第六章 图形的相似（压轴14题专练）

第六章图形的相似（压轴题专练）一、动点相似问题1．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（

）

A． B．C． D．

2．如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．

3．如图，在菱形中，，动点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，到达点停止运动，过点作，设点的运动时间为，点到的距离为．

(1)直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质___________；(3)根据函数图象直接写出不等式的解集是___________．二、格点问题4．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，C为格点，点B为所在小正方形边长的中点．（1）BC的长为；（2）若点M和N在边BC上，且，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作图，并简要说明点M和N的位置是如何找到的（不要求证明）．6．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

(1)在图中的线段上找一点，连接，使．(2)在图中的线段上找一点，连接，使．(3)在图中的线段上找一点，连接，使．7．如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图：(1)直接写出的形状___________；(2)在图1作出边上的高；(3)P为格点，在图2中作，且，若绕某一点旋转得到，在图中标出旋转中心O．8．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使；(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．相似综合压轴题9．如图，点为正方形边上的一个动点（点不与点、点重合），连接，作关于的对称点，连接交于点，作的角平分线交射线于点，交于点，连接，则下列结论：①；②；③为定值；④当为中点时，．其中结论正确的有．

10．图，矩形中，点P在边上，并且与C、D不重合，过点A作的垂线与的延长线相交于点Q，连接，M为的中点．

(1)求证：；(2)若，点P在边CD上运动，设，①点M恰好在线段上时，试求x的值；②设，试求y与x的函数关系式，并求线段长的最小值．11．如图，在中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．(1)求证：；(2)若点在的平分线上，求的长；(3)①当点落在上时，则的长为___________；②设与重叠部分面积为，试求关于的函数关系式．12．如图1，在中，，，垂足为点．过点作射线，点是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点，设、两点间的距离为．

(1)如图2，如果四边形是平行四边形，求的值．(2)过点作直线的垂线，垂足为，当为何值时，与相似？(3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出它的定义域．13．如图，点E为矩形ABCD中AD边中点，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在矩形内部的点F处，延长CF交AB于点G，连接AF．（1）求证：AF∥CE；（2）探究线段AF，EF，EC之间的数量关系，并说明理由；（3）若BC＝6，BG＝8，求AF的长．14．如图，在边长为9的正方形中，动点E、F分别在边、上，将正方形沿直线折叠，使点B的对应点始终落在边上（点不与点A、D重合），点C落在点处，与交于点P，连接，作点H．

(1)感知：①当时，的大小为________．②求的长．(2)探究：当在边上位置变化时，的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．(3)应用：若，直接写出五边形的周长．

第六章图形的相似（压轴题专练）一、动点相似问题1．如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据题意，进行分类讨论：当点P在上时，，根据，得出；当点P在上时，过点P作于点H，易证，得出，根据，即可得出．【详解】解：∵，，，∴，∴点P经过的路程为：，点Q经过的路程为，∴点P到达点C时间为，点Q到达点C时间为，即点P和点Q同时到达点C，当点P在上时，，

，即，当点P在上时，过点P作于点H，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，整理得：，∴，即，

综上：当点P在上时，，是开口向上的二次函数；当点P在上时，，是开口向下的二次函数，故选：B．2．如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．

【答案】或【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可．【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则，，∴，∵四边形是矩形，∴，，，

①当时，有，∴，即，解得；②当时，有，∴，即，解得，∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似．故答案为：2或．3．如图，在菱形中，，动点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，到达点停止运动，过点作，设点的运动时间为，点到的距离为．

(1)直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出这个函数的一条性质___________；(3)根据函数图象直接写出不等式的解集是___________．【答案】(1)，(2)画图见解析，图象关于直线对称，(3)或．【分析】（）连接与交于点，根据菱形的性质可知，利用勾股定理求出的长，最后通过相似三角形的性质即可求解．（）根据画图象的方法即可求解；（）根据图象的性质即可求解．【详解】（1）如图，连接与交于点，，∵四边形是菱形，∴，，，，∴，由勾股定理得：，∵，∴，∴，∴，∴，∵,∴，∴，∴，同理：当在上时，故答案为：，（2）画图如下：

根据图象可知：图象关于直线对称，（3）解：如图，

当时，，解得：，，解得：，当时∴或，故答案为：或．二、格点问题4．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】根据题意，得出ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．【详解】解：ABC的三边之比为，如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，故选：C．5．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，C为格点，点B为所在小正方形边长的中点．（1）BC的长为；（2）若点M和N在边BC上，且，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作图，并简要说明点M和N的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】取格点G、H，分别连结AG、AH交边BC于点M、点N，即为所求【分析】（1）格点C向下平移，格点B向右平移，交点处为直角三角形的直角顶点，用勾股定理计算即可；（2）根据三角形全等，三角形相似的思想，分别取格点G、H，分别连结AG、AH交边BC于点M、点N，即为所求【详解】（1）根据题意，得BC==；（2）根据三角形全等，取格点G，连接AG交BC于点M，利用三角形相似，取格点H，连接AH，交BC于点N，则M，N为所求．理由如下：∵CF=AE=3，AF=EG=1，∠F=∠E=90°，∴△AFC≌△GEA，∴AC=GA，∠FCA=∠EAG，∵CF∥AP，∴∠FCA=∠CAP=∠EAG，∵∠FAC+∠FCA=90°，∴∠FAC+∠GAE=90°，∴∠GAC=90°，连接HC,HG，则HC=HG=，CR=HT=2，GT=HR=1，∴△HRC≌△GTH，∴∠GHT=∠HCR，∵∠RHC+∠HCR=90°，∴∠RHC+∠GHT=90°，∴∠RHC+∠GHT+∠THR=180°，∴C，H，G三点共线，∵AG=AC，HG=HC，∴∠MAN=∠NAC==45°，∵AQ：QB=2,AP：PH=2,∠AQB=∠APH=90°，∴△BAQ∽△HAP,∴∠BAQ=∠HAP，∴∠BAQ+∠EAG=∠HAP+∠FCA，∴∠BAM=∠NAC=45°，∴．6．图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

(1)在图中的线段上找一点，连接，使．(2)在图中的线段上找一点，连接，使．(3)在图中的线段上找一点，连接，使．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）根据网格在图中的线段上找中点，连接，即可使；（2）结合（1）在图中的线段上找一点，连接，，即可使；（3）在图中的线段上找一点，连接，根据网格可得，所以，即可使．【详解】（1）解：如图，∵四边形为矩形，∴，∴，∴点即为所求；

（2）解：如图，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，则，由（1）可知，，∴，∴，∴点即为所求；

（3）解：如图，∵，∴，∴，∴，∵，∴．∴点即为所求；

7．如图，在长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C都为格点，请分别仅用一把无刻度的直尺画图：(1)直接写出的形状___________；(2)在图1作出边上的高；(3)P为格点，在图2中作，且，若绕某一点旋转得到，在图中标出旋转中心O．【答案】(1)等腰三角形(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由勾股定理求出、、长，即可求解；（2）作，使，，再作即可；（3）利用格点作出线段，分别作及中点连线的中垂线，即可交于点O．【详解】（1）解：由勾股定理，得，，，，是等腰三角形；（2）解：如图所示，即为所要画的．（3）解：如图，和点O即为所要画的．8．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，边BC上的点D也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC的平行线DE交AB边于点E，可在BC边上画点F，使；(2)在图2中，先在边AB找点M，使△MDC与△MAC的面积相等，再在AC上画点N，使△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据格点特点画出AC的平行线即可；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知，O为MC的中点，连接AO，则AO平分∠MAC，即∠OAC=45°，因此延长AO，与BC交于一点，即为点F；（2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一．【详解】（1）解：根据格点特点连接GD，则GD∥AC，GD与AB的交点即为E点；根据格点特点作MA⊥AC，连接MC，则△AMC为等腰直角三角形，连接MC、NB，MC与NB交于点O，根据矩形性质可知：O为MC的中点，连接AO，∵AM=AC，∴AO平分∠MAC，∴∠OAC=45°，∴延长AO，与BC交于一点，即为点F，，∠ACB=∠ACF，∴△ACF∽△BCA．（2）连接AD，则AD正好过格点O，连接CO，并延长与AB交于一点M，连接MD，此时△MDC与△MAC的面积相等；∵AC=DC，O为AD的中点，∴CM平分∠ACD，∴点M到AC，CD的距离相等，∴△MDC与△MAC的面积相等；连接PQ，交BC于点G，连接GH，交AC于点N，连接DN，则△CDN的面积是△ABC的面积的三分之一；∵在△PBG和△QCG中，∴，∴，∴CG=，∵AH∥GC，，，设△GCN边CG上的高为h1，△HAN边AH上的高为h2，则，∵，∴，∴，∵，∴．相似综合压轴题9．如图，点为正方形边上的一个动点（点不与点、点重合），连接，作关于的对称点，连接交于点，作的角平分线交射线于点，交于点，连接，则下列结论：①；②；③为定值；④当为中点时，．其中结论正确的有．

【答案】①②③④【分析】根据正方形的性质，角平分线的定义，轴对称的性质，即可判断①，证明，即可判断③，过点作于点，证明，可得，即可证明共圆，根据圆周角定理可得，进而即可得出是等腰直角三角形，即可判断②；证明，根据相似三角形的性质，即可判断④．【详解】由对称可得：，∵四边形为正方形，∴，∵平分，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，故①正确；∴，∴，故③正确；如图所示，过点作于点，

∵，∴又∵∴∴∵∴如图所示，连接

则共圆，∴∴是等腰直角三角形，∴∵，则，故②正确；如图所示，当为的中点时，

∵∴，又∵∴，∴由（2）可得，当为的中点时，设，则，∴，∴，∴故④正确，故答案为：①②③④．10．图，矩形中，点P在边上，并且与C、D不重合，过点A作的垂线与的延长线相交于点Q，连接，M为的中点．

(1)求证：；(2)若，点P在边CD上运动，设，①点M恰好在线段上时，试求x的值；②设，试求y与x的函数关系式，并求线段长的最小值．【答案】(1)见解析(2)①；②；的最小值为【分析】（1）由进行转换，即可求证．（2）①由，得，再由，M为的中点进而可求．②过点M作，垂足为点N，由为的中位线，得，进而得，，将数据代入，进而可求解．【详解】（1）解：证明：如图，∵四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．

（2）①∵，∴，∵，∴，又∵，∴，当点M恰好在线段上时如图，∵，又∵M为的中点．∴，∴，∴．

②过点M作，垂足为点N，如图，∵M为的中点．∴为的中位线，∴，又∵，则，∴，，∴在中，，即：，∵，∴有最小值，即当时，，∴的最小值为．

11．如图，在中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．(1)求证：；(2)若点在的平分线上，求的长；(3)①当点落在上时，则的长为___________；②设与重叠部分面积为，试求关于的函数关系式．【答案】(1)见解析(2)(3)①，②【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明，再根据相似三角形的性质得出，由此可得出；（2）连接，根据和点在的平分线上可证，由此可得＝，分别表示和由此可得方程，解出，即可求出；（3）①当点在上时，得出，则，解方程，即可求解；②当＜时，根据，即可求解；当＜＜时，设交于点，交于，作，垂足为，可得，进而根据相似三角形的性质得出，，进而表示出，即可求解．【详解】（1）证明：在中，，，，，把绕点旋转，得到，，，，，，，，，（2）连接，

，．点在的平分线上，，，．在中，，，．，，，．（3）①当点在上时，，，，把绕点旋转，得到，，，，，，②解：当点在上时，由①知，．当时，；当时，设交于点，交于，作，垂足为，，，，，，，，∴，．综上所述，S=．

12．如图1，在中，，，垂足为点．过点作射线，点是边上任意一点，连接并延长与射线相交于点，设、两点间的距离为．

(1)如图2，如果四边形是平行四边形，求的值．(2)过点作直线的垂线，垂足为，当为何值时，与相似？(3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】(1)(2)当，或时，与相似(3)【分析】（1）首先根据等腰三角形的三线合一定理，得到再由相似三角形的判定，得到比例线段，问题即可得解；（2）分情况当或5时易证及，当时，根据相似的性质然后可求得的长；（3）首先证明，再根据，得到，根据勾股定理求出的长，即可得到的面积，因为，所以，根据即可求出最后结果．【详解】（1）解：，，，，四边形是平行四边形，，，，，，；（2）如图，当时，即与重合时，，

此时，，；如图，当时，即与重合时，，

，，；如图，当时，，且，相似只有一种，即，，，，，，，，，，，即，当，或时，与相似；（3）如图，，，，，，在中，，，，，，，，即．13．如图，点E为矩形ABCD中AD边中点，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D落在矩形内部的点F处，延长CF交AB于点G，连接AF．（1）求证：AF∥CE；（2）探究线段AF，EF，EC之间的数量关系，并说明理由；（3）若BC＝6，BG＝8，求AF的长．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）【详解】（1）由对称的性质可得出相等的边与角，通过等腰三角形的性质及等量代换可得出∠EAF＝∠DEC，即可证明AF∥CE；（2）连接DF，证△AFD、△EDC相似，根据相似的性质可推出线段AF，EF，EC之间的数量关系；（3）根据（2）中的数量关系：，先求出EC、EF的长，进而可求出AF的长.（1）证明：由折叠矩形ABCD可得，EF＝ED，CF＝CD∠DEC＝∠FEC，∠EFG＝∠EFC＝∠EDC＝90°∵点E为AD的中点∴AE＝ED＝EF∴∠EAF＝∠EFA∵∠DEF＝∠EAF＋∠EFA＝∠DEC＋∠FEC∴∠EAF＝∠DEC∴A