1.3.3　仰角、俯角与方向角问题 同步练习

1.3解直角三角形第3课时仰角、俯角与方向角问题基础过关全练知识点1仰角、俯角问题1.在边防哨所,我们的军人每天都巡逻在边防线上,他们不怕苦不怕累,或站岗放哨或巡逻或执行任务.有一次,某边防战士去海拔为50米(即CD=50米)的小岛顶部D处执行任务,如图,上午8点,发现在海面上的A处有一艘船,此时测得该船的俯角为30°,该船沿着AC方向航行一段时间后到达B处,又测得该船的俯角为45°,则该船在这一段时间的航程为米.

2.(2022湖北襄阳中考)位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑,是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的.某校数学兴趣小组利用无人机测量革命烈士纪念塔的高度,无人机在点A处测得塔顶部点B的仰角为45°,塔底部点C的俯角为61°,无人机与塔的水平距离AD为10m,求革命烈士纪念塔的高度.(结果保留整数.参考数据:sin61°≈0.87,cos61°≈0.48,tan61°≈1.80)知识点2方向角问题3.(2022四川巴中中考)一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔30海里的A处,它沿北偏东30°方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东67°方向的B处,此时轮船与灯塔P的距离约为海里.结果保留整数.参考数据:sin37°≈35,cos37°≈45,tan37°≈344.(2022浙江金华金东一模)某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛北偏西30°方向上,距A岛120海里.有一艘船从A岛出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B岛南偏东75°方向的C处.(1)求∠BCA的度数;(2)求BC的长.能力提升全练5.(2022宁夏中考)2022年4月16日9时56分,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆.如图,某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE=45°,降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE=46°12'.已知半径OA为14米,拉绳AB为50米,返回舱高度BC为2米(点O、B、C、E在一条直线上,且OE⊥DE,AF⊥DE),这时返回舱底部离地面的高度CE约为米(精确到1米).(参考数据:sin46°12'≈0.72,cos46°12'≈0.69,tan46°12'≈1.04)

6.(2022浙江宁波余姚一模)如图,某渔船向正东方向以10海里/时的速度航行,在A处测得岛C在北偏东60°方向上,1小时后渔船航行到B处,测得岛C在北偏东30°方向上,已知该岛周围9海里内有暗礁.(1)B处离岛C有多远?(2)如果渔船继续向东航行,有无触礁危险?(3)如果渔船在B处改为向南偏东75°方向航行,有无触礁危险?(参考数据:3≈1.732,sin75°≈0.966,cos75°≈0.259)素养探究全练7.(2022浙江杭州西湖月考)阅读下列材料,并解决问题.如图①,在锐角△ABC中,∠BAC,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,过点A作AD⊥BC于点D,则sinB=ADc,sinC=ADb,即AD=csinB,AD=b于是csinB=bsinC,即b同理有csin,所以asin∠即在一个锐角三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.(1)如图②,一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°方向上,随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行,半小时后到达C处,此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°方向上,求此时货轮与灯塔A之间的距离;(2)在(1)的条件下,试求75°的正弦值.(结果保留根号)

1.3解直角三角形第3课时仰角、俯角与方向角问题答案全解全析基础过关全练1.答案(503-50)解析依题意得∠EDA=30°,∠EDB=45°,∵DE∥CA,∴∠DAC=30°,∠DBC=45°.又∵CD⊥CA,∴tan30°=DCAC=50AC=33,∠BDC=90°-45∴AC=503米,BC=CD=50米,∴AB=AC-BC=(503-50)米,∴该船在这一段时间的航程为(503-50)米.2.解析由题意得,∠BAD=45°,∠DAC=61°,在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AD=10m,∴BD=AD=10m,在Rt△ACD中,∠DAC=61°,∴tan61°=CDAD=CD10≈1.80,∴∴BC=BD+CD=10+18=28(m).∴革命烈士纪念塔的高度约为28m.3.答案50解析如图所示,根据题意得,∠CAP=∠EPA=60°,∠CAB=30°,∠DPB=67°,PA=30海里,∴∠PAB=60°+30°=90°,∠APB=180°-67°-60°=53°,∴∠B=180°-90°-53°=37°,在Rt△PAB中,sin37°=APPB∴PB≈50海里,∴此时轮船与灯塔P的距离约为50海里.4.解析(1)如图,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=∠EAB=30°,∵∠FBC=75°,∴∠ABC=∠FBC-∠FBA=45°,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=30°+45°=75°,∴∠BCA=180°-45°-75°=60°.(2)如图,作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中,∵∠ABD=45°,AB=120海里,∴AD=BD=AB·sin45°=120×22在Rt△ACD中,∵∠C=60°,∴CD=ADtan60°∴BC=BD+CD=(602+206能力提升全练5.答案1614解析在Rt△AOB中,由勾股定理得,OB=AB2∴AF=OE=OB+BC+CE=48+2+CE=(50+CE)米,∵∠CDE=45°,∠DEC=90°,∴DE=CE,设DE=CE=x米,则AF=(50+x)米,DF=(x-14)米,∵∠ADE=46°12',∴tan46°12'=AFDF=50+xx−14≈1.∴返回舱底部离地面的高度约为1614米.6.解析(1)如图,由题意得,∠CAB=90°-60°=30°,∠CBD=90°-30°=60°,∴∠ACB=30°=∠CAB,∴BC=AB=10海里.(2)如图,过点C作CM⊥AD,垂足为M,在Rt△BCM中,BC=10海里,∠CBM=60°,∴CM=32BC=53≈8.∴有触礁危险.(3)如图,过点C作CN⊥BF于N,在Rt△BCN中,∠CBN=∠CBM+∠MBN=60°+(90°-75°)=75°,BC=10海里,∴CN=sin75°·BC≈9.66(海里)>9海里,∴没有触礁危险.素养探究全练7.解析(1)由题意可知∠ACB=90°-30°=60°,∠ABC=90°-15°=75°,BC=80×12=40则∠A=180°-∠ACB-∠ABC=45°,如图,过B作BD⊥AC于点D,则∠BDC=∠ADB=90°,∠DBC=30°,∴DC=12BC=20B