2024年新高考地区数学地市选填压轴题好题汇编（二十四）（解析版）

2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（二十四）

一、单选题

1.（2024.广东.一模）已知集合同=1-；,-；,；,；,2,3卜若且互不相等，则使得指数函数

,对数函数），=log,x,哥函数），=一中至少有两个函数在（0,+8）上单调递增的有序数对5也c）的个

数是（）

A.16B.24C.32D.48

【答案】B

【解析】若y="和），=1%工在（0,内）上单调递增，），=x，在（0,+8）上单调递减，

则有A，C；=4个;

若y="和），=/在（0,”）上单调递增，y=log,x在（0,+<»）上单调递减,

则有C；•C♦（3；=8个;

若y=log,x和y=xc在（0,+oo）上单调递增，y=/在（0,”）上单调递减,

则有C；C；C=8个;

若？="、y=logE和尸/在（0,+⑹上单调递增，则有A，C；=4个;

综上所述：共有4+8+8+4=24个.

故选：B.

2.（2024・广东江门•一模）物理学家本・福特提出的定律：在〃进制的大量随机数据中，以“开头的数出现

的概率为乙（〃）=1/〃子.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若

之匕）（〃）=普冬（我N）则上的值为（）

v

念l+log25

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

80AilX：4-2211

【解析】Z^oW^o»^o（^l）+-^o（8O）=lg—+lg—++喘=底,

lg8l41g3

Iog81lg421g2....

而riJ4<=一3=-^-=2lg3=lgo9,故&=9.

l+^g25J空［+姮

lg2Ig2

故选：C.

3.（2024.广东.模拟预测）在正三棱锥A-BCD中，△8CQ的边长为6,侧棱长为8,E是48的中点，则

异面直线C£与8。所成角的余弦值为（）

A3后小例「2V17V17

A•--------o•------L•

68341734

【答案】A

【解析】依题意，记8c的中点为尸，连接。尸,记正△8CO的中心为。，连接AO,

因为在正三棱锥A-4C。中，AO_L底面BC。,

在正△BCD中，DF工BC,在平面3c。中过z轴_L底面BCD，则AOHz轴，

以r点为原点，建立空间直角坐标系，如图，

因为在正三棱锥A-8CD中，的边长为6,侧棱长为8,

所以/»=立8=立乂6=3百，

22

2

则。。=20尸=4。〃=275，AO=JAD，-OD2=J64-12=2万,

故6（-3,0,0）,（7（3,0,0）,0（0,3"0）,0仙6,0）,4位,6,2炳），

则E1半点，CE=",东向BD=（3,3>/3,0）,

CEBD3x/34

cosCE,BD=

所以\CE\\BD68，

+13x79+27

则异面直线CE与80所成角的余弦值为组.

68

故选:A.

4.（2024・天津滨海新•一模）已知抛物线G：y2=2〃*〃>0）的焦点为尸，准线与x轴的交点为后线段

“被双曲线G丁4=叱°八。）顶点三等分'且两曲线c，a的交点连线过曲线c的焦点八则

双曲线的离心率为（）

「vri

A.近L■-----。・警

B普3

【答案】D

【解析】求得抛物线的焦点和准线，可得石厂的长度，由题意可得〃=6”，求出两曲线交点坐标，代入双

曲线方程可得a,b的关系，利用离心率公式可求得结果.抛物线V=2px的焦点为尸喙0）,准线方程为

x=-§,E(-g。),

\EF\=pt

因为线段4'被双曲线£：，*1（。＞。，〃＞。）顶点三等分，所以2a=g即〃=6”,

因为两曲线C-C2的交点连线过曲线G的焦点凡所以两个交点为名,〃）、（§-〃），

将(4,〃)代入双曲线—-yy—1得-，2-与"-1,

2crb“4a“b~

叱e36片36a2,g、i-36/,^b'9

所以一；-------=1.所以9———=1,所以|4|r二一,

4/h2b,(T2

所以双曲线。2的离心率e=£

a

故选:D

5.（2024.湖南.二模）已知函数/（6=sin（s）+Gcos（s）,若沿工轴方向平移/（戈）的图象，总能保证平

移后的曲线与直线y=l在区间［0,山上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数。的取值范围为

)

A.B.C.D.[2,4)

【答案】A

71

【解析】由f（r）=sin（〃）T）+小（大①力可得：/（x）=2sin<yx+—

3

若沿x轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数网力=斓1（5+夕）.

令g(x)=l，即sin®x+e)=5，.re[O,7t],取z=<wx+。，则/版加+村.

依题意知，sinz=；在6〃加+向上至少有2解，至多有3解,

则须使区间“，即+］的长度在兀到,之间，即兀碗〈春Q

0224，解得2V@＜鼻.

故选：A.

6.(2024•湖南•二模)过点P(TO)的动直线与圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)交于A8两点：在线段AB

।j2

上取一点Q,使得国［+画［=忸@，已知线段|00的最小值为灰，则。的值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】圆心。侬2),半径为2,则圆C与“轴相切,设切点为M®。)，

则|PM|=a+1,则1PM|2=|E4||PB|=(a+1)2,

设A8的中点为。，连接CO，则C。_LA3,

令圆心C到直线A3的距离为d,则0Wd<2,|尸4|+|2例=|2。|-|4)|+|2。|+|40=2|2。|,

112八“1_2|PA||P4|_(〃+1)2_(〃+1)2

山网+网=西’得I2尸照+|叫="C|2_1=&+1)2+4-心，

(。+1/Ind(。+1)2II-

因此标R中小标FKT而园的最小值为反

所以N=—=J2，则。=1.

J(a+l)-+4

7.(2024.高三.浙江宁波.阶段练习)如图1.水平放置的直三棱柱容器ABC-ABC中，AC1AR.

AB=AC=2,现往内灌进一些水，水深为2.将容器底面的一边A8固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜

到某一位置时，水面形状恰好为三角形ABC,如图2,则容器的高〃为()

Cl

图1图2

A.3B.4C.4夜D.6

【答案】A

【解析】在图1中水的体积V=gx2x2x2=4,

1114

在图2中水的体积”展.的「@柿G=^2X2X人工，

4

所以一力=4n力=3.

3

故选：A

8.（2024.江西・高考真题）已知匕、K是椭圆的两个焦点，满足峥•摩=0的点M总在椭I用内部，则椭

圆离心率的取值范围是

A.（0,1）B.

【答案】C

【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为“Ac.因为M£-M5=0所以点M的轨迹为以原点为圆

心，半径为。的圆.与因为点M在椭圆的内部，所以所以MV〃2=/-C2,所以

2c2<a2：.e2,所以ee（0,4）,故选C.

22

9.（2024・高二・湖北鄂州•阶段练习）已知双曲线，-*=1（4>0,。>0）的焦距为2c,过右焦点且垂直于x

轴的直线与双曲线交于A,△两点设A.△到双曲线的同一条渐近线的距离分别为4和4,且囿-&|«C,

则双曲线的离心率的取值范围为

()

A.

【答案】C

【解析】由题意可知，直线4B经过双曲线的右焦点，且垂直于x轴，不妨设A（c、,y。），

代入椭圆方程4-其=1，又02=1+从，所以=必，

a~b~a

所以吟[8f任取双曲线的一条渐近线为直线法+缈=0,

由点到直线的距阕公式可得点A到渐近级的距离4=卜,"1=竺女

点6到渐近线的距离&J。一"L上斗

所以|4一4|=_加个=今=^_,因为|4一出|<。，

所以手WC,因C>0,所以乃*。2,即2k2一。2）（/,

所以c242a2,所以二W2,

a-

因为双曲线离心率£>i,所以i<£w&,

aa

所以双曲线的离心率的取值范围为（1,垃].

故选:C.

10.（2024•高一•广东深圳•期末）已知抛物线C:y'=2px（〃>o）的焦点为“，斜率为k的直线/经过点”，

并且与抛物线C交于44两点，与y轴交于点M,与抛物线的准线交于点N,若AF=2MN，则攵=（）

A.75B.V2c.±V2D.士退

【答案】D

【解析】当A在第一象限时，

设注线与方轴的交点为尸，过A作准线的垂线，垂足为4,

因为OM〃尸N,且。为P尸的中点，

所以OM为三角形PFN的中位线，即归M|=|MV|,

所以A*=2MN=FN，又根据抛物线的定义卜可=|44],

所以14vl=2|A耳=2|A4],

所以在直角二角形AA'N中，Z4zAV=6（T,

所以乙4&=60,此时k=J5,

根据对称性，当A在第四象限时，k=$

11.（2024・湖北•一模）设直线/：x+y-l=0,一束光线从原点。出发沿射线y=6（x20）向直线/射出,

经/反射后与大轴交于点再次经x轴反射后与〉轴交于点N.若MN=叵,则攵的值为（）

6

A.-B.-C.~D.2

232

【答案】B

【解析】如图，设点O关于直线/的对称点为A（x，y）,

A+A_I=0

22》

则得，

U,i=1

Ax(-i)=-i

,xi

由题意知）=日（1之0）与直线/不平行，故女工-1,

1

即'J____0

由,得"1,p

k1&+i4+1,

y=----

-k+\

1

故直线"的斜率为kAf,="一

I

--------1

k+\

直线AP的直线方程为：y-l=1（A-l）,

K

令5=0得x=l-3故加（1一队0）,

令X=（）得），=1-!，故由对称性可得1，

kIk）

叫MN卜姮得（一）2+1.（立即（人口12仙生旦

6\A36、k）、k）36

解得&+:1=；13，得&=2三或&=3'

k632

若心■!，则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件.

故V,

故选：B

12.（2024・湖北•二模）能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）

A2x/6口#r25/3八MJ

32332

【答案】C

【解析】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情

况，

设三个半径为1的圆的圆心分别为4,。2,0”设被覆盖的圆的圆心为0,如图，

设圆。1与02交于A,B,。。交于H,AB交圆Q于C，显然。为正、。1。2。3的中心,

设oq=oo2=oq=x,则(4”=等,。〃=]

OA=OH+HA=|+^l-(y-x)2=1(x+V4-3x2)，又℃=。。.+℃='+!>OA，

II-----x/4-^r2一3r

因此圆。的最大半径为04,令/㈤=：*+»37）,求导得。（x）=7J厂

22V4-3x2

由f'（x）=o,得户立，当0＜x＜J时，八x）＞0,当且＜1＜亚时,ruxo,

3333

因此/（外在（0当上单调递增，在哼手）上单调递减，/（%=娉）=咨

所以被完全覆盖的最大的圆的半径为亚，

3

此时，3=。2。3=。3旦=1，即圆。1、圆。2、圆Q中的任一圆均经过另外两圆的圆心.

故选：c

13.(2024.高三•浙江嘉兴.期末)已知正实数，，4c满足/-〃=21nf>0,7'-2〃=(〃+4)'，则()

b

A.0<c<b<\<aB.0<b<c<\<a

C.0<c<b<a<]D.0<ZJ<C<6/<1

【答案】A

【解析】因由lnf>0可得：则

bb

由/-8=21n：化简得：a2-2\na=b-2\nb,分别设函数/(x)=f-21nx,g(x)=x-2lnx,

b

由f，(x)=2(fl),。>0),则当0cv]时,/V)<0,当x>l时，/V)>0,

X

则f⑴在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增,故/("1nm=〃1)=1.

又g[x)=三心,(”>0)，则当0cx<2时,gXx)<0,当X>2时,g'(x)>0,

X

则雇工)在(0,2)上递减;在(2,+。)上递增,故g(x"产g(2)=2-2加2.

由f(x)—g(x)=f-x=x(x-l),则0<x<l时，/(x)vg(x);x=l时，f(/)=g(x)；x〉l时，

f(x)>g(x).函数/(力与g(x)的图象如图.

令"a)=/())=z.由于则\<a,排除C,D：

由于a>l,7'一2'=（a+4）'>5"则

•'

令（|J,其在R上单调递增.由于0<。<1,则0=/?（0）</?（〃）</瑁）=1,

则有夕/<1，即C-b<0得

综上，0<c<b<i<a.

故选:A.

14.（2024•高二•北京西城•期末）在直角坐标系xO），内，圆。:（工一2尸+（），-2）2=1,若直线/:x+y+m=0

绕原点。顺时针旋转90后与圆C存在公共点，则实数机的取值范围是（）

A.[-忘，忘]B.[-4-72,-4+72]

C.[-2-V2,-2+x/2]D.[-2+及,2+0]

【答案】A

【解析】连接OP，设NPOx=e（即以X轴正方向为始边，OP为终边的角），

由题意对于直线l：x+y+m=0上任意一点P（x,y）,存在a=Qf+y=OwR，使得P（acose,asin0）,

则直线/：x+y+m=0绕原点。顺时针旋转90后，点P（acose,〃sin。）对应点为

71

qacos即q(asine,-acos。)，

2

因为P(acos6Msin。)在直线/:X+/+=0上,所以满足acose+asin8+m=0

设再=asin％=-acos0,所以-y+芭+机=0,

即[（asin，,-48S6）所在直线方程为4:x-），+〃?=（）,

而圆C:（x-2）2+（y-2）2=1的圆心，半径分别为（2,2）,r=l,

若直线/：x+），+机=0绕原点。顺时针旋转90后与圆C存在公共点，

所以圆心C（2,2）到直线/,:x-y+m=0的距离d=裳4r=1,解得一出《m<夜.

故选:A.

15.（2024.山东青岛.一模）已知4-2,0）,3（2,0）,设点。是圆/+/]上的点，若动点Q满足:

QPPB=0,8T翁篇,则。的轨迹方程为（)

22222

AA.X2--=,1rB».-X--y*2=1,C.—X"+y2=1,D.—X+—V=1.

33.562

【答案】A

圆/+)，2=1,圆心为原点O,半径/=1,

连接AQ,延长8尸交AQ于点C,连接OP,

因为NPQ8=NPQC|=LPQ_L5C,所以QB=QC,且P为8C中点，。尸|4C,OP=^AC

因此，|例一|。即=|。4|—|霓=|4。=2|0日=2,

点。在以A山为焦点的双曲线上，设双曲线方程为

可知C=2"/+Z?=c?=4,由%二|04|-同目=2,得a=l,故6=3,

双曲线方程为f一亡=1.

3

故选：A.

16.(2024•山东青岛•一模)VxeR,fW+/(x+3)=1-+3),/(T)=0,则”2024)的值为()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【解析】由题意知WxeR,fW+fix+3)=1-f(x)f(x+3),/(-1)=(),

令户—1,则/(T)+/(2)=1-fWf3=1

显然=时'T+/(x+3)=l+/(x+3)不成立，故八幻~1,

,I-/U)

1--------------------

故山+3)=出，则…==

\+f（.x）

即6为函数八幻的周期，

贝iJf(2024)=/(337x6+2)=/(2)=l,

故选：B

17.(2024•山东聊城•一模)已知P是圆C:,d+y2=i外的动点，过点。作圆。的两条切线，设两切点分别为

A,B,当?的值最小时，点尸到圆心C的距离为（）

A.</2B.</zC.&D.2

【答案】A

【解析】设P（x,y）,则|。修=历了，

则PAPB=（PO+O4）（PO+O8）=|PO1+PO（OA+OB）+O/VOB,

0408=|•|OqcosNAOB=cos/AOB=cos2ZPOA=2cos2NPOA-1

|0P「炉+产

P0OA=PO-OB=\PO\\OA|COS（180°-ZPOA）=-|PO||O/\|COSZPOA

故PA.尸6=./+>2—2+、2、-122」(丁+)，2)(,2、］-3=2五一3,

JT+y「7J

当且仅当f+)J=F-,即V+y2=应时，等号成立，

x+y7

故当PAPB的值最小时，点尸到圆心C的距离为啦.

故选:A.

18.(2024•山东聊城•一模)在三棱柱A8C・AMG中，点。在楂8片上，且△A£)G所在的平面将三棱柱

ABC-AMG分割成体积相等的两部分，点M在棱AG上，且AM=2MG，点N在直线3用上，若MN〃平

面AQG，则第=()

/Vo,

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】如图，连接A%，则匕TAG二3匕父-A81cl»

又丛DC所在的平面将三棱柱ABC-A&G分割成体积相等的两部分，

所以匕-QB1G=/匕BC-AB1G匕BC-ABjG=%匕8。-人“»

即匕-f>SG=耳匕-48£，

即％,阳-“4，设到平面A8与A的距离为d,

则%-4鸠=3S'RD凤."，%-M用

所以S"邛=gs八四，所以。为的中点，

在A4上取点E，使得AE=2AE,连接硒、EM，

因为AM=2MG，所以EM〃4G，又EMQ平面ADC「AQu平面AZ)C，

所以EM〃平面AOG，

又MN〃平面4QG，EMcMN=M,EM,MNu平面EMN,

所以平面EMM/平面A/)G，

又平面EMNQ平面A叫％=EN,平面ADC】c平面ABB}A.=AD,

所以AD//EN,又AEHND,所以四边形A£WE为平行四边形，

所以N£>=人石=工八4所以6N=B1D-ND=工BB]-LBB]

33236

所以处=6

1NB、

故选：D

19.（2024•山东烟台一模）在平面直角坐标系xQy中，点A（-l,0）,8（2,3）,向量=+〃OB，且

〃?一〃一4=0.若P为椭圆/+,=］上一点，则附|的最小值为（）

J__O

A.-VioB.MC.-VioD.2M

55

【答案】A

【解析】设点。（乂》）,由4（T,0）,B（2,3）及oc=〃［04+〃o/?,得（x,），）=（—〃?+2〃,3〃），

x=-m+2,2

即＜而〃2—〃-4=0,'肖去"?，〃得：3x-j+12=0,

y=3n

设椭圆炉+2_=1上的点P(cosa4sin6),夕wR,

八八八,|3cose-4sin6+l2|l2-4sin(O+Q)3

则点P到直线3x-)，+12=。的距离"='-----产------——1=-----其中锐角。由［ane=正确

定，

当sin（e+0）=i时，所，而|PC|24,所以|尸cj的最小值为:国.

故选：A

20.（2024・山东济宁•一模）已知双曲线力＞0）的左、右焦点分别为《，鸟，过片的直线

artr

与）'轴相交于“点，与双曲线C在第一象限的交点为〃，若F1M=2MP,£尸-6尸=0,则双曲线C的离

心率为（）

A.V2B.C.地D.75+1

2

【答案】D

【解析】

设NP片鸟=e,e为锐角,

因为片M=2M0,F\PF?P=Q,所以|P用=飘耳|,

33r

•.•|明='”用对小f又小—in。,

cos。

：.\PFtf+\PF2f^FlF2ft

9c,+4c°sin2。=4c2,

4cos-0

:.9+16siir<9cos;=16cos?0,

二9+16(1-cos2e)cos?3=16cos20,

.•.9—16COS40=0,

.•.cos2^=^,/.cos<9=—(负值舍去)，「.。二、)。，

42

3Vr-

.•・I明1=1|MF.|==辰，|P玛|=2csin。=c,

・••双曲线。的离心率八条滞法=高=即.

故选：D.

21.(2024・山东济宁•一模)设函数/(x)定义域为R,7(2x-l)为奇函数，2)为偶函数，当xe[0,l]

时，/U)=x2-1,贝1/(2023)—/：2。24)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】因为函数/(X)定义域为R,42"-1)为奇函数,所以/(2.r—l)=-/(-2.r-l),所以函数因”)关于点

(—1,0)中心对称，且〃-1)=0,

因为/5-2)为偶函数，所以/。-2)=/(-4-2),所以函数/3关于直线x=—2轴对称，

又因为/(x)=—/(-2—x)=—/(-2+x)=-[-f(-4+x)],所以函数/⑶的周期为4,

因为当XG[0,1]时，〃为="：

所以/(2023)=/(4x506—l)=/(—l)=0,/(2024)=/(4x5()6)=/(0)=-1,

所以f(2023)-/(2024)=l.

故选：C.

22.(2024•山东淄博•一模)已知耳，人是椭圆和双曲线的公共焦点，P,Q是它们的两个公共点，且P,

22

Q关于原点对称，/尸居Q=?2乃，若椭圆的离心率为6,双曲线的离心率为贝Ue-+3总e的最小值

3e；+l优+3

是()

A2+百口1+6r2&n46

3333

【答案】A

【解析】如图，设椭圆的长半轴长为q,双曲线的实半轴长为由,

则根据椭圆及双曲线的定义得:俨口+俨闾=%,伊可|一|%1二%，

Cirrid_____2兀

|W户4+%|K|=4一％，设内伺=2c,NV/Q=彳,

根据椭圆与双曲线的对称性知四边形MQ鸟为平行四边形,则/月夕行=冷，

则在△尸耳乃中，由余弦定理得，4o2=(%+%)2+m一生)2-2(《+生)(4一%)。呜，

J

彳七简得+3〃；=4c*,即!+W=4,

e\e2

\

tlIe；3e；1313f1,3

则否+=T一+F一=n一+飞——+i+--+1X-

q+1-+31+13+1_L+13+1164)6

eie2\e\e2)

4+1+4+,+

=-x4+-^——+—^---->-x4+2——x—----

6-+1-+,6\—+1—+1

=，X(4+2@=^L

加TP1

111

当且仅当《6时等号成立，

13〃324+9石,

—+—=4-8-3x/3-37>

＜纥

故选：A.

23.(2024•广东茂名•一模)若仪€但,当，6tan住+a]+4cos住-a)=5cos2a,则sin2a=()

(44)14JU)

24c12厂7r1

A.—B.—C.—D.一

2525255

【答案】C

【解析】令l=；+a,/e偿"得a=f-;，则6tanf+4coscT)=5COS(2'—/，

即6tanr+4sinr=5sin2/=10sinroosr,整理得(5ssf+3)(cos/-l)=0,Ji.cosr<0,

3(兀、7

那么cosf=一二，则sin2a=sin2z——=-cos2r=1-2cos21=—.

5\2J25

故选:C.

二、多选题

24.(2024•广东江门•一模)已知曲线上：山+业1=1,则下列结论正确的是()

48

A.>随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为[-2,2]

C.曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第二象限

D.〃(勺，九)是曲线E上任意一点，则|&与+为|的取值范围为(0,4]

【答案】AD

【解析】因为曲线£型+则=1,

48

当“20,)，之0时4+[=1,则曲线后为椭圆鸟+：=]的一部分：

4848

当x>0,〉，<。时工-工=1,则曲线E为双曲线三-上=1的一部分，

4848

且双曲线的渐近线为)，=±&x；

2222

当“<0,y>0时上一上二1,则曲线E为双曲线工一上二1的一部分，

8484

且双曲线的渐近线为)，=±后；

可得曲线的图形如下所示:

由图可知y随着x增大而减小，故A正确；

曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误；

因为-所以曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第四象限，故C错误;

因为I昌+%卜岳暮J，即点加（%%）到直线V2x+j=0的距离的&倍，

22

当直线&x+y+c=0与曲线?+1_=1（工20.），20）相切时,

xy,

---1---=1-

由，48,消去丁整理得4/+2夜CX+C2-8=0,

y/2x+y+c=0

贝必=（2"?）--16卜2-8）=0,解得c=4（舍去）或。=4

_H_4

又丘x+y=0与V2x+.y-4=0的距离一J（&）2+F-G，

所以2％=岛=4,

Iimax

所以卜怎。+为|的取值范围为（0,4],故D正确;

故选：AD

25.（2024.广东江门.一模）已知函数/"）=sin2s，+三卜皿（2公r-gJTj+25/3cos26yx-\/3（＜y＞（））,则下

3

列结论正确的是（）

A.若/（%）相邻两条对称轴的距离为（则/=2

B.当3=1,XE0,-j时，/（4）的值域为[-6,2]

C.当3=1时，的图象向左平移9个单位长度得到函数解析式为）'=2cos2x+g

6616

D.若/(x)在区间上有且仅有两个零点，则5«。＜8

O

【答案】BCD

【解析】/(-v)=sin2@x+])+sin(25-')+2Gcos%x-5/5

=sin2公vcos—+cos2^xsin—+sin2@xcos--cos2ssin—+x/3cos2cox

3333

z\

=$in2〃)x+\Aco*2〃)x=2sin2〃)x+一,

I3j

对于A,若/(x)相邻两条对称轴的距离为(贝底=2、5二兀=葛,故。=1,A错误，

对于B,当＜y=l,f(x)=2sin(2.r+g,当XG0弓时，2x+ge，

则f(x)的值域为[-6,2],B正确，

对于C,当3=1,f(x)=2sin(2.r+1),

/(X)的图象向左平移夕个单位长度得到函数解析式为

0

fx+—=2sin2^x+—1+—=2sin2x+—1=2cosf2x+—1,C正确，

I6JVV673J\3)\6)

对于D,当xe。，^时，+?，

.6」3|_363_

若f(x)在区间上有且仅有两个零点，则27rW23?+gv3兀，解得5工。＜8,故D正确，

_6」63

故选：BCD

26.(2024・广东•一模)已知正方体ABC。-A4GA的各个顶点都在表面积为3兀的球面上，点P为该球面

上的任意一点，则下列结论正确的是()

A.有无数个点P,使得AP//平面跳町

B.有无数个点尸，使得AP二平面8。&

C.若点Pw平面BCC£,则四棱锥P-A8C。的体积的最大值为巫里

6

D.若点PG平面BCCe,则AP+PG的最大值为指

【答案】ACD

【解析】令正方体ABCO-A/CA的外接球半径为「，4口2=加，，.=正，则648=1,

连接由四边形ABGA是该正方体的对角面，得四边形A8G"是矩形，

即有ADJ/8G，而BQu平面BZ)G，ARu平面BDC「则4DJ/平面8。6，

同理〃平面BDC,,又PIAD,=4,AB,,ARu平面ABR,

因此平面ABQ//平面B/)G，令平面"R板球面所得截面小圆为圆M,

对圆M上任意一点(除点A外)二匀有AP〃平面BDC1,A正确；

对「B,过A勺平面8OG垂直的直线AP仅有一条，这样的P点至多一个，B错误；

对于C,平面3CCM截球面为圆心圆尺的半径为YZ,则圆k上的点到底面48co的距离的最大值为正巴,

22

因此四棱锥P-A8CD的体积的最大值为匕1、巫巴=叵1,C正确：

326

对于D,显然相/平面BCC4,在平面BCG与内建立平面直角坐标系,如图，

八

g.X-,

B、/

令点P(当cos6,占sin6),而4(一;，-g),C](g,g),

因此AP=Jl+(¥cos〃+；)2+(4sind+g)2=^2+y^(sin6>+cos6>)，

PC=cos夕-g)?+G^sin®-g)2=(sin0+cos0)»令^^(si

Xn0+cos0)=x,

4尸+PG=12+x+Jl—x=J(j2+x+Jl—x)~4J2(J2+X)+[J1—x)=瓜,当且仅当x=-g取等号,

此时当sin0+cos0）=-；,即sin（O+：）=T因此”+蛆的最大值为好D正确.

故选：ACD

27.（2024・广东•一模）已知偶函数〃幻的定义域为R,为奇函数，且/（幻在［。』上单调递增，

则下列结论正确的是（）

A.B,僧＞°C./（3）＜0D.［竿）＞。

【答案】BD

【解析】因为/（x）为偶函数，所以f（r）=f（x）;

因为是R上的奇函数，所以"1）=0,

且半）的图象是由/（］）的图象向左平移2个单位得到的，所以的图象关于（2，0）点对称，进一

步得〃力的图象美于点（1,0）中心对称，即/。1）=/（IX）.

所以/5+2）=/（1+（1+力）=一〃1一（1+切=一/（一力=一""，所以/。+4）=-〃x+2）=/（x）.所以函数

〃力是周期函数，且周期为4;

又f（x）在［0』上单调递增，所以在［0』上，有/（力＜0.

由图可知：/1|）＞。,故A错;/图故B对；43）=0,故C错；

等）=/（674+|）=/（4X168+2+?=/（2+|）＞0,故D对.

故选：BD

28.（2024・广东•模拟预测）已知函数/（力的定义域为R/（x-l）是奇函数，/（1+1）为偶函数，当

*1_1

f（x）=-——则（）

''，3'+1

A./(r)的图象关于直线工=1对称B.7")的图象关于点(TO)对称

c./(x+6)=/(x)D.〃2021)二七

【答案】ABD

【解析】设g(x)=f(%T),因为g(%)是奇函数,

所以匕(一丫)=/(-x-l)=-g(x)=-/(x-l),即/(-l+.r)+/(-l-.r)=O,

即f(x)关于(TO)对称,B正确;

设力(x)=/(x+l),因为为偶函数，所以九(一力=为(力,

g|J/(-x+l)=/(x+l),/(l+x)=/(l-x),所以“X)的关于直线X=1对称,

A正确；

由f(x)关于(-1,0)对称可得〃X)+/(-27)=0,由/(力的关于直线x=l对称，

可得〃力="27),两式联立得f(2-x)+f(-2r)=o,令x=x+2得:

/(-x)+/(-4-x)=0,即f(x)+f(%-4)=0,令x=x-4,

得f(I)+f(x-8)=0,即f(%)=f(x-8),故/(%)的周期为8,

故"x+8)=/(x),C错误；

因为7=8,所以〃202l)=/(252x8+5)=/(5)=/(—3),

又“-l+x)+〃—1—力=0,令x=—2得/(—3)+〃1)=0,

〃1)=会•=(,所