云南省楚雄州永仁一中2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

云南省楚雄州永仁一中2025届高三第五次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数()A．3 B． C． D．2．已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：①在上单调递减；②函数至少存在一个零点；③的最大值为；④若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④3．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（）①②③④⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）．A． B． C． D．5．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（）．A． B． C．4 D．96．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（）A．156 B．124 C．136 D．1807．已知f（x）=ax2+bx是定义在[a–1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是A． B．C． D．8．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（）A． B．C． D．9．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（）A．4 B．5 C．6 D．710．若x,y满足约束条件的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,11．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A． B． C． D．12．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．14．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.15．在边长为2的正三角形中，，则的取值范围为______.16．若，则的展开式中含的项的系数为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：，，，，18．（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.（1）设直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C交于两点A．B，求AB的长；（2）设M、N是曲线C上的两点，若，求面积的最大值.20．（12分）已知函数．(Ⅰ)求函数的极值；(Ⅱ)若,且,求证：．21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）设直线与曲线交于，两点，求；（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，求的取值范围.22．（10分）如图，在四边形中，，，.（1）求的长；（2）若的面积为6，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2、C【解析】

分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】（1）当时，，此时不存在图象；（2）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（3）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（4）当时，，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出的图象，由图象可得：对于①，在上单调递减，所以①正确；对于②，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以②错误；对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可得，所以④正确.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.3、B【解析】

满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.故选：B.【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.4、A【解析】过圆外一点，引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．5、B【解析】

根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.【详解】根据题意，，则在中，又,则则则则故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.6、A【解析】

因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.【详解】，，.故选：A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7、B【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故选B．【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．8、D【解析】

由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围．【详解】解：，或其积，或其商仍是该数列中的项，或者或者是该数列中的项，又数列是递增数列，，，，只有是该数列中的项，同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有，，或（舍，，根据，，，同理易得，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．9、C【解析】

根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得：，故选：C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.10、D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．11、C【解析】

利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【详解】函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且．故选C．【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、A【解析】

由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.【详解】解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，．抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，，又，，则双曲线的离心率为．故选：．【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式．【详解】由题意，可知当时，；当时，.又因为不满足，所以.【点睛】本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14、【解析】

设，判断为偶函数，考虑x>0时，的解析式和零点个数,利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到的范围.【详解】设，则在是偶函数，当时，，由得，记，，，故函数在增，而，所以在减，在增，，当时，，当时，，因此的图象为因此实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.15、【解析】

建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，故可得，且，由此构造函数，，利用二次函数的性质即可求得取值范围．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，，，，根据，即，，，则，，即，，，则，，所以，，，，，，且，故，设，，易知二次函数的对称轴为，故函数在，上的最大值为，最小值为，故的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题．16、【解析】

首先根据定积分的应用求出的值,进一步利用二项式的展开式的应用求出结果.【详解】，根据二项式展开式通项：，令，解得，所以含的项的系数.故答案为：【点睛】本题考查定积分，二项式的展开式的应用,主要考查学生的运算求解能力,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值为4.【解析】

（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,,则可求得,,即可得到,进而由可得到p关于k的函数关系式；（ii）由可得,推导出,设（）,利用导函数判断的单调性,由单调性可求出的最大值【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,则,∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,,,,,若,则,则,,,∴p关于k的函数关系式为（,且）（ii）由题意知,得,,,,设（）,则,令,则,∴当时,,即在上单调增减,又,,,又,,,∴k的最大值为4【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性18、（1）（）；（2）证明见解析.【解析】

（1）设点，分别用表示、表示和余弦定理表示，将表示为、的方程，再化简即可；（2）设直线方程代入的轨迹方程，得，设点，，，表示出直线，取，得，即可证明直线过轴上的定点.【详解】（1）设，由已知，∴，∴（），化简得点的轨迹的方程为：（）；（2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意故可设直线的方程为：（），代入的方程得：.设，，则，，.∴直线：.令，得.直线过轴上的定点.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.19、（1）；（2）1.【解析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2），，由（1）通过计算得到，即最大值为1.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为，即；再将，，代入上式，得，故曲线C的极坐标方程为，显然直线l与曲线C相交的两点中，必有一个为原点O，不妨设O与A重合，即.（2）不妨设，，则面积为当，即取时，.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是一道容易题.20、(Ⅰ)极大值为：，无极小值；(Ⅱ)见解析.【解析】

(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等