2024-2025学年山西省大同市高二（上）期中数学试卷（A卷）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山西省大同市高二（上）期中数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y2=−4x的准线方程是(

)A.y=1 B.y=−1 C.x=1 D.x=−12.直线x−3y+3=0的倾斜角是A.π6 B.5π6 C.π33.如图，在四面体O−ABC中，OA=a,OB=b,OC=cA.−13a+23b+14.若点A(1,2)在圆x2+y2+2x−4y+a=0外，则实数A.a>1 B.1<a<5 C.a<5 D.2<a<65.如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合A={x|x=AB⋅APi,i=1,2,…,9}，则集合A.3

B.4

C.6

D.96.已知a>b>0，双曲线y2a2−x2b2=1的两个焦点为F1A.y=±23x B.y=±32x7.已知实数a，b，c，d满足3a−4b+3=0，3c−4d−7=0，则(a−c)2+(b−d)A.1 B.2 C.3 D.48.椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成(如图).在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”C的方程为x2+y2−xy=9，则该“斜椭圆”C的离心率为A.63 B.23 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线C：mx2+ny2=1(m,nA.若m>0，n>0，则曲线C为椭圆

B.若mn<0，则曲线C为双曲线

C.对任意实数m、n，曲线C都不会是抛物线

D.存在实数m、n，使得曲线C是由直线组成的图形10.在正方体ABCD−A1B1C1A.若x+y=1，则点P的轨迹为线段AD1

B.若x=12，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱A1D1中点的线段

C.若x=y，则三棱锥P−A1BC11.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则(

)A.若A的纵坐标为2，则|AF|=3

B.若直线AB过点F，则|AB|的最小值为4

C.若OA⋅OB=−4，则直线AB恒过定点(2,0)

D.若BB′垂直C的准线于点B′，且|BB′|=2|OF|，则四边形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知椭圆x26+y2m=1的焦距为13.若圆C：x2+y2=r214.已知F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于一条渐近线的直线交C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)求两焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，且过点A(52,−32)16.(本小题15分)

已知圆C：x2+y2−4x+2y−5=0和点M(1,−5)．

(1)过点M作一条直线与圆C交于A，B两点，且|AB|=6，求直线AB的方程；

(2)过点M作圆C的两条切线，切点分别为E，F17.(本小题15分)

如图，在以P为顶点的圆锥中，点O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底面圆的直径，C，D为底面圆周上的两点，且△ACD为等边三角形，E是母线PB的中点，PO=AB=4．

(1)求平面ADE与平面ACE的夹角的余弦值；

(2)设AE与PO交于点M，求直线CM与平面ADE所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知点A，B是椭圆C：x2+y24=1的上、下顶点，点P满足|PB|=2|PA|．

(1)求点P的轨迹方程；

(2)是否存在点P，使得过点P的动直线l交椭圆C于M，N两点，且BM与19.(本小题17分)

已知动点P到直线x=−2的距离比到点F(1,0)的距离大1，记动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过原点O的一条直线与圆E：(x+3)2+y2=r2(r>0)相切，交曲线C于另一点Q，且|OQ|=23，求圆E的方程；

(3)已知直线l与曲线C交于参考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.A

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.BCD

11.BC

12.5或7

13.{14.1315.解：(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

两焦点分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，椭圆过点A(52,−32)，

依题意c=2c2=a2−16.解：(1)圆C的标准方程为(x−2)2+(y+1)2=10，圆心为C(2,−1)，半径为r=10，

所以圆心C到直线AB的距离为d=r2−(|AB|2)2=10−32=1，

当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，

此时圆心C到直线AB的距离为|2−1|=1，符合题意；

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y+5=k(x−1)，即kx−y−k−5=0，

由题意可得d=|2k+1−k−5|k2+1=|k−4|k2+1=1，解得k=158，

此时直线AB的方程为y+5=158(x−1)17.解：(1)

如图，以O为原点，垂直于面PAB的直线，OB所在的直线，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

根据题意得，E(0,1,2)，A(0,−2,0)，D(3,1,0)，C(−3,1,0)，P(0,0,4)，

所以AE=(0,3,2),CE=(3,0,2),DE=(−3,0,2)．

令平面ADE的法向量为m=(x′,y′,z′)，

所以3y′+2z′=0−3x′+2z′=0，可取m=(23,−2,3)．

令平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，

所以3y+2z=03x+2z=0，可令n=(23,2,−3)，

令平面ACE与平面ADE的夹角为θ，

那么sin=|cos<CM，m>|=|CM⋅m||CM||m|=122133×518.解：(1)由题，设P(x,y)，A(0,2)，B(0,−2)，又|PB|=2|PA|，

所以x2+(y+2)2=2x2+(y−2)2，

化简得：x2+y2−203y+4=0，

所以点P的轨迹方程为：x2+y2−203y+4=0；

(2)存在，理由如下：

如图，设动直线l方程为y=kx+m(m≠−2)，直线BM斜率为k1，直线BN斜率为k2，

则直线BM的方程为：y=k1x−2，直线BN的方程为：y=k2x−2，

联立y=k1x−2x2+y24=1，化简得：(k12+4)x2−4k1x=0，

可得xM=4k1k12+4,yM=2k12−8k19.解：(1)已知动点P到直线x=−2的距离比到点F(1,0)的距离大1，

所以动点P到直线x=−1的距离与到点F(1,0)的距离相等，

根据抛物线的定义可知，点P在以F(1,0)为焦点，x=−1为准线的抛物线上，

即动点P的轨迹为y2=4x；

(2)联立x2+y2=12y2=4x，

解得x=2y=±22，

设Q(x,y)(x>0)，

由对称性，不妨取Q(2,22)，

则kOQ=2，

直线OQ方程为y=2x，

即2x−y=0，

由圆E：(x+3)2+y2=r2(r>0)的圆心E(−3,0)到2x−y=0的距离为r，

所以r=|