初中数学必会几何模型精讲精练之和坐标有关的规律性问题

初中数学必会几何模型精讲精练和坐标有关的规律性问题【方法梳理】“2＋4”（1）：“2”－－两种规律①“周期性规律”－－计算直到找到周期数止，再找变化规律；②“渐变性规律”－－般计算前三个，从中找到变化规律；（2）“4”－－四个解题注意①求什么找什么的规律；②变化规律最好用算式而不得数表示；③找算式中数字与序号间的变化规律；④找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）；类型1周期性规律例题1.在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的幸运点．已知点A1的幸运点为A2，点A2的幸运点为A3，点A3的幸运点为A4，……，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为(3，1)，则点A2020的坐标为（）A.(-3，1) B.(0，-2) C.(3，1) D.(0，4)【答案】B【解析】【分析】根据题目已知条件先表示出6个坐标，观察其中的规律即可得出结果．【详解】解：由题可得：A1(3，1)，A2(0，4)，A3(-3，1)，A4(0，-2)，A5(3，1)，A6(0，4)…，所以是四个坐标一次循环，2020÷4=505，所以是一个循环的最后一个坐标，故A2020(0，-2)，故选：B【点睛】本题主要考查的是找规律，根据题目给的已知条件找出规律是解题的关键．变式12.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为．已知，作点N关于点A的对称点N1，点关于点B的对称点，点关于点C的对称点点关于点A的对称点，点关于点B的对称点，…，依此类推，则点的坐标为（）A. B. C. D.（5，4）【答案】A【解析】【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律即可求解．【详解】解：由题意作出如下图形：

N点坐标为（-1，0），

N点关于A点对称的N1点的坐标为（-3，0），

N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），

N2点关于C点对称的N3点的坐标为（-3，-8），

N3点关于A点对称的N4点的坐标为（-1，8），

N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，-4），

N5点关于C点对称的N6点的坐标为（-1，0），此时刚好回到最开始的点N处，

∴其每6个点循环一次，

∴2020÷6=336……4，

即循环了336次后余下4，

故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（-1，8）．

故选：A．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的规律问题，找到点循环的规律是解题的关键．变式23.如图，边长为的等边，边在轴上，点在轴的正半轴上，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，以为边作等边，边与交于点，，依此规律继续作等边，则的横坐标________．【答案】0【解析】【分析】根据正三角形与旋转的特点得到旋转次为一个循环，故可求出的横坐标．【详解】解：∵△ABC是正三角形，BO⊥AC∴∠ABO=30°同理=30°，360°÷30°=12，∴的横坐标旋转次为一个循环，∵，∴与在同一直线上，即轴上，∴的横坐标为．故答案为：0．【点睛】此题主要考查坐标的旋转变换，解题的关键是根据图形的特点找到变换规律．变式34.如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，点P2020的坐标是__．【答案】（5，0）【解析】【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2020÷6＝336…4，当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0），故答案为：（5，0）．【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．类型2渐变性规律例题5.如图，已知A1（0，1），A2（，），A3（，），A4（0，2），A5（，），A6（，），A7（0，3），A8（，），A9（，），…，则点A2010的坐标是______．【答案】（，）【解析】【分析】观察所给出的这9个点的坐标，可以发现规律：A1、A4、A7…横坐标为0，纵坐标依次加1；A2、A5、A8…横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，…；A3、A6、A9…横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，…；点A2010的坐标符合A3、A6、A9…的规律，按此规律求得点A2010的坐标．【详解】∵2010是3的倍数，∴符合分析中A3、A6、A9…的规律，即横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，…∵2010÷3=670，∴点A2010的坐标是A3的横纵坐标扩大670倍，A3坐标（，），故A2010的坐标为（，）【点睛】本题考查观察坐标规律的探索，根据题目给出的坐标，寻找出坐标之间的数量关系是解题的关键.例题26.如图，已知(1，0)，(1，1)，(-1，1)，(-1，-1)，(2，-1)…，则的坐标是________.【答案】（506，-505）．【解析】【分析】根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（A1和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和个点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理点A2021的坐标．【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限，

∵2021÷4=505…1，

∴点A2021在第四象限，纵坐标为-505，横坐标为505+1=506，

∴A2021的坐标是（506，-505）．

故答案为（506，-505）．【点睛】本题考查规律型-点的坐标，解题的关键是注意观察，寻找规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．变式17.在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为个单位长度/秒，则2021秒时，点P的坐标是（）A.（2021，） B.C. D.（2021，0）【答案】B【解析】【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．【详解】解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，观察，发现规律：P1（，），P2（1，0），P3（，﹣），P4（2，0），P5（，），…，∴P4n＋1（，），P4n＋2（，0），P4n＋3（，﹣），P4n＋4（，0），∵2021＝4×505＋1，∴P2021为（，），故选：B．【点睛】本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律．变式28.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．那么点A2020的坐标是________．【答案】（1010,0）【解析】【分析】这是一个关于坐标点的周期问题，先找到蚂蚁运动的周期，蚂蚁每运动4次为一个周期，题目问点的坐标，即，相当于蚂蚁运动了505个周期，再从前4个点中找到与之对应的点即可求出点的坐标.【详解】通过观察蚂蚁运动的轨迹可以发现蚂蚁的运动是有周期性的，蚂蚁每运动4次为一个周期，可得：，即点是蚂蚁运动了505个周期，此时与之对应的点是，点的坐标为（2，0），则点的坐标为（1010，0）【点睛】本题是一道关于坐标点的规律题型，解题的关键是通过观察得到其中的周期，再结合所求点与第一个周期中与之对应点，即可得到答案.变式39.如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为_________．【答案】【解析】【分析】根据正方形的性质和中点坐标公式求出点坐标，然后根据轴对称与平移坐标变换特征总结出点坐标变换规律：第次变换后点的对应点的坐标为：当为奇数时，，当为偶数时，，根据规律求解即可．【详解】解：正方形，顶点，，，对角线交点坐标为．根据翻折与平移的性质，第次变换后点的对应点的坐标为，即；第次变换后点的对应点的坐标为，即；第次变换后点的对应点的坐标为，即；第次变换后点的对应点的坐标为：当为奇数时，点的坐标为；当为偶数时，点的坐标为，连续经过次变换后，点的对应点的坐标为，即．故答案为：．【点睛】此题主要考查坐标的变换，解题的关键是根据题意找到变换的规律进行求解．变式410.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在，轴上，且．将正方形绕原点顺时针旋转，且，得到正方形，再将正方绕原点顺时针旋转，且，得到正方形，以此规律，得到正方形，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出的坐标位置即可．【详解】解：∵四边形正方形，且，∴B点的坐标为（1，1），将正方形OABC绕原点O顺时针旋转90°，且A1O=2AO，得到正方形，此时B1的坐标为（2，-2），再将正方绕原点顺时针旋转，且，得到正方形，此时B2的坐标为（-4，-4），……依次类推得B3的坐标为（-8，8），B4的坐标为（16，16），∴每四次循环一周，2019÷4=504...3，∴点B2019与B3同在一个象限内，∵-4=-22，8=23，16=24，∴点B2019的坐标为（-22019，22019），故答案为：（-22019，22019）．【点睛】本题考查了规律的探索，根据题意总结出规律是解题关键．变式511.已知菱形的边长为2，=60°，对角线，相交于点O．以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，再以为对角线作菱形∽菱形，„，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点，，，．．．．．．，，则点的坐标为________．【答案】（3n－1，0）．【解析】【详解】试题分析：∵菱形的边长为2，=60°，∴=2，∴=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵=1，∴=，∴=3，点A2的坐标为（3，0），即（32－1，0），同理可得：点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0），点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0），………∴点An的坐标为（3n－1，0）．故答案为（3n－1，0）．考点：1．相似多边形；2．菱形的性质；3．规律型．视频变式612.如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上．直线与轴交于点，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是________．【答案】【解析】【分析】利用待定系数法可得A1、A2、A3的坐标，进而得出各点的坐标的规律．【详解】解：A1（1，1），则有，解得，∵A1（1，1），是等腰直角三角形，∴B1（2,0）∵△B1A2B2是等腰直角三角形，所以设A2（2+n,n）,则n＝(n+2）+，解得n=2，∴A2（4，2），同理设A3（6+n，n），则有n＝（6+n）+，解得n＝4，∴A3（10，4），由此发现点An的纵坐标为，∴点的纵坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．变式713.在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，点．作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（是正整数）的顶点的坐标是________．【答案】【解析】【分析】根据中心对称的性质，分别求出点的坐标，然后总结出的坐标的规律，求出的坐标即可．【详解】解：∵是边长为的等边三角形，∴的坐标为，的坐标为，∵与关于点成中心对称，∴点与点关于点成中心对称，∵，，∴点的坐标是，∵与关于点成中心对称，∴点与点关于点成中心对称，∵，，∴点的坐标是，∵与关于点成中心对称，∴点与点关于点成中心对称，∵，，∴点的坐标是，∵，，，，…，∴的横坐标是，的横坐标是，∵当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，∴顶点的纵坐标是，∴（是正整数）的顶点的坐标是．故答案为：．【点睛】此题考查了坐标与图形变化和旋转问题，解题的关键是根据题意找到坐标之间的规律．变式814.如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，，，，，．（1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按这些变换规律将三角形变换成三角形，求和的坐标；（2）若按第（1）题的规律将三角形进行了次变换，得到三角形，请推测和的坐标．【答案】（1），；（2），【解析】【分析】(1)