■0

当〃28时，|可二8〃-59,

故]=一佃+4+.......+4)+4+4+.......a

=-2(伪+力,++Z?7+Zz,++b“)

22

=-2H7+=-2(4x7-55x7)+4/2-55〃

=4n2-55/z+378

55〃-4〃2,〃47

所以（=

4/J-55〃+378,>8

考点九等差数列的证明与判断

【例9-1］（2023•黑龙江哈尔滨）已知数列｛q｝中，4=3,%=2--—（/?>2.«eN,）,求证：数歹।卜