专题03-7.5解直角三角形培优训练(解析版)九下数学专题培优训练

第=page22页，共=sectionpages22页专题037.5解直角三角形培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BDA.25 B.45 C.53【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．

本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，

∴∠ABE=90°，

∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，

则有：100=a2+4a2，

∴a2=20，

∴a=25或−25(舍弃)，

∴BE=2a=45，

∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AC，

∴CM=BE=45(等腰三角形两腰上的高相等))

∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，

将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值为(

)A.3 B.3+1 C.3-【答案】B【解析】

本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定难度．

作AH⊥CB交CB的延长线于H，利用含45°的等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，解直角三角形，求出各边长，并证明AH//DC，推出∠ACD=∠CAH，由锐角三角函数定义即可解决问题．

【解答】

解：如图，△BCD是含45°的等腰直角三角形，△ABD是含30°角的直角三角形，∠ADB=30°，

作AH⊥CB交CB的延长线于H．

∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，

∴∠ABH=45°，

∵∠AHB=90°，

∴△ABH是等腰直角三角形，

∴AH=BH，

设AH=BH=a，则AB=2a，BD=6a，BC=CD=3a，CH=a+3a，

∵∠AHB=∠DCB=90°，

∴AH//DC，

∴∠ACD=∠CAH，

∴如图，在正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE连接AE，DE，连接BD交CE于点F，有下列结论：①∠AED=150∘；②△DEF∽△BAE；③DFFB=3A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】

此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．

①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可

②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE，即可判定

③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DFBF，再与tan∠ECD=tan30°作比较即可

④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可

【解答】

解：∵△BEC为等边三角形

∴∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°，AB=EB=EC=BC=DC

∵四边形ABCD为正方形

∴∠ABE=∠ECD=90°−60°=30°

∴在△ABE和△DCE中，

AB=DC

∠ABE=∠ECD

BE=EC

∴△ABE≌△DCE(SAS)

∴∠AEB=∠DEC=180°−30°2=75°

∴∠AED=360°−60°−75°×2=150°

故①正确

由①知AE=ED

∴∠EAD=∠EDA=15°

∴∠EDF=45°−15°=30°

∴∠EDF=∠ABE

由①知∠AEB=∠DEC，

∴△DEF～△BAE

故②正确

过点F作FM⊥DC交于M，如图

设DM=x，则FM=x，DF=2x

∵∠FCD=30°

∴MC=3x

则在Rt△DBC中，BD=2⋅(3+1)x

∴BF=BD−DF=2⋅(3+1)x−2x

则DFBF=2x2(3+1−1)x=33

故③正确

如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得

由③知MC=3x，MC=FG在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是(    )A.2

B.12

C.23

【答案】B【解析】如图，取格点K，连接AK，BK.观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．

本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．

观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，

∴∠AED=∠ABK，

∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为(

)

A.42 B.4 C.7 D.【答案】C【解析】

本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：连接AE交CD于点F，

∵AC=3，cos∠CAB=13，

∴AB=3AC=9，

由勾股定理得，BC=AB2−AC2=62，

∠ACB=90°，点D为AB的中点，

∴CD=12AB=92，

S△ABC=12×3×62=92，

∵点D为AB的中点，

∴S△ACD=12S△ABC=922

在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是(    )

A.29 B.5.5 C.1812 D.【答案】A【解析】

本题考查了矩形的性质、正方形的性质、解直角三角形以及同角三角函数的关系．

设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步利用同角三角函数的关系，求得结论即可．

【解答】解：如图，作EF平行于长方形的长，GH平行于长方形的宽，交于O，

设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，

则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ边成的角为θ，

在Rt△AOH、Rt△COG中，GH=OG+OH=xcosθ+2xcosθ=3xcosθ=15，同理得出EF=EO+HA+AJ=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=3xcosθ+2xsinθ=19②解①得xcosθ=5

将xcosθ=5代入②

解②得xsinθ=2，

两边平方相加得x2所以正方形的边长x=29故选A．

二、填空题如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan【答案】1【解析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=53，即ADAB=53，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：CEAB=DEAD=CDBD=12，进而可得CE=32x，DE=52x，从而可求tan∠CAD=ECAE=15．

本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．

【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，

∵tanB=53，即ADAB=53，

∴设AD=5x，则AB=3x已知在菱形ABCD中，∠A=60°，DE//BF，sinE=45，DE=6，EF=BF=5，则菱形ABCD的边长=______．【答案】4【解析】连接BD，过B作BG//EF交DE的延长线于G，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD，判断△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD的长．

本题考查了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．

【解答】解：连接BD，过B作BG//EF交DE的延长线于G，

∵∠DEF=∠F，

∴EG//BF，

∴四边形BFEG是平行四边形，

∵EF=BF，

∴四边形BFEG是菱形，

∴EG=BG=EF=BF=5，

∴DG=6+5=11，

∵EF//BG，

∴∠G=∠DEF，

过D作DH⊥GB交GB的延长线于H，

∴∠DHG=90°，

∵sin∠DEF=sinG=DHDG=45，

∴DH=445，

∴GH=335，

∴BH=GH−BG=85，

∴BD=BH2+DH2=(如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为2,5，底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得到△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为________【答案】(【解析】

本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．

【解答】

解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，

∵A(2,5)，

∴OC=2，AC=5，

由勾股定理得，OA=OC2+AC2=22+52=3，

∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，

∴OB=2OC=2×2=4，

由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，

∴O′D=4×53三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是______．【答案】15−5【解析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．

本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．

【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，

∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=103，

∵AB//CF，

∴BM=BC×sin30°=103×12=53，

CM=BC×cos30°=15，

在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，

∴∠EDF=45°，

∴MD=BM=53，

∴CD=CM−MD=15−5如下图，正方形ABCD中，AB=3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23CD连接GH，则GH的最小值为________．【答案】2【解析】

此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答.连接CG.证明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．

【解答】

解：连接CG．

∵四边形ABCD是正方形，

四边形DECG是正方形，

∴DA=DC=AB=3，

DE=DG，

∠ADC=∠EDG=90∘，

∠DAC=45∘，

∴∠ADE=∠CDG，

∴△ADE≌△CDG(SAS)，

∴∠DCG=∠DAE=45∘，

∴点G的运动轨迹是射线，

根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，

∵DH=23CD=2，

∴CH=CD−DH=3−2=1，

∴如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，，则点F的坐标是_________．

【答案】(8,12)【解析】

本题考查坐标与图形性质，解直角三角形，勾股定理的运用，过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，易得∠AEF=∠HFG=∠FGO，然后利用勾股定理和解直角三角形分别求出AF和HG的长即可．

【解答】

解：过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，

∴∠FGO=∠HFG，∠EAF=90°，∠AOG=90°=∠AHG，

∴四边形AOGH为矩形，

∴OG=AH=17，

∵∠EFG=90°，

∴∠AFE+∠AEF=90°，∠HFG+∠AFE=90°，

∴∠AEF=∠HFG=∠FGO，

在Rt△AEF中，EF=10，则AE=10·cos∠FEA=10×35=6，

∴AF=EF2−AE2=8，FH=AH−AF=17−8=9，

在Rt△FGH中，FG=FHcos∠HFG=9三、解答题如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=34，5BF−5AD=4．

(I)求AE的长；

(2)求cos∠CAG的值及CG的长．【解析】(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H.首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．

(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠CAG=∠CTG，求出cos∠CTG即可解决问题．

本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．

【答案】解：(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．

∵直线l是⊙O的切线，

∴AE⊥OD，

∵OC⊥AB，

∴∠EAO=∠AOH=∠EHO=90°，

∴四边形AEHO是矩形，

∴EH=OA=3，AE=OH，

∵CH=EC2−EH2=(34)2−32=5，

∴AE=OH=CH−CO=5−3=2．

(2)∵AE//OC，

∴AEOC=ADDO=23，

∴AD=25OA=65，

∵5BF−5AD=4，

∴BF=2，

∴OF=OB−BF=1，AF=AO+OF=4，CF=OC2+OF2=32+12=在矩形ABCD中，AB=8，点H是直线AB边上的一个点，连接DH交直线CB的干点E，交直线AC于点F，连接BF．

(1)如图①，点H在AB边上，若四边形ABCD是正方形，求证：△ADF≌△ABF；

(2)在(1)的条件下，若△BHF为等腰三角形，求HF的长；

(3)如图②，若tan∠ADH=43，是否存在点H，使得△BHF为等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．

(2)想办法证明∠ADH=30°，求出AH即可解决问题．

(3)如图②中，可以假设AH=4k，AD=3k，DH=5k，因为△BHF是等腰三角形，∠BHF是钝角，推出HF=BH，设BH=HF=x，构建方程组解决问题即可．

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．

【答案】(1)证明：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠FAB=∠FAD=45°，

∵AF=AF，

∴△ADF≌△ABF(SAS)．

(2)解：如图①中，

∵∠BHF>∠HAD，

∴∠BHF是钝角，

∵△BHF是等腰三角形，

∴BH=FH，

∴∠HBF=∠BFH，

∵△ADF≌△ABF，

∴∠ADF=∠ABF，

∵∠AHD=∠HBF+∠BFH，

∴∠AHD=2∠ADH，

∵∠AHD+∠ADH=90°，

∴∠ADH=30°，

∴AH=AD⋅tan30°=833，

∴BH=HF=8−833．

(3)解：如图②中，存在．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=8，AB//CD，∠DAH=90°，

∵tan∠ADH=AHAD=43，

∴可以假设AH=4k，AD=3k，则DH=5k，

∵△BHF是等腰三角形，∠BHF是钝角，

∴HF=BH，设BH=HF=x，

∵AH//CD，

∴AHCD=HFDF，

∴4k8=x5k−x

①，如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：

①分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；

②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．

(1)小明所求作的直线DE是线段AB的______；

(2)联结AD，AD=7，sin∠DAC=17，BC=9【答案】(1)线段AB的垂直平分线(或中垂线)；

(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，

∵DE是线段AB的垂直平分线，

∴AD=BD=7

∴CD=BC−BD=2，

在Rt△ADF中，∵sin∠DAC=DFAD=17，

∴DF=1，

在Rt△ADF中，AF=72−1【解析】

本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了解直角三角形．

【解答】】(1)利用基本作法进行判断；

(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD=7，则CD=2，在Rt△ADF中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在Rt△CDF中利用勾股定理可计算出CF，然后计算AF+CF．

解：(1)小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线(或中垂线)；

故答案为线段AB的垂直平分线(或中垂线)；

(2)见答案．

如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=16，点E在AB边上，与点A、B不重合，过点D作DE的垂线与BC的延长线相交于点F，连结EF，交CD于点G．

(Ⅰ)当G为EF的中点时，求AE的长；

(Ⅱ)当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，求tan∠ADE．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．

(Ⅰ)根据∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCF=90°证明△DAE∽△DCF，对应边成比例，再根据三角形中位线定理即可求解；

(Ⅱ)①当DE=DG时，先证明△EDF≌△EBF得DE=BE，再根据勾股定理求得AE的长，即可求得结果；②当ED=EG时，证明△DAE∽△FBE得DAFB=AEBE，求得AE的长，即可求得结果．

【答案】解：(Ⅰ)∵DF⊥DE

∴∠EDG+∠CDF=90°

又∵∠EDG+∠ADE=90°

∴∠ADE=∠CDF

又∵∠A=∠DCF=90°

∴△DAE∽△DCF

∴ADCD=AECF

∴CF=16×AE8=2AE

又∵CD//AB，点G为EF的中点

∴点C为BF的中点

∴CF=BC=8

∴2AE=8∴AE=4

(Ⅱ)①当DE=DG时，则∠DEG=∠DGE

又∵CD//AB，

∴∠DGE=∠BEG

∴∠DEG=∠BEG

又∵∠EDF=∠EBF=90°

EF=EF

∴△EDF≌△EBF(AAS)

∴DE=BE

设AE=x，则BE=16−x，

在Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2

∴82+x2=(16−x)2

解得x=6，即AE=6

∴tan∠ADE=AEAD=68=34

②当ED=EG时，则∠EDG=∠EGD

又∵CD//AB

∴∠EGD=∠BEG，∠EDG=∠AED

∴∠AED=∠BEG

又∠A=∠B=90°

∴△DAE∽△FBE

∴在△ABC中，∠ACB=90°．

(1)如