数学学案：圆与圆的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修2第二章2.3.4圆与圆的位置关系1．根据给定的两圆的方程,会用代数法和几何法判断圆与圆的位置关系．2．了解两圆的五种位置关系，并能运用两圆位置关系解决有关实际问题．圆与圆位置关系的判定1．几何法若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系____________|r1－r2|＜d＜____________d＜______【做一做1－1】两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是（)．A．相离B．相交C．内切D．外切【做一做1－2】已知两圆的半径分别为方程x2－7x＋12＝0的两个根,如果圆心距O1O2＝8，则两圆的位置关系是（）．A．外离B．外切C．内切D．相交【做一做1－3】两圆x2＋y2＝r2与(x－2）2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切,则r的值是（）．A．eq\r(5）B．5C．eq\f(\r（5),2)D．2eq\r(5）2．代数法设两圆方程分别为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al（2,1)＋Eeq\o\al（2，1）－4F1＞0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al（2,2)－4F2＞0），联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数____个____个____个两圆的位置关系________或________或____【做一做2】利用代数法判断圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的位置关系．一些特殊圆的方程的设法剖析：（1)圆心为定点（a，b）的同心圆系方程为（x－a）2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为定值,r是参数．(2）半径为定值r的圆系方程为(x－a）2＋（y－b)2＝r2，其中a，b为参数,r＞0是定值．(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线Ax＋By＋C＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．(4）过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2:x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)，此圆系中不含圆C2.题型一由两圆的位置关系确定参数问题【例1】已知圆C1:x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0,m为何值时,(1)圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？分析：充分利用两圆位置关系的判定公式(几何法）．反思：圆心距为|C1C2｜，两圆半径为r1，r2，则两圆外切⇔|C1C2|＝r1＋r2；两圆内含⇔|C1C2｜＜|r2－r1｜，转化为方程或不等式的问题来解决．题型二两圆的公共弦问题【例2】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0。（1)试判断两圆的位置关系；(2）求公共弦所在直线的方程；（3）求公共弦的长度．分析:只有当两圆相交时,才能将两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，并求公共弦的长度．反思：求两相交圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长时，一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项，得到公共弦的方程，再由勾股定理求弦长．题型三圆与圆的综合性问题【例3】求圆心在直线x－y－4＝0上,且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．分析：解法一：先解出圆与圆的交点的坐标,再利用圆的性质与已知条件确定圆心;解法二:解出两圆交点的坐标,利用待定系数法；解法三:设出符合条件的圆系方程求解．反思:在解有关圆的问题时,要尽量结合圆的相关性质，这样可减少运算量．解法一侧重于用圆的性质；而解法二、三侧重于用方程形式的求解．题型四易错辨析【例4】已知集合A＝{(x，y）｜x2＋y2＝4｝,B＝{（x，y)｜(x－3）2＋(y－4）2＝a2}，若A∩B中有且仅有一个元素,求a的值．错解：由题意A∩B中有且仅有一个元素可知两圆相切，∴O1O2＝5＝a＋2或5＝a－2。∴a＝3或a＝7.错因分析：把a误认为正数而导致丢解．1圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是（）．A．相离B．相交C．外切D．内切2圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2:x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有(）．A．2条B．3条C．4条D．0条3若a2＋b2＝1，则圆(x－a）2＋y2＝1与圆x2＋（y－b)2＝1的位置关系为__________．4若圆x2＋y2＝4与x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝__________。5求半径为1，且与圆x2＋y2＝4相切的动圆圆心的轨迹方程．答案：基础知识·梳理1．d＞r1＋r2d＝r1＋r2r1＋r2d＝｜r1－r2｜|r1－r2｜【做一做1－1】B【做一做1－2】A由方程x2－7x＋12＝0得两个根分别为3和4，故两圆半径之和为7,而两圆心之间的距离为8，故这两圆外离．【做一做1－3】C2．210相交外切内切外离内含【做一做2】解：联立方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x＋6y＝0，,x2＋y2－6x＝0,)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(①，②)）①－②得2x＋6y＝0，即x＝－3y。③把③代入①并整理，得y＝0或y＝－eq\f(9，5）。当y＝0时，x＝0;当y＝－eq\f(9,5)时,x＝eq\f（27，5）。综上可知，两圆相交于两点，这两点坐标分别为(0,0），eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（27,5),－\f(9，5）))。典型例题·领悟【例1】解：配方得C1：（x－m)2＋（y＋2）2＝9，C2：（x＋1)2＋(y－m）2＝4。(1)由圆C1与圆C2外切，得eq\r（m＋12＋m＋22)＝3＋2。即（m＋1）2＋（m＋2)2＝25，解得m1＝－5,m2＝2。（2)由圆C1与圆C2内含,得eq\r（m＋12＋m＋22）＜3－2，即（m＋1)2＋（m＋2)2＜1.解得－2＜m＜－1。【例2】解:(1)将两圆方程配方化为标准方程，得C1：(x－1）2＋（y＋5)2＝50，C2:（x＋1)2＋（y＋1)2＝10。则圆C1的圆心为(1，－5）,半径r1＝5eq\r(2),圆C2的圆心为（－1，－1),半径r2＝eq\r(10）.又|C1C2|＝2eq\r（5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10），r1－r2＝5eq\r（2）－eq\r（10)，∴r1－r2＜｜C1C2｜＜r1＋r2。∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.（3)解法一：两方程联立，得方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0,））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①，②))两式相减得x＝2y－4,③把③代入②得y2－2y＝0，所以y1＝0，y2＝2.故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－4，,y1＝0，））eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＝0，,y2＝2。))所以交点坐标为（－4，0)和（0，2）．所以两圆的公共弦长为eq\r（－4－02＋0－22）＝2eq\r(5）。解法二：两方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得（x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C（1,－5)，半径r＝5eq\r（2).圆心C到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq\f(|1－2×－5＋4｜，\r（1＋－22））＝3eq\r（5)。设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝eq\r（5），所以公共弦长为2eq\r（5)。【例3】解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2－4x－6＝0，，x2＋y2－4y－6＝0)）得到两圆公共弦所在直线方程为y＝x。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x,,x2＋y2－4y－6＝0,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，，y1＝－1））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＝3，，y2＝3.)）所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1），B(3，3)，线段AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－1)．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－1＝－x－1，,x－y－4＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝3，,y＝－1，))所以所求圆的圆心为（3,－1），半径长为eq\r（3－32＋[3－－1］2）＝4。所以所求圆的方程为(x－3）2＋（y＋1)2＝16.解法二：同解法一,求得A(－1，－1)，B（3,3)．设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b)2＝r2,则由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a－b－4＝0，,－1－a2＋－1－b2＝r2，,3－a2＋3－b2＝r2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，，b＝－1，,r2＝16.)）所以所求圆的方程为（x－3）3＋（y＋1）2＝16。解法三：设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1），即x2＋y2－eq\f（4,1＋λ)x－eq\f(4λ,1＋λ）y－6＝0，所以圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ），\f（2λ,1＋λ）））。又圆心在直线x－y－4＝0上，所以eq\f(2，1＋λ)－eq\f(2λ，1＋λ)－4＝0，即λ＝－eq\f(1,3）.所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.【例4】正解：由A∩B中有且仅有一个元素,可知两圆相切，∴O1O2＝5＝|a｜＋2或5＝｜｜a|－2｜，解得a＝±3,或a＝±7.综上，知a的值为±3或±7。随堂练习·巩固1．B2．B由x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，得圆心和半径分别为O1（－2,2），r1＝1.由x2＋y2－4x－10y＋13＝0，得圆心和半径分别为O2(2，5），r2＝4.因为d(O1,O2)＝5，r1＋r2＝5,即r1＋r2＝d（O1，O2),所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．3．相交∵圆(x－a)2＋y2＝1的圆心为(a,0），半径r1＝1；圆x2＋(y－b)2＝1的圆心为(0,b），半径r2＝1,∴圆心距d＝eq\r（a2＋b2)＝