专项03 二次函数与三角形的综合运用

专项03二次函数与三角形的综合运用类型一二次函数与三角形周长问题1，如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=45x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴交于点B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴.(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.2，如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B、C(点B在点C左侧),与y轴交于点A(0,4),已知点C的坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线AC下方抛物线上一点,过点P作直线AC的垂线,垂足为点H,过点P作PQ∥y轴交AC于点Q,求△PHQ周长的最大值及此时点P的坐标.类型二二次函数与三角形面积问题3，如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象与x轴相交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求点C的坐标以及△BOC的面积;(2)求二次函数的解析式;(3)若点D为第四象限内二次函数图象上的动点,设点D的横坐标为m,△BCD的面积为S,求S关于m的函数解析式,并求出S的最大值.类型三二次函数与三角形相似问题4，如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B两点,与y轴交于点C(0,3).(1)求该抛物线的表达式;(2)过点B作x轴的垂线,在该垂线上取一点P,使得△PBC与△ABC相似,请求出点P的坐标.类型四二次函数与三角形存在性问题5，如图,平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-1)2+92与x轴交于A,B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式,并直接写出点A,C的坐标.(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△BCP是直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点M是直线BC上的一个动点,连接AM,OM,是否存在点M,使AM+OM的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.6，如图,一次函数y=12x+2与x轴,y轴分别交于A、C两点,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、C两点,与x轴交于另一点B,其对称轴为直线x=-32(1)求该二次函数的表达式.(2)在y轴的正半轴上是否存在一点M,使以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在对称轴上是否存在点P,使△PAC为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

专项03二次函数与三角形的综合运用答案全解全析1.解析(1)将B(1,0),C(5,0)代入y=45x2+bx+c,得45+b+c=0,20+5b+c=0,解得b=-245∴抛物线的对称轴为直线x=--24(2)存在,点P的坐标为3,85时,△PAB的周长最小.连接AC交抛物线的对称轴于点P,易知此时△PAB的周长最小当x=0时,y=45x2-245x+4=4,∴点A的坐标为(0,4).设直线AC的解析式为y=kx+m(k≠0),将A(0,4),C(5,0)代入y=kx+m,得m=4,5k+m=0,解得k=-45,m=4,∴直线AC的解析式为y=-45x+4,当x=3时,y=-452.解析(1)∵点A(0,4),点C(4,0)在抛物线y=x2+bx+c上,∴c=4,16+4b+c=0,解得b=-5(2)设直线AC的解析式为y=kx+m(k≠0),∵直线AC过点A(0,4),点C(4,0),∴m=4,4k+m=0,解得k=-1由题意可知,OA=OC=4,∴∠OAC=45°,∵PQ∥y轴,∴∠PQH=45°,∵PH⊥AC,∴PH=QH=22PQ,∴△PHQ的周长=PH+QH+PQ=(2+1)PQ,∴求△PHQ周长的最大值就是求PQ的最大值,设P(t,t2-5t+4),则Q(t,-t+4),∴PQ=-t+4-(t2-5t+4)=-t2+4t,∵-1<0,∴当t=-42×(-1)=2时,PQ有最大值,最大值为-22+4×2=4,此时P(2,-2),△PHQ的周长为∴△PHQ周长的最大值为42+4,此时点P的坐标为(2,-2).3.解析(1)把x=0代入y=ax2+bx-3得y=-3,∴C(0,-3),∴S△BOC=12OB·OC=12×3×3=(2)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3,得0=a-b-3,(3)如图,作DE⊥x轴交BC于点E,则DE∥y轴,把x=m代入y=x2-2x-3得y=m2-2m-3,∴点D的坐标为(m,m2-2m-3),设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0),将(3,0),(0,-3)代入y=kx+n,得3k+n=0,n=∴直线BC的解析式为y=x-3,∴点E的坐标为(m,m-3),∴ED=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m.∵S△BCD=S△CDE+S△BDE,∴S=12DE(xD-xC)+12DE(xB-xD)=12DE(xB-xC)=12×3(-m2+3m)=-32m2+9∴当m=32时,S的值最大,最大值为274.解析(1)把C(0,3)代入y=x2+bx+c,得c=3,∴y=x2+bx+3.把A(1,0)代入y=x2+bx+3,得1+b+3=0,解得b=-4,∴该抛物线的表达式为y=x2-4x+3.(2)令y=0,则x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,∴点B的坐标为(3,0),∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=45°.当点P在点B上方时,有两种情况:①如图1,∵点P在过B点垂直于x轴的垂线上,∴∠PBC=45°,∴∠ABC=∠PBC.设点P(3,m),当ABPB=BCBC时,△PBC∴PB=AB=3-1=2,此时点P的坐标为(3,2);图1图2②如图2,当BCPB=ABCB时,△PBC由勾股定理得BC=OB2+OC2∴PB=(32)22当点P在点B下方时,∠PBC=135°,∠BAC=∠AOC+∠ACO=90°+∠ACO<135°,此时△PBC与△ABC不相似.综上所述,点P的坐标为(3,2)或(3,9).5.解析(1)将B(4,0)代入y=a(x-1)2+92,得0=9a+92,解得a=-12,∴y=-12(x-1)令x=0,则y=-12+92=4;令y=0,则-12(x-1)2+92=0,解得x1=4,x2=-2,∴点A的坐标为(-2,0),(2)存在点P使△BCP是直角三角形.∵y=-12(x-1)2+92,∴设P(1,n),∵B(4,0),C(0,4),∴BC2=42+42=32,BP2=(4-1)2+n2,PC2=12+(4-n)2.①当∠BCP=90°时,BP2=BC2+PC2,即(4-1)2+n2=32+12+(4-n)2,解得n=5;②当∠CBP=90°时,PC2=BP2+BC2,即12+(4-n)2=(4-1)2+n2+32,解得n=-3;③当∠BPC=90°时,BC2=BP2+PC2,即32=(4-1)2+n2+12+(4-n)2,解得n=2-7或n=2+7.综上所述,点P的坐标为(1,5)或(1,-3)或(1,2+7)或(1,2-7).(3)存在点M使AM+OM的值最小.如图,作O点关于BC的对称点Q,连接AQ,BQ,AQ交BC于点M,易知此时AM+OM的值最小.∵B(4,0),C(0,4),∴OB=OC,∴∠CBO=45°,由对称性可知∠QBM=45°,BQ=BO,∴BQ⊥BO,∴Q(4,4),设直线AQ的表达式为y=kx+b(k≠0),∴-2k+b=0,∴直线AQ的表达式为y=23x+4设直线BC的表达式为y=mx+4(m≠0),∴4m+4=0,∴m=-1,∴直线BC的表达式为y=-x+4,联立直线BC和直线AQ,得y=-x+4∴点M的坐标为856.解析(1)对于y=12x+2,当x=0时,y=2,即点C的坐标为(0,2),令y=0,则12x+2=0,解得x=-4,即点A∵抛物线的对称轴为直线x=-32,∴点B的坐标为(1,0),∴二次函数的表达式为∵抛物线过点C(0,2),∴-4a=2,解得a=-12,故抛物线的表达式为y=-12(x-1)(x+4)=-12x2(2)存在.在Rt△AOC中,tan∠CAO=COOA=12,∵以点M、O、B为顶点的三角形与△AOC相似,∠AOC=∠MOB=90°,∴∠BMO=∠CAO或∠MBO=∴tan∠BMO=12或tan∠MBO=1∴OBOM=12或OMOB=12,∵OB