人教版九年级上册数学期中考试试卷及答案

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是（）A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2+7 D．y=（x+2）2+73．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为（）A．70° B．90° C．110° D．120°4．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定5．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＞0，c＜06．将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（）A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x﹣2）2﹣3 D．y＝5（x+2）2﹣37．如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（）A． B．4 C． D．88．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是cm，那么这个的圆锥的高是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm9．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若抛物线y=x2﹣2x+d与x轴有两个不同的交点，则点P（）A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．无法确定10．小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇，折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的，折扇张开的角度为120°．小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为24cm，宽为21cm．小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴时的损耗，此时扇面的宽度AB为（）A．21cmB．20cmC．19cmD．18cm二、填空题11．一个正n边形的边长为a，面积为S，则它的边心距为_____．12．圆锥的母线长为3，底面半径为1，则这个圆锥的侧面展开图圆心角为________°13．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离______________．14．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是_____．15．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是_____；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是_____．16．如图，E、F是正方形ABCD的边AD上有两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为3，则线段DH长度的最小值是_____．三、解答题17．如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片，试找出它的圆心，并将它还原成一个圆．要求：①尺规作图：②保留作图痕迹（可不写作法）18．如图，⊙O的半径OB=5cm，AB是⊙O的弦，点C是AB延长线上一点，且∠OCA=30°，OC=8cm，求AB的长．19．已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距r6，面积S6．20．如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．21．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．22．如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5．（1）若sin∠BAD=，求CD的长；（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．23．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x(2＜x＜4）（1）当时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD×CD的值最大？最大值是多少？24．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将绕着点旋转180°后得到．（1）在图中画出；（2）求点、点的对称点和的坐标；（3）请直接写出和的数量关系和位置关系．25．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【分析】根据中心对称图形的概念，轴对称图形与中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合,即可解题.A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选B.考点：中心对称图形.【详解】请在此输入详解！2．A【解析】y=x2-4x+3=（x2-4x+4）-4+3=（x-2）2-1故选A．3．C【详解】试题解析：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+⊂BDC，∴∠BDC=∠BOC-∠B=100°-30°=70°，∴∠ADC=180°-∠BDC=110°．故选C．考点：圆周角定理．4．C【详解】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，因5＞3，即d＜r，所以直线L与⊙O的位置关系是相交.故选C5．D【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，所以a＞0，c＜0，故选D.考点：二次函数的图像抛物线的性质.6．A【解析】试题分析：先确定抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解：抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点的坐标为（﹣2，3），所以新抛物线的表达式是y=5（x+2）2+3．故选A．考点：二次函数图象与几何变换．7．C【详解】∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE=CD，∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∴OE=CE，设OE=CE=x，∵OC=4，∴x2+x2=16，解得：x=2，即：CE=2，∴CD=4，故选C．8．A【详解】一只扇形的弧长是6πcm，则底面的半径即可求得，底面的半径，圆锥的高以及母线（扇形的半径）正好构成直角三角的三边，利用勾股定理即可求解：设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π，解得：r=3．则圆锥的高是：（cm）．故选A．9．A【分析】可以先根据△得出d的范围，则可以判断p的位置.【详解】因为抛物线y=x2﹣2x+d与x轴有两个不同的交点，所以△＞0，得d＜1，所以p在圆内部，所以答案选择A项.【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式以及点与圆的位置关系.10．D．【解析】试题解析：如图所示：由题意可得：当在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，此时扇形与矩形的边长相切，切点为E，过点O作OF⊥CB，于点F，则∠ABC=∠OBF=30°，OF=BO，AC=AB，设FO=xcm，则BF=xcm，BO=2xcm，∵折扇扇面的宽度AB是骨柄长OA的，∴AB=6xcm，故AC=3xcm，BC=3xcm，故2×（x+3x）=24，解得：x=3，故AB=6x=18（cm），故选D．考点：1．扇形面积的计算；2．弧长的计算．11．【解析】【分析】可以先设边心距为r，根据每一个正n边形的边长为a，面积为S可知每个三角形的面积为，得出每个三角形面积，即可得出答案.【详解】设边心距为r,因为正n边形的边长为a，面积为S，所以每个三角形的面积为，所以，所以.【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正多边形的定义是解答此题的关键.12．120【分析】圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【详解】圆锥侧面展开图的弧长是：2π，设圆心角的度数是x度．则=2π，解得：x=120．考点：圆锥的计算．13．8cm或22cm【解析】（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N，

∵AB∥CD，

∴ON⊥CD，

∵AB=40cm，CD=48cm，

∴BM=20cm，DN=24cm，

∵⊙O的半径为25cm，

∴OB=OD=25cm，

∴OM=15cm，ON=7cm，

∵MN=OM-ON，

∴MN=8cm，

（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，

∵AB∥CD，

∴ON⊥CD，

∵AB=40cm，CD=48cm，

∴BM=20cm，DN=24cm，

∵⊙O的半径为25cm，

∴OB=OD=25cm，

∴OM=15cm，ON=7cm，

∵MN=OM+ON，

∴MN=22cm．

∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．.故答案是：8cm或22cm14．2+【详解】试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，∴AE=AB=，PA=2，根据勾股定理得：PE=1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=∵⊙P的圆心是（2，a），∴a=PD+DC=2+．【点睛】本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的．15．直径所对的圆周角是直角经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．【详解】解：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【点睛】此题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟知圆周角定理以及切线的判定方法.16．【解析】【分析】先根据正方形性质可得AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,然后利用SAS证明△ABE与△DCF全等，可得∠DCF=∠GAD，利用SAS证明△ADG≌△CDG，可得∠DCF=∠GAD，从而∠EBA=∠GAD，求出∠AHB=90°，再利用勾股定理和三边关系即可得出答案.【详解】在正方形ABCD中，AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,所以△ABE≌△DCF,所以∠EBA=∠FCD,所以△ADG≌△CDG,所以∠DCF=∠GAD，所以∠EBA=∠GAD,因为∠BAH+∠GAD=∠BAD=90°，取AB的中点O，连接OH,OD,则OH=AO=AB=,在直角三角形AOD中，OD=,根据三角形三边关系，OH+DH＞OD，所以当O,D,H三点共线时，DH最短，最小值为.【点睛】本题考查了三角形全等的证明，勾股定理，熟悉题意以及概念是解决本题的关键.17．见解析【分析】在圆弧作两条弦AB，BF，分别作出AB，BF的中垂线，交于点O，则O为圆心.【详解】解：在圆弧作两条弦AB，BF，分别作出AB，BF的中垂线，交于点O，以点O为圆心，OA的长为半径，则圆O是所求的圆．【点睛】本题考查了补全圆，熟悉中垂线的定义是解答本题的关键.18．6【解析】试题分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂经定理可得AD＝BD，然后在Rt△DOC中，求出OD的长，在Rt△OBD中，求出BD的长，可得AB的长.试题解析：解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD＝BD=12在Rt△DOC中，∠OCA＝30°，OC＝8cm，∴OD＝12在Rt△OBD中，BD＝OB2−O∴AB＝2BD＝6（cm）．10分考点：1.垂经定理；2.三角函数；3.勾股定理.19．54【解析】【分析】连接OA,OB,过点O作OG⊥AB于G，可证明△AOB是等边三角形，即可求得外接圆半径，以及边心距，求得一个三角形的面积即可求出总面积.【详解】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，∵∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=6，即R=6，∵OA=OB=6，OG⊥AB，∴AG=AB=×6=3，∴在Rt△AOG中，r6=OG=cm，∴S6=×6×6×3=54cm2．【点睛】本题考察了正六边形与圆的内切，得到△AOB是等边三角形是解决本题的关键.20．不能【分析】计算当船从中间过时能否碰到桥顶即可解答.【详解】解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，在Rt△AOD中，r2=202+（r﹣10）2，解得r=25，∴OD=r﹣10=15，在Rt△OEG中，r2=152+OG2，解得OG=20，∴可以通过的船的高度为GD=OG﹣OD=20﹣15=5，∵6＞5，∴船不能通过．【点睛】本题考查了实际问题与勾股定理结合与圆结合，假设法可以很好解答本题，熟悉运用勾股定理是解答本题的关键.21．（1）AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切【分析】(1)、连接BD，根据AB为直径，则∠ACB=∠ADB=90°，根据Rt△ABC的勾股定理求出AC的长度，根据CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，从而得出AD的长度；(2)、连接OC，根据OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根据PC=PE得出∠PCE=∠PEC，然后结合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，从而得出∠PCB=∠ACO，根据∠ACB=90°得出∠OCP=90°，从而说明切线.【详解】解：(1)、①如图，连接BD，∵AB是直径∴∠ACB=∠ADB=90°，在RT△ABC中，AC=②∵CD平分∠ACB，∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形∴AD=AB=×10=5cm；(2)、直线PC与⊙O相切，理由：连接OC，∵OC=OA∴∠CAO=∠OCA∵PC=PE∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠CAE+∠ACE∵CD平分∠ACB∴∠ACE=∠ECB∴∠PCB=∠ACO∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．考点：(1)、勾股定理；(2)、直线与圆的位置关系.22．（1）（2）【解析】试题分析：（1）首先根据锐角三角函数求得的两条直角边，再根据面积计算其斜边上的高，进一步根据垂径定理计算弦长；

（2）根据直角三角形的两个锐角互余结合已知条件求得扇形所对的圆心角，进一步求其面积．试题解析：（1）∵AB是的直径，在中，又∵，∴，,∴，∴,∴，∴.（2）∵AB是的直径，∴,,所以设则由则扇形OAC.23．（1）PA=,PB=（2）当时，PD×CD有最大值，最大值是2.【详解】⑴由已知知，AB∥PC，证得△PCA∽△APB.求出PA的长，利用勾股定理求得PB的长⑵过O作OE⊥PD，求出PD和CD的积，即可得出结论解：⑴∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l.又∵PC⊥l，∴AB∥PC.∴∠CPA=∠PAB.∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.24．（1）见解析；（2），；（3），【分析】（1）延长AO到A′，使A′O=AO，延长BO到B′，使B′O=BO，然后连接A′B′即可得到△OA'B'；

（2）根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数写出即可；

（3）根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小进行解答．【详解】（1）如图，为所作；（2）∵点，点，∴点，点．（3）根据旋转的不变性，AB=A′B′，

∵∠A=∠A′，

∴AB∥A′B′．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟记旋转的性质并准确作出图形是解题的关键．25．（1）A(-1,0)，B(2,3)（2）△ABP最大面积s=;P（，﹣）（3）存在；k=【解析】【分析】（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组即可；（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利用S△ABP=S△PFA+S△PFB，，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分