2024高考数学专项复习专题02 超几何分布 (典型题型归类训练)含解析

2024高考数学专项复习专题02超几何分布（典型题型归类训练）

一、必备秘籍

1、超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件（不放回），用X表

示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X=k)=k=m,m++r

其中〃，N,MsN；MSN,n<N,m=max{O,n-N+M]fr=min{&M},则称随机变

量X服从超几何分布.

2、公式P(X=k)=中个字母的含义

玛

N—总体中的个体总数

M一总体中的特殊个体总数（如次品总数）

〃一样本容量

k一样本中的特殊个体数（如次品数）

注意：

（1）”由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”；

（2）不放回抽样：

（3）注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取电范围.

二、典型题型

题型一：超几何分布的概率问题

1.（2024上•浙江湖州•高三统考期末）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会

之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23FI,杭州亚运会开幕式隆重举行.

某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N名观众设置了两轮“庆亚运、

送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台

会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这N名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X（幸

运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.

⑴已知小杭是这前N名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为：，求N的值；

⑵当P（X=20）取到最大值时，求N的值.

2.（2023•上海普陀•统考一模）我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休〃已成

为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休〃的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调

查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.

女男

67789278

123358323344567

01368994023344589

2385234578

24604

⑴经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；

⑵经统计年龄在［50,59）的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选

取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）

3.（2023♦全国•高二课堂例题）某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动.袋中装有18个除颜色外其余均相

同的小球，其中8个是红球，10个是白球.抽奖者从中一次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖，抽至IJ

2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到0个红球不得奖.求得一等奖、二等奖和三等奖的概率.

4.（2022上•上海虹口•高二华东师范大学第一附属中学校考期末）某批“件产品的次品率为2%,现从中任

意地依次抽出3件进行检验.

⑴当〃=500,〃=5000,n=5（m）,若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

（2）当〃=500,“=5000,〃=50000,若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

⑶（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系.

题型二：利用超几何分布求分布列、期望和方差

1.（2024上•山东德州•高二统考期末）为落实"双减"政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护

工作.现随机抽取该小学三年级的8个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下:

班级代号12345678

需看护学生人数2022273025233221

⑴若将上述表格中人数低于25人的班级两两组合进行看护，求班级代号为1、2的两个班合班看护的概率;

⑵从已抽取的8个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数低于25人的班级数为X,

求X的分布列及数学期望.

2.（2024上•广东潮州•高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，

首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又

一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名

游客的评分分别落在区间[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]内,统计结果如频率分布直方图所

⑴根据频率分布直方图，求这10C名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点，直为代表）；

⑵为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组150,60）,160,70）,

180,90）的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于180,90）的人数；的分布列和

数学期望.

3.（2024上•广东揭阳•高三统考期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，

记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成［6,10）,［10,14）,［14,18）,［18,22）,［22,26］这5组,

并得到如下频率分布直方图：

⑴估计全班同学的平均进球个数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在［10,14）,［14,18）,［22,26］内的同学中抽取8人进行培

训，再从中抽取3人做进一步培训.

（i）记这3人中进球个数在［14,18）的人数为X,求X的分布列与数学期望；

（ii）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率.

4.（2023上•河南南阳•高三南阳中学校考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司

对该地区〃名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都

在区间［051.1］内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的〃，b,c,d满足

”=。+0.5=人+1=a+1.5,且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400.

（2）现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，

①求在各组应该抽取的人数；

②在前2组所抽取的人中，再随双抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X,求随机变量X的分布列与

数学期望.

5.（2023上•甘肃白银•高三甘肃省靖远县第一中学校联考阶段练习）某商家2023年1月至7月A商品的月

销售量的数据如下图所示，若月份工与A商品的月销售量），存在线性关系.

（1）求月份工与A商品的月销售量）的回归直线方程；

⑵若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售最低于50的视为良好，记5分，月销售量

不低于50的视为优秀，记10分，从合格月中任取3个月，川X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望.

2>/一，心7

参考公式：回归直线方程£，=小+4,其中6=9-加，力=号---------2内=1344万=43.

后2i=l

1=1

三、专项训练

1.（2024上•湖南常德•高三常德市一中校考阶段练习）火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，

针对■这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率1%对每年顾客投诉次数）'

（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率x%和每年顾客投诉次数N的数据作了

初步处理，得到下面的一些统计量的值.

88

Zx

1=1i=!

;=1C=1

60059243837.293.8

⑴求）'关于％的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为84%,试估算2024年顾客对火车站投诉的

次数：

⑵根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀〃，2年为“良好〃，若从这8

年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为X,求X的分布列和数学期望.

附：经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

〃__

.2菁8一〃.，

方=三---------，a=y-bx

/=!

2.（2023・陕西西安•统考一模）为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对

照组（不加药物）和实验组（加药物）.

⑴设其中两只小鼠中在对照组中小鼠数目为X,求X的分布列利数学期望；

⑵测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）

对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

（i）求40只小鼠体重的中位数，〃，并完成下面2x2列联表:

<23.4之23.4

合计

对照组

实验组

合计

（ii）根据2x2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.

n(ad-bc)~

附：K?=其中〃=a+Z?+c+d.

[a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

福4）0.100.050.010

k。2.7063.8416.635

3.（2023上呐蒙古呼伦贝尔•高二海拉尔第二中学校考期末）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球

?

有出个，口知从盒了中任取2个球都是红球的概率为百.

⑴求力的值;

⑵现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为X,求X的分布列和数学期望.

4.（2023•全国•模拟预测）为落实节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使徒寿命进行调

查统计，随机抽取A型和8型设备各100台，得到如下频率分布直方图.

⑴将使用寿命

O15002IXM)25003000550040(10使用府命

B电

超过2500小时和不超过25（）。小时的台数填入卜.面的列联表，并根据小概率值a=（）.（X）l的独立性检验，判

断使用寿命是否超过2500小时与型号有没有关联，说明理由.

使用寿命

型号超过2500小不超过2500小合计

时时

A型

B型

合计

（2）用分层抽样的方法从使用寿命不超过2500小时的A型和8型设备中共抽取16台，再从这16台设备中随机

抽取2台，设其中A型设备有X台，求X的分布列和E（X?）.

⑶现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间若设备损坏，则立即更换同型

号设备（更换设备的时间忽略不计）.A型和3型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和3型设

备每台每小时分别耗电2度（1度=1千瓦时）和6度，电价为0.75元/度.用频率估计概率，只考虑设备的成

本和电费，你认为应选择哪种型号的设备？说明理由.

,n(ad-bc\..,

附：/-=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'具中〃=

*/次）0.0500.010().(X)1

k03.8416.63510.828

5.(2023•全国•高二课堂例题)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随

机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.

⑴分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列：

(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率:

6.(2022上•上海嘉定•高二校考期中)已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3

轮发出，每轮随机发出5张卡.

⑴求事件"第1轮无红色卡牌”的概率Pi:

(2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌〃的概率P2；

⑶求事件"每轮均有红色卡牌〃的概率.

7.(2022•北京•景山学校校考模拟预测)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日为了解某地

区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学

生的日平均阅读时间(单位：小时〕，并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],

(14,16],(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

频率

碓

0.15................

024681012141618日平均阅读时间/小时

⑴从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在（10/2］内的概率；

（2）为进•步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在

（12,14］,（14,16］,（1618］三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3

人，记日平均阅读时间在（14,16］内的学生人数为X,求X的分行列和数学期望；

⑶以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用户（A）表示这10名学生中恰有

女名学生日平均阅读时间在（8,12］内的概率，其中A=0,1,2,10.当P（灯最大时，写出攵的值.（只

需写出结论）

8.（2020•福建福州・统考模拟预测）某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，

物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将

每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、

35%、13%和2%,并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地

理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.

（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分丫服从正态分布M75.8,36）.若y~N（〃,『），令上幺，则

（7

7-mi）,请解决下列问题：

①若以此次高一学生生物学科原始分c等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多

少分？（结果保留为整数）

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记J为被

抽到的原始分不低于71分的学生人数，求24=幻取得最大值时々的值.

附：若"mi）,则M0.8）«0.788,Pg,1.04）。0.85.

9.（2020・安徽安庆•统考二模）某小区为了加强对“新型冠状病毒〃的防控，确保居民在小区封闭期间生活不

受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民

户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.

（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.

①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在［3,4）（单位：kg）的概率是多少？

②若抽取的5户中购买量在［3,6］（单位：kg）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3

户中需求量在［3,6］（单位：kg）的户数为求J的分布列和期望；

（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则称该居

民户称为〃迫切需求户"，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为〃迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.

10.（2020上•重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考

“3+1+2”中的“2〃要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋

分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从

高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%,35%,35%,13%,2%,等

级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至七等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分加转换到

［86J00］、［71,85］、［56,70］、［41,55］、［30,40］五个分数区间,得到考生的等级分,等级转换分满分为100

分.具体转换分数区间如下表：

等级ABC1)E

比例15%35%35%13%2%

[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

赋分区间

Y-YT-T

而等比例转换法是通过公式计算:22

Y-Y1~T-T]

其中X，匕分别表示原始分区间的最低分和最高分，工、乙分别表示等级分区间的最低分和最高分，丫表

示原始分，表示转换分，当原始分为时，等级分分别为（、

7Y，tT2

假设小南的化学考试成绩信息如下表:

考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间

化学75分5等级[69,84][71,85]

84-7585-T

设小南转换后的等级成绩为了，根据公式得:

75-69-7-71

所以7'=76.6。77（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.

已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成

绩获得A等级的学生原始成绩统计如下表：

成绩95939190888785

人数1232322

（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率;

（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为久求J的分布

列和期望.

专题02超几何分布（典型题型归类训练）

一、必备秘籍

1、超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件（不放回），用X表

示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为

（）

Px=k=-^^k=/?7,m+1,777+2,r

c”

其中〃，N,MsN*，MSN,n<N,=max{O,〃-N+M},r=min{〃,M},则称随机变

量X服从超几何分布.

2、公式P（X=Q=笔时

中个字母的含义

C/v

N—总体中的个体总数

M一总体中的特殊个体总数（如次品总数）

〃一样本容量

女一样本中的特殊个体数（如次品数）

注意：

（1）”由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”：

（2）不放回抽样；

（3）注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取道范围.

二、典型题型

题型一：超几何分布的概率问题

1.（2024上，浙江湖州•高三统考期末）杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会

之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.

某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前N名观众设置了两轮“庆亚运、

送吉祥物〃的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这N名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台

会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这N名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X（幸

运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.

⑴已知小杭是这前N名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为求N的值；

⑵当尸（X=2（））取到最大值时，求N的值.

【答案】⑴45

（2）22

【分析】（1）记“小杭被抽中〃为事件A,“小杭第i次被抽中”为事件A（，=l，2）,可知A=A4+A无+彳&,

利用独立事件的概率公式可得出关于N的等式，解之即可；

C6p10（i

（2）求得.P（X=20）=上詈至，解不等式箕21,解出N的取值范围，即可得解.

【详解】（1）解：记“小杭被抽中〃为事件A,“小杭第i次被抽中"为事件4（i=L2）.

P（A）=NA6P（M）+P（*）=（S+保若卜2=?

整理可得N2-54N+405=0,即（N—9）（N-45）=（）,

乂因为N215且NcN',解得N=45.

（?）解："X=20"表示第一次在N个人中抽取IS个.

第二次抽取的15个人中，有5人在第一次抽取的15人以外，另外的10个人在第一次抽取的15人中,

「15「5「10「5「10

p（x=2o）=y，=今a记诙=今和，

"VLRCJV"V

纵“一，…C；_（N_14）!N!15!.（N-14）!5；（N_20）!_（N-14『

«,vC3C^_155!（7V-19）!15!-（yV-15）!（N+l）!（N—15）!"（/V+l）（/V-19），

解得NK21.5,乂NwN,所以义=22时;P（X=20）取最大值.

2.（2023•上海普陀•统考一模）我国随若人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，"延迟退休"己成

为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休〃的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调

查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.

女男

67789278

123358323344567

01368994023344589

2385234578

24604

⑴经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；

（2）经统计年龄在［50.59）的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选

取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）

【答案】⑴44.5

（2）|

【分析】（1）求出指数，再根据百分位数的求法即可；

（2）利用组合公式结合古典概型即可得到答案.

【详解】（1）由条件得，指数i=50x60%=30,

则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的）顺序排列后的第30人与第31人的年龄平均

值，

由茎叶图可知，第30人的年龄为44,第31人的年龄为45,

则所求的第60百分位数是44.5.

（2）由茎叶图可知，年龄在150,59）的被调查者共9人，其中6名男性，3名女性，

令A为至少有三人投赞成票，依题意得，

GeyJ

被选中的4人中有两名女性•名男性投赞成票的概率是

C25

被选中的4人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是笑乒=［，

GC；15

被选中的4人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是零，

cy15

则被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率为P(A),1+2卷+1)

3.(2023•全国•高二课堂例题)某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动.袋中装有18个除颜色外其余均相

同的小球，其中8个是红球,10个是白球.抽奖者从中■次抽出3个小球，抽到3个红球得一等奖,抽到

2个红球得二等奖，抽到1个红球得三等奖，抽到。个红球不得奖.求得一等奖、二等奖和三等奖的概率.

【答案】得一等奖的概率约为0.0686,得二等奖的概率约为0.3431,得三等奖的概率约为0.4412.

【分析】由题意，用X表示抽到的红球数，则X〃(18,8,3),根据超几何分布的概率公式得解.

【详解】解：从18个小球中抽取3个时，有C；种等可能的结果，用X表示抽到的红球数，

则X”(18,8,3),则

P(得一等奖)=P(X=3)=^2^=—«0.0686.

Cl8816

d

P(得二等奖)=P(X=2)=*C*2f=O暴RO土0.3431.

C：8olO

尸(得三等奖)=P(X=l)=^i=—«0.4412.

816

因此，得一等奖的概率约为0.0686,得二等奖的概率约为0.3431,得三等奖的概率约为0.4412.

4.(2022上•上海虹口•高二华东师范大学第一附属中学校考期末)某批〃件产品的次品率为2%,现从中任

意地依次抽出3件进行检验.

(1)当〃=500,〃=5000,〃=5(XXX),若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

(2)当〃=500,“=5000,77=50000,若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？

(3)(1)、(2)分别对应哪种分布，并结合(1)(2)探究两种分布之间的联系.

【答案】(1)0.057624；

(2)见解析；

⑶见解析.

【分析】(1)当〃二500时，如果放回，是二项分布，计算概率值；

(2)如果不放回，是超几何分布，分别计算概率值；

(3)对超几何分布与二项分布关系的认以从共同点、不同点和联系三个方面进行说明.

【详解】(1)若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这〃件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为0.02,

可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数X~8(3,0.02),

恰好抽到1件次品的概率为P(X=1)=C；x0.02x(1-0.02)2=3x0.02x0.982=0.057624.

(2)若以不回放的方式抽取，抽到的次品数X是随机变量，X服从超几何分布，X的分布与产品的总数〃

有关,

所以需要分3种情况分别计算：

①〃=500时，产品的总数为500件，其中次品的件数为500x2%=10件，合格品的件数为490件,

“、490x489

I0x

2x1

从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为P(X=1)«0.057853.

500x499x499

3x2x1

②〃=5000时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为5(XX)x2%=l(X)件，合格品的件数为4900件,

从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为

，八八4900x4899

100x

C|（x）C4

P（X=1）=90a2Kl«0.057647.

5000x4999x4998

3x2x1

③“=50000时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为50000x2%=1000件，合格品的件数为49000

件,

从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为

49000x48999

plr210（X）X-------

057626

p（X少若==50000x499就19998.°--

3x2x1

(3)对超几何分布与二项分布关系的认识:

共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.

不同点：

1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取：

2、超儿何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率〃;

联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布.

题型二：利用超几何分布求分布列、期望和方差

1.(2024上•山东德州•高二统考期末)为落实“双减〃政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护

工作.现随机抽取该小学三年级的8个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下：

班级代号12345678

需看护学生人数2022273025233221

⑴若将上述表格中人数低于25人的班级两两组合进行看护，求班级代号为1、2的两个班合班看护的概率;

(2)从已抽取的8个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数低于25人的班级数为X,

求X的分布列及数学期望.

【答案】(l)g

⑵分布列见解析，£（%）=|3

【分析】（1）求出将人数少于25人的4个班两两组合进行课后看护的不同组合方法种数，结合古典概型的

概率公式可求得所求忏件的概率;

（2）分析可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出

随机变量X的分布列，进而可求得E（X）的值.

【详解】（1）解：若将表中人数少于25人的4个班两两组合进行课后看护,

共3=3种不同的方法，其中班级代号为1、2的两个班合班看护共1种方法.

记A表示事件“班级代号为1、2的两个班合班看护”，则其概率/＞（*=；.

（2）解：随机变量X的可能取值为0、1、2、3,

可得P(x=o)=3=2=(，P(X=1)=等=精，

CyDO14CqDO/

*X=2）=罟啜4S=罟

2.（2024上•广东潮州•高三统考期末）2023年9月26日晚,位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了,

首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又

一里程碑.为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名

游客的评分分别落在区间[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]内,统计结果如频率分布直方图所

⑴根据频率分布直方图，求这10C名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点，’直为代表）；

⑵为了进一步了解游客对潮州美食的评价,采用分层抽样的方法从满意度评分位干分组150,60）,[60.70）.

［80,90）的游客中抽取10人,再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于［80,90）的人数J的分布列和

数学期望.

【答案】（1）74

（2）分布列见解析，数学期望为《.

【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；

（2）先由题意得到随机变量4的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可.

【详解】（1）根据频率分布直方图得：

1=（55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005）x10=74.

（2）由题意可知［50,60）,［60,70）和［80.90）的频率之比为：1:2:2,

故抽取的10人中［50,60）,［60,70）和［80,90）分别为:2人,4人，4人，

随机变量4的取值可以为0J2,3,

P（＞°）=m=*，P（*D=等=［

jo°jo乙

S）号4，3哈卷,

6210305

3.（2024上•广东揭阳•高三统考期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，

记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成［6,10）,［10,14）,［14,18）,［18,22）,［22,26］这5组,

并得到如下频率分布直方图：

⑴估计全班同学的平均进球个数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

⑵现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在［1044）,［14,阳），［22,26］内的同学中抽取8人进行培

训，再从中抽取3人做进一步培训.

(i)记这3人中进球个数在[14,18)的人数为X,求X的分布列与数学期望；

(ii)已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率.

【答案】(1)17.12

34

(2)(i)分布列见解析，(ii)-

【分析】(1)每一组的中点值乘以对应的频率即可得到平均值：

(2)由频率比得到各小组内的人数，再利用超几何分布得到X的分布列与数学期望，即可得到(的答

案；又利用条件概率即可得到(ii)的答案.

【详解】(1)该班同学的平均进球个数：

1=8x0.02x4+12x0.04x4+16x0.08x4+20x0.07x4+24x0.04x4=17.12.

(2)由题意可知进球个数在[10,14),[14,18),[22,26]内的频率分别为0.16,0.32,0.16,

频率比为0.16:0.32:0.16=1:2:1；

所以抽取的8人中，进球个数在U0,14),[14,18),[22,26]内的人数分别为2,4,2.

(i)由题意可知，X=0,1,2,3,

C31C'C23

所以P(X=0)=m=霓，P(X=l)=-^=-,

P(X=2)=^-=-,P(X=3)=冬」，

C7C14

所以X的分布列为

XU123

11

33

P14

77

一一13313

所以七(X)=0x二■+lx；+2x；+3xy^=7.

1477142

(ii)记事件A="抽取的3人的进球个数不全在同一区间”,

事件“=”抽取的这3人的进球个数在不同区间”，

C3-C,13C；C；C=2

则P(A)=8p(AB)=

14C；=，'

2

所以W)=箭

14

4

即这3个人的进球个数在不同区间的概率为百.

4.（2023上•河南南阳•高三南阳中学校考阶段练习）假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司

对该地区〃名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都

在区间［051.1］内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的mb,c,d满足

4=c、+0.5=0+l=a+1.5,且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400.

（2）现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调杳，

①求在各组应该抽取的人数；

②在前2组所抽取的人中，再随巩抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X,求随机变量X的分布列与

数学期望.

【答案】（l）a=1.5,b=2,c=2.5,d=3

o

⑵①各组应该抽取的人数分别为3,4,5,6：②分布列见解析，数学期望为'

【分析】（1）结合题意及频数与频率，频率之和为1等知识建立方程组，计算即可；

（2）根据分层抽样的定义即可求得各组应该抽取的人数；根据古典概型概率公式结合组合数可求得分布列,

进一步求得数学期望.

【详解】（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为（18x0.1=0.08,又因为第五小组的皴数为2400,

所以样本容量〃=鬻=30000,

因为第六小组的频率为0.2x0.1=0.02,所以第六小组的频数是30000x0.02=600.

由频率之和为1,得（a+〃+c+d+0.8+0.2）x0.1=l,所以a+〃-c+d=9.

因为频率分布直方图中的。也Gd•满足d=c+Q5=A+l=a+1.5,

所以〃=a+0.5,c=a+l,d=。+1.5.

所以代入。+〃+C+4=9中，得a+a+0.5+a+l+a+1.5=9,

得々7+3=9,解得。=1.5.所以6=2,c=2.5,d=3.

（2）①因为前4组的频率之比为a:A:c:d=1.5:2:2.5:3=3:35:6,

且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，

所以在［0.5,0.6）,［0.6,。7）,［0.7,。8Mo.8,。9）应该抽取的人数分别是

3456

18x=3,18x=4,18x=6.

3+4+5+63+4+5+63+4+5+63+4+5+6

②由题意，随机变量X的所有可能取值是0J2,3.则

p（x=o）咯q,p（x=i）=等q,p（x=2）=皆q*x=3）=C=_L

C；35

故随机变量X的分布列为

X0123

418121

p35353535

4IX12I9

故随机变量X的数学期望为E(X)=0X£+1X裴+2X^+3X2=5.

5.（2023I：•甘肃白银•高三甘肃省靖远县第•中学校联考阶段练习）某商家2023年1月至7月A商品的月

销售量的数据如卜图所示，若月份x与A商品的月销售量》存在线性关系.

⑴求月份工与A商品的月销售量）的回归直线方程；

（2）若规定月销售量大于35的月份为合格月，在合格月中月销售量低于50的视为良好，记5分，月销售量

不低于50的视为优秀，记10分，从合格月中任取3个月，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望.

^x.^-nxy7

参考公式：回归直线方程»=去+4，其中方=9-应＞=弓---------=1344,^=43.

,=,

1-1

【答案】⑴9=5X+23

⑵分布列见解析，七”）二21

【分析】（1）由题意先分别算出灭=4,£＞；=140,结合己知参数即可算出3=5，方=23,从而即可得

（=1

解.

（2）合格月有5个，其中记为5分的月份有3个，记为10分的月份有2个，由超几何分布的概率公式即

可求出分布列，进一步得出数学期望.

【详解】（1）x=-（l+2+3+4+5+6+7）=4,y=43,g.K/=1344,

7r=1

7

=12+22+32+42+52+62+72=140,

r-1

所以$=7i=5,6=E1=43-5X4=23,

140-