第五章 二次函数（单元重点综合测试）

第五章二次函数（单元重点综合测试）一、单选题（每题3分，共24分）1．若方程是关于x的二次函数，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知抛物线的顶点坐标为，则抛物线对应的函数解析式为（）A． B． C． D．3．是的二次函数，其对应值如下表：|…01234……40149…下列叙述不正确的是（

）A．该二次函数的图象的对称轴是直线B．C．当时，随的增大而增大D．图象与轴有两个公共点4．函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（

）A． B．C． D．5．如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（）

A．

B．C．

D．

6．在二次函数中，与的部分对应值如下表：x…023…y…8003…则下列说法：①该二次函数的图像经过原点；②该二次函数的图像开口向下；③当时，随着的增大而增大；④该二次函数的图像经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤7．抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则；④若是方程的两个根，其中，则．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（

）

A．54 B．52 C．50 D．48二、填空题(共10小题，每题4分，共40分）9．如果函数是二次函数，那么的值一定是．10．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间的函数关系是，当飞行时间t为时，小球达到最高点．11．若抛物线与坐标轴有且只有两个交点，则的值为．12．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为．

13．二次函数的图象经过点，则代数式的值为．14．已知二次函数图象上三点，，，则、、的大小关系为．（用“”号连接）15．如图，在平面直角坐标xOy中，抛物线c1的顶点为A（﹣1，﹣4），且过点B（﹣3，0）将抛物线c1向右平移2个单位得抛物线c2，则阴影部分的面积＝．16．已知关于的一元二次方程＝、，均为常数且的解是＝，＝，则方程的解是．17．二次函数（是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是．

18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围为．三、解答题(共9小题，共76分）19．（本题8分）如图，抛物线与直线相交于点和，抛物线还经过，

(1)求：抛物线和直线的解析式；(2)若，则x的取值范围是______．20．（本题8分）已知二次函数的图像经过点．(1)求该二次函数的表达式；(2)当时，y的取值范围为________；(3)已知点，点在该二次函数的图像上．若，直接写出m的取值范围．21．（本题10分）已知二次函数（m是常数）．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点；(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为，，且，求m的值．22．（本题8分）小於为响应国家创业号召，回乡经营一家龙虾餐饮店，经核算龙虾收购成本为40元/kg．设销售时间为x天，通过一个月（30天）的试营业发现，龙虾售价y（元/kg）与销售天数满足如图函数关系（其中，且x为整数），已知龙虾销售第一天的销量为44kg，以后每一天比前一天多销售4kg．

(1)直接写出售价y与销售时间x的函数关系式；(2)求试营业第几天时，当天利润最大，最大利润是多少？23、（本题8分）某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的1.4倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价（元/件）130140销售量（件/天）8060(1)直接写出关于售价的函数关系式；(2)设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？(3)若某天的利润不低于2000元，请直接写出的取值范围．24、（本题8分）已知二次函数（m为常数，）.点在该二次函数的图象上．(1)求m的值；(2)当时，该二次函数值y取得的最大值为9，求a的值．25、（本题8分）二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移m（）个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换．(1)二次函数的顶点关于原点的对称点为___________，这个抛物线的2阶变换的解析式为___________；(2)若二次函数M的5阶变换的关系式为．①二次函数M的解析式为___________；②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作于点H，请求出最小时，点P的坐标．26．（本题8分）如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为．(1)求与的函数关系式；(2)若改造后观花道的面积为，求的值；(3)若要求，求改造后油菜花地所占面积的最大值．27．（本题8分）如图，已知二次函数的图像交轴于点、，交轴于点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点在轴上，过点作轴的垂线，分别交直线和抛物线于点、．①若点在线段上，求的最大值；②以为斜边作等腰直角，当点落在抛物线上时，求此时点的坐标．

第五章二次函数（单元重点综合测试）一、单选题（每题3分，共24分）1．若方程是关于x的二次函数，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵是关于x的二次函数，∴，故选B．2．已知抛物线的顶点坐标为，则抛物线对应的函数解析式为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先写出抛物线的顶点式，再化为一般式即可求解．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴抛物线解析式为，即．故选：A．3．是的二次函数，其对应值如下表：|…01234……40149…下列叙述不正确的是（

）A．该二次函数的图象的对称轴是直线B．C．当时，随的增大而增大D．图象与轴有两个公共点【答案】D【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A，当时，求出的值，可以判断B，根据的值和对称轴确定随的变化情况，可以判断C，根据根的判别式确定与轴的交点个数，可以判断D，从而得到答案．【详解】解：设二次函数为，则，解得：，二次函数的解析式为：，对称轴为：，故选项A正确，当时，，，故选项B正确，，图象开口向上，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而增大，故选项C正确，，图象与轴有一个公共点，故选项D错误，故选：D．4．函数和（为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由二次函数的解析式可得二次函数的图象的顶点为即可排除A、B，由一次函数的解析式可得一次函数的图象经过点即可排除C，从而得到答案．【详解】解：，二次函数的图象的顶点为，故A、B不符合题意；在中，当时，，解得，一次函数的图象经过点，故C不符合题意；故选：D．5．如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（）

A．

B．C．

D．

【答案】A【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案．【详解】解：正方形边长为4，，是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意但是的顶点在轴上，故B不符合题意，只有A符合题意故选：A．6．在二次函数中，与的部分对应值如下表：x…023…y…8003…则下列说法：①该二次函数的图像经过原点；②该二次函数的图像开口向下；③当时，随着的增大而增大；④该二次函数的图像经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤【答案】D【分析】结合图表可以得出当或时，，当时，，根据此三点可求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由图表可以得出当或时，；当时，；即，解得：，∴二次函数的解析式为：；∵图表可以得出图象经过点，故二次函数的图像经过原点；即①正确；∵，∴二次函数的图像开口向上，故②错误；∵二次函数的对称轴为直线，且，∴时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小，故③错误；将代入，得，∴二次函数的图像经过点，故④正确；∵二次函数与轴有两个交点，，∴有两个不相等的实数根，故正确；综上，①④⑤说法正确，故选：D．7．抛物线（是常数且）经过点A（3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则；④若是方程的两个根，其中，则．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由函数解析式可得函数的对称轴为直线，再根据二次函数的图像和性质，逐一分析，判断对错即可解答．【详解】解：①∵抛物线经过点，，，当时，，，∴该抛物线一定经过，故此项正确；②由①得：，，，，，，，故此项正确；③抛物线的对称轴为直线，当时，，，，也符合题意与矛盾，故此项错误．④∵抛物线，对称轴为直线，抛物线对称轴为直线，∴抛物线图象向左平移2个单位得到抛物线的图象，∵抛物线经过点，∴抛物线经过点，是方程的两个根，是抛物线与直线交点的横坐标，，，故此项正确，故选：C．8．如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（

）

A．54 B．52 C．50 D．48【答案】B【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．【详解】解：当时，由题意可知，，在中，由勾股定理得，设，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即，解得，，，当时，由题意可知，，设，，在中，由勾股定理得，在中由勾股定理得，中，由勾股定理得，即，

解得，，，．

故选：B．二、填空题(共10小题，每题4分，共40分）9．如果函数是二次函数，那么的值一定是．【答案】0【分析】根据二次函数的定义判断即可．【详解】∵函数是二次函数，∴，，解得．故答案为：0．10．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间的函数关系是，当飞行时间t为时，小球达到最高点．【答案】2【分析】只需要求出抛物线的顶点坐标即可得到答案．【详解】解：∵小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间的函数关系是，∴抛物线的顶点坐标为，∴当飞行时间t为时，小球达到最高点，故答案为：2．11．若抛物线与坐标轴有且只有两个交点，则的值为．【答案】或【分析】根据抛物线与两坐标轴有且只有两个交点知：抛物线与轴有且只有一个非原点的交点或抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为原点，据此可得答案．【详解】解：∵抛物线与两坐标轴有且只有两个交点，①抛物线与轴有且只有一个非原点的交点，∴，解得：；②抛物线与轴有两个交点，其中一个交点为原点，∴，解得：，∴的值为或．故答案为：或．12．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为．

【答案】【分析】设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】解：因为直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，所以，．故答案为：．13．二次函数的图象经过点，则代数式的值为．【答案】【分析】把代入函数解析式，即可求解．【详解】解：把代入函数解析式，得，，故答案为：．14．已知二次函数图象上三点，，，则、、的大小关系为．（用“”号连接）【答案】【分析】根据二次函数的性质，进行求解即可．【详解】解：∵，对称轴为直线，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵，∴；故答案为：．15．如图，在平面直角坐标xOy中，抛物线c1的顶点为A（﹣1，﹣4），且过点B（﹣3，0）将抛物线c1向右平移2个单位得抛物线c2，则阴影部分的面积＝．【答案】8【分析】阴影部分可以转换成求平行四边形的面积，即函数图象平移的距离乘以点纵坐标的绝对值．【详解】解：阴影部分可以转换成求平行四边形的面积，，故答案为：8．16．已知关于的一元二次方程＝、，均为常数且的解是＝，＝，则方程的解是．【答案】，【分析】根据题意和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到抛物线与轴交点的横坐标为，，根据二次函数的平移即可得到与轴交点的横坐标，故可求得解。【详解】解：关于的一元二次方程的解为，，与轴交点的横坐标为，，是由向左平移个单位长度得到的，与轴交点的横坐标分别为：，，的解为，．故答案为：，．17．二次函数（是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是．

【答案】或【分析】利用图象法解不等式即可．【详解】解：∵，∴，将不等式转化为两个函数：与的交点问题，由图可知：点在抛物线，又∵满足直线的解析式，∴两个函数的交点坐标为：，

由图象可知：当或时，，∴不等式的解集是或；故答案为：或．18．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有实数根，则t的取值范围为．【答案】【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，再根据将一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，结合图象，在的范围确定y的取值范围即可求解．【详解】解：∵抛物线经过点，∴，解得：，∴抛物线解析式为．一元二次方程的实数根可以看作与函数的有交点，如图，当时，，当时，．∵方程在的范围内有实数根，即函数的图象在的范围内与的图象有交点，∴．故答案为：．三、解答题(共9小题，共76分）19．（本题8分）如图，抛物线与直线相交于点和，抛物线还经过，

(1)求：抛物线和直线的解析式；(2)若，则x的取值范围是______．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）将、、代入，将、代入，即可求解；（2）根据在上方的函数图象对应的函数值较大，结合图象即可求解．【详解】（1）解：由题意得，解得：，抛物线的解析式；，解得：，直线的解析式；（2）解：由图得的图象在的图象上方所对应的取值范围：或故答案：或．20．（本题8分）已知二次函数的图像经过点．(1)求该二次函数的表达式；(2)当时，y的取值范围为________；(3)已知点，点在该二次函数的图像上．若，直接写出m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将点代入，求出a的值，即可得出该二次函数表达式；（2）将该二次函数表达式化为顶点式，求出对称轴以及当时，该二次函数取最小值2，根据其开口方向和增减性得出该二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越大，则当时的函数值大于当时的函数值，求出当时，，即可得出y的取值范围；（3）将点，点代入得出和，再根据，列出不等式求解即可．【详解】（1）解：将点代入得：，解得：，∴该二次函数的表达式为；（2）解：∵，∴该二次函数对称轴为直线，∵二次项系数，∴当时，该二次函数取最小值2，且该二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越大，∵，，∴当时的函数值大于当时的函数值，∵当时，，∴当时，．故答案为：．（3）解：将代入得：，把代入得：，∵，∴，解得：，∴m的取值范围为．21．（本题10分）已知二次函数（m是常数）．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点；(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为，，且，求m的值．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）由根的判别式：时，图象与x轴有两个公共点；时，图象与x轴有一个公共点；时，图象与x轴有没有公共点；据此进行求解即可．（2）可得，，代入即可求解．【详解】（1）解：由题意得，，，，不论m为何值，该函数的图象与x轴有两个公共点．（2）解：由题意得：，，，，整理得：，，故的值为．22．（本题8分）小於为响应国家创业号召，回乡经营一家龙虾餐饮店，经核算龙虾收购成本为40元/kg．设销售时间为x天，通过一个月（30天）的试营业发现，龙虾售价y（元/kg）与销售天数满足如图函数关系（其中，且x为整数），已知龙虾销售第一天的销量为44kg，以后每一天比前一天多销售4kg．

(1)直接写出售价y与销售时间x的函数关系式；(2)求试营业第几天时，当天利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)；(2)销售第10天时，利润最大，最大利润为3200元．【分析】（1）依据题意易得出销售价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式；（2）先根据题意求出每天的销售量与x的关系式，再根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润W（元）与时间x（天）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．【详解】（1）解：依题意，当时，设，则，解得，∴；当时，．∴售价y与销售时间x的函数关系式为；（2）解：设小龙虾每天的销售量为p千克，利润为W元，根据题意得：，①当时，，∵，∴时，；②当时，，∵，∴当时，，∵，∴销售第10天时，利润最大，最大利润为3200元．23、（本题8分）某商店销售一种进价100元/件的商品，且规定售价不得超过进价的1.4倍，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价（元/件）130140销售量（件/天）8060(1)直接写出关于售价的函数关系式；(2)设商店销售该商品每天获得的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？(3)若某天的利润不低于2000元，请直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)；当销售单价定为时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为(3)【分析】（1）根据题意，设关于售价的函数关系式为，利用待定系数法求解即可得到答案；（2）由（1）知，每天的销售量为，每件商品的利润为元，即可得到与之间的函数关系式；再由二次函数图像与性质求出最值即可得到答案；（3）根据（2）中，列一元二次方程求解，再由二次函数图像与性质解答即可得到答案．【详解】（1）解：设关于售价的函数关系式为，将、代入得，解得，关于售价的函数关系式为；（2）解：由（1）知，每天的销售量为，商品进价为100元/件，与之间的函数关系式为；，，，当时，有最大值，为，答：当销售单价定为时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大为；（3）解：由（2）知，与之间的函数关系式为，当某天的利润不低于2000元时，令，即，解得或，，．24、（本题8分）已知二次函数（m为常数，）.点在该二次函数的图象上．(1)求m的值；(2)当时，该二次函数值y取得的最大值为9，求a的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）把代入中即可求出的值；（2）根据确定的解析式求出对称轴和顶点坐标，即可确定时的值，即的值．【详解】（1）点在二次函数的图象上，．．解得：或．，．（2）当时，二次函数的解析式为，配方得：，抛物线的对称轴为，顶点．当时，，．解得：或．当时，的最大值为9，．25、（本题8分）二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移m（）个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换．(1)二次函数的顶点关于原点的对称点为___________，这个抛物线的2阶变换的解析式为___________；(2)若二次函数M的5阶变换的关系式为．①二次函数M的解析式为___________；②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作于点H，请求出最小时，点P的坐标．【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）根据二次函数的性质求出其顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点，写出其关于原点的对称点的坐标，根据定义即可求解解析式；（2）①将向下平移5个单位得到，此时该抛物线的顶点坐标为，该点关于原点的对称点为，进而求解；②先求出直线的函数表达式，设直线交y轴于点C，二次函数交y轴于点E，过点P作轴交于点D，证明，设点，则