福建省六校(福清第三中学等)2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷(解析)

高中数学精编资源-2023学年第二学期高一年段期中六校联考数学试卷（完卷时间：120分钟满分：150分）班级__________座号_____________姓名__________________第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解绝对值不等式、指数不等式求集合，再应用交运算求集合即可.【详解】由题设，，所以.故选：C2.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简复数，根据复数定义即可得到虚部.【详解】∵，∴复数的虚部为.故选：A．3.已知非零向量满足，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由垂直得到，再设夹角，利用代入计算，结合范围即得结果.【详解】由知，，即，设与的夹角为，则，，所以与的夹角为.故选：C.4.若是第四象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.详解】，因为是第四象限角，所以所以，又因为，故选：D5.四边形为平行四边形，，．若点满足，，则（）A.20 B.16 C.9 D.6【答案】B【解析】【分析】根据向量基本定理将和用和表示出来，再根据向量乘法计算即可.【详解】因为，，所以，，所以.故选：B．6.正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.【详解】由题意可知，正方体的体对角线为外接球的直径，设正方体的棱长为，由题意可得：，则，设外接球半径为，由题意可知：，则，这个球的表面积为：.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查球的表面积公式，正方体外接球半径的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.如图所示，内有一点满足，过点作一直线分别交于点.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角形重心向量表达式，结合共线向量的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以G为的重心，所以，所以且，所以，故选：B8.设函数，则使得的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式判断函数单调性和奇偶性，将外函数大小比较转换为内函数的大小比较，由此得出答案.【详解】函数的定义域为，且所以函数为偶函数，

又因为当时，函数，单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增，

因为偶函数有，

所以由可得，

所以，即，整理得：，

解得：，

所以的取值范围为.

故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知向量，，则正确的是（）A.若，则B.若，则C.若与的夹角为钝角，则D.若向量是与共线的单位向量，则【答案】AB【解析】【分析】根据向量坐标与向量的几何关系求解即可.【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若与的夹角为钝角，则，且与不共线，即，解得，且，故C不正确；对于D，若向量是与共线的单位向量，则，则或，故D不正确.故选：AB.10.下列函数中满足“对任意，都有”的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可知为上的增函数，由函数单调性对选项进行判断即可.【详解】因为“对任意，都有＞0”，所以为上的增函数.对于A：在上为增函数，故A正确;对于B：在上为减函数，故B错误;对于C：对称轴为，开口向上，所以在上为增函数，故C正确;对于D：，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，故D正确.故选：ACD11.下列说法中正确的有（）A.若，则符合条件的有两个B.在中，若，则为等腰三角形C.已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则或D.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限【答案】BD【解析】【分析】根据正弦定理，可判定A错误；根据向量的数量积的运算法则和余弦函数的性质，可判定B正确；根据复数分类和复数的运算法则，可判定C错误，D正确.【详解】对于A中，由正弦定理可得，因为，则符合条件的有1个，所以A错误；对于B中，因为，所以，即，即，所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，所以B正确；对于C中，因为为纯虚数，则，解得，所以C错误；对于D中，复数，所复数对应的点的坐标是在第三象限，所以D正确；故选：BD.12.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C. D.【答案】BD【解析】【分析】作，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标求解即可.【详解】如图，作，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，，，设，则由可得，且，若，则，解得（负值舍去），故，A错误；若，则，，，故B正确；由于，故，故，故C错误；由于而，所以，所以，故D正确，故选：BD第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.当时，不等式恒成立，则实数的最大值是__________．【答案】3【解析】【详解】令，则由题意可知，∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴，从而．故实数的最大值是．故答案为3.点睛：本题考查了函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.14.一个平行于圆锥底面的平面将圆锥分成上下两个部分，若该平面恰好将圆锥的高等分，那么分割后的上下两部分体积比是_____.【答案】【解析】【分析】根据圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为，高为，，，，故答案为：15.已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，则的外接圆的半径为_________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理边角互换与余弦定理化解原式，求解出角A，最后根据正弦定理求出的外接圆的半径.【详解】由正弦定理得，则，所以的外接圆的半径为．故答案为：.16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则__________.【答案】【解析】【分析】根据圆的几何性质，结合正弦型函数的周期公式、代入法进行求解即可.【详解】依题意得，筒车的半径，，因为当，盛水筒M位于点，所以有，因为，所以，故故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数满足，其中为虚数单位.（1）求；（2）若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据共轭复数的定义，结合复数相等的定义进行求解即可；（2）根据平行四边形的性质，结合复数的几何意义进行求解即可.【小问1详解】设，则，故，所以解得：，∴；小问2详解】由（1）得：，因为四边形是复平面内平行四边形所以故点对应的复数为.18.在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点.（1）若为的中点，求的值；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根据平面向量坐标表示公式，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质，结合二次函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】因为M为的中点，所以，因为，，，所以，所以；【小问2详解】由题意可得，因为点是直线上的一个动点，所以，所以，，，所以当时，取得最小值0.19.已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，且________．在以下三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．（若选择多个分别解答，以选择第一个计分.）①函数为偶函数；②；③；（1）求函数的解析式；（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的单调递增区间与最值．【答案】（1）条件选择见解析，（2）答案见解析【解析】【分析】根据题意可知的相邻最大值的距离为，即，由此可得.（1）选①根据三角函数奇偶性求解即可；选②将条件代入解析式即可；选③根据条件可知的最大值，代入解析式即可.（2）由（1）可得解析式，根据函数平移即可得的解析式，根据区间即求出的最值.【小问1详解】∵的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，∴即∴，∴选条件①，∵为偶函数，，即.∵∴

选条件②，

∵，∴，

∵即，

∴．

选条件③，

∵∴的最大值，

，即.∵∴【小问2详解】由（1）得，，则令，递增区间为，，解得递增区间为即时，取到最大值，即时，取到最大值，20.如图所示，在中，已知点在边上，且，，.（1）若，求线段的长；（2）若点是的中点，，求线段的长.【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根据三角函数性质求得，再根据正选定理即可求解；（2）方法一：利用，两边同平方即可得到答案；方法二：因为和互补可，根据余弦定理列出关于和的等式，由（1）知，根据余弦定理可列出关于和等式，两式联立即可求解；方法三：以AB，AC为邻边作平行四边形ABFC，再利用余弦定理即可.【小问1详解】由条件可得.在中，由正弦定理得，【小问2详解】方法一：由（1）知，因为为钝角，所以.因为，所以，所以，整理得，解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9.方法二：由（1）知，因为为钝角，所以.由点是的中点，设在中，由余弦定理得，①在和中，因为所以，所以，整理得②将②代入①，得解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9.方法三：由（1）知，因为为钝角，所以如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABFC，因为，所以，因为，在中，即，整理得解得或（负值舍去），所以线段AC的长为921.已知函数（其中，为自然对数的底数）是定义在上的偶函数．（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）对，不等式恒成立，求实数的最大值；【答案】（1）（2）增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数性质求解即可；（2）用定义法证明单调性即可；（3）展开不等式，利用还原法简化不等式，最后用基本不等式求出答案即可.【小问1详解】为上的偶函数；；即，即在上恒成立，故，又因，解得.【小问2详解】，设，则；∵；∴，，；∴，；∴；∴在上是增函数．【小问3详解】由（1）得，∵，∴，∴，令，且，故，当且仅当，即时，等号成立，故，，，，因为在上单调递增，所以，故，所以当时，对任意，不等式恒成立.22.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．（1）若，，求在上的投影向量斜坐