人教版九年级上册数学期中考试试卷含答案详解

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．方程3x2－4x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和4 B．3和－4 C．3和－1 D．3和12．已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（）A．-2 B．2 C．-3 D．33．下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正方形4．将二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（）A．（1，3） B．（2，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，1）5．如图，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，且，则的度数等于（）A． B． C． D．6．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y17．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（）A．12 B．18 C．24 D．368．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A． B． C． D．9．若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A． B． C． D．10．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A． B． C．1 D．0二、填空题11．若点与点关于原点对称，则_________.12．“武汉樱花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为30万人次，2016年约为40万人次，设观赏人数年平均增长率为，则根据题意可列方程________.13．已知二次函数，若，则y的取值范围为______．14．二次函数的图象的顶点在坐标轴上，则的值为__________．15．若，、为线段上的两点，，且，若，，则的长为__________．16．二次函数，若对满足的任意都有成立，求实数的范围_______．17．如图，已知正方形的边长为3，是边上的点，将绕点逆时针旋转得到.（1）画出旋转后的图形，.（2）若，求和.三、解答题18．解一元二次方程：（1）（2）19．来自武汉高校的若干个社团参加了“敢为人先，追求卓越”的城市精神的研讨会，参加研讨会的每两个社团之间都签订了一份合作协议，所有社团共签订了45份协议，共有多少个社团参加研讨会？20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为.（1）将关于轴作轴对称变换得，则点的坐标为______.（2）将绕原点按逆时针方向旋转得，则点的坐标为______.（3）在（1）（2）的基础上，图中的，是中心对称图形，对称中心的坐标为______.（4）若以点、、、为顶点的四边形为菱形，直接写出点的坐标为______.21．一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，墙长，设平行于墙的边长为.（1）设垂直于墙的一边长为，直接写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围.（2）求菜园的最大面积.22．关于的方程的两根时等腰三角形的底和腰，且这样的等腰三角形有且只有一个，求的范围.23．已知，点、，将线段绕着原点逆时针方向旋转角度到，连接，将绕着点顺时针方向旋转角度至，连接.（1）当，时，求的长.（2）当，时，求的长.（3）已知，当时，改变的大小，求的最大值.24．如图，已知点D是等腰直角三角形ABC斜边BC上一点（不与点B重合），连AD，线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连CE，求证：BD⊥CE．25．已知抛物线顶点在轴负半轴上，与轴交于点，，为等腰直角三角形.（1）求抛物线的解析式（2）若点在抛物线上，若为直角三角形，求点的坐标（3）已知直线过点，交抛物线于点、，过作轴，交抛物线于点，求证：直线经过一个定点，并求定点的坐标.参考答案1．B【详解】方程3x2－4x－1＝0的二次项系数是3，和一次项系数是-4.故选B.2．B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．【详解】设另一根为m，则

1•m=2，解得m=2．

故选B．【点睛】考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=．要求熟练运用此公式解题．3．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.【详解】A.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；D.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故不符合题意；故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.4．B【详解】二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得y=（x﹣1﹣1）2﹣2+1，即y=（x﹣2）2﹣1，所以顶点坐标为（2，﹣1），故选B．5．C【分析】由题意根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，然后利用全三角形的性质进行求解即可.【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=60°，∴∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=60°.​故选C.【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，全等三角形的判定及性质，邻补角的定义的有关知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键.6．D【解析】试题分析：根据二次函数的解析式y＝3(x－1)2＋k，可知函数的开口向上，对称轴为x=1，根据函数图像的对称性，可得这三点的函数值的大小为y3＞y2＞y1.故选D点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时先根据顶点式求出开口方向，和对称轴，然后根据函数的增减性比较即可，这是中考常考题，难度有点偏大，注意结合图形判断验证.7．B【解析】设AC=x，则BD=12−x，则四边形ABCD的面积=AC×BD=×x×(12−x)=−x²+6x=−(x−6)²+18，∴当x=6时，四边形ABCD的面积最大，最大值是18，故选B.8．C【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．【详解】连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB=45°，∴∠DAB1=90°-45°=45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1=，则DC1=-1，∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，∴∠C1OD=45°=∠DC1O，∴DC1=OD=-1，∴S△ADO=×OD•AD=，∴四边形AB1OD的面积是=2×=-1，故选C．9．C【详解】分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m，而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小，∴x≤1，∴m≥1．故选C．10．A【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【详解】在同一坐标系xOy中,画出函数二次函数y=−x2+1与正比例函数y=−x的图象，如图所示，设它们交于点A.B.令,即解得：或，∴观察图象可知：①当时,=,函数值随x的增大而增大,其最大值为②当时,=−x,函数值随x的增大而减小,其最大值为③当时,=,函数值随x的增大而减小,最大值为,综上所示,的最大值是故选A.【点睛】考查二次函数，正比例函数的图象与性质，理解运算定义的内涵，结合图象求解，注意数形结合思想在解题中的应用.11．【分析】根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．【详解】解：由题意，得a=-1，b=-2，a+b=-1-2=-3，故答案为-3．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．12．【分析】设观赏人数年均增长率为x，根据2014及2016年的观赏人次，即可得出关于x的一元二次方程．【详解】解：设观赏人数年平均增长率为x，由题意得.故答案为​.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：．当时，y有最小值，最小值为．，当时，y有最大值，最大值为．的取值范围为．故答案为．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．1或或0【分析】由二次函数y=x2+2mx+1的图象的顶点在坐标轴上，分两种情况讨论即可．【详解】解：当图象的顶点在x轴上时，∵二次函数y=x2+2mx+1的图象的顶点在x轴上，∴二次函数的解析式为：y=（x±1）2，∴m=±1．当图象的顶点在y轴上时，m=0，故答案为1或−1或0．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，以及分类讨论的数学思想，解题的关键是熟记二次函数的性质．15．16.5【分析】作，求出CH和AC的长，作EF⊥AD于点F，作AG∥EF交BC于点G，，通过证明△ABC∽GAC,可求出BC的值，从而可求出BD的值.【详解】解：作，∵，且，∴△ADE是等边三角形，∴DH=HE=DE=，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°,∴CH=+5=,AH==sin60°×AD=,∴AC=.作EF⊥AD于点F，作AG∥EF交BC于点G，则∠AEF=∠DEF=30°,AF=DF，∴∠AGC=150°，GE=DE=3，∴CG=2，∵，∴∠BAC=∠AGC,∵∠C=∠C,∴△ABC∽GAC,∴,∴,∴BC=,∴BD=-3-5=16.5.故答案为16.5.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数的知识，平行线分线段成比例定理，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.16．【分析】由对满足的任意都有成立，用含x的代数式表示出a的取值范围，然后讨论含x的代数式的取值即可求出实数的范围.【详解】∵对满足的任意都有成立，∴，即对成立，∵当时，的值随x的增大而减小，∴当x=3时，取得最大值，∵对满足的任意实数都有成立，∴.故答案为.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的解法，二次函数的图像与性质，注意运用讨论二次项的系数和参数分离，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键.17．解：（1）；（2）DF，.【分析】（1）根据题意作出图形，然后再利用旋转的性质进行解答即可；（2）根据勾股定理求出DE的长，从而得到DF的长，最后再利用勾股定理求出EF的长即可.【详解】（1）解：如图，​由旋转角的定义可得∠EDF=90°，∴∠DEF=45°；（2）解：∵AE=1，AD=3，∴ED=，由旋转的性质可得：DE=DF，∴，∵∠EDF=90°，DE=DF，​∴.【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、正方形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．（1）；（2），.【分析】（1）用配方法求解即可；（2）用因式分解法求解即可；【详解】（1）∵，∴，∴，∴(x-1)2=3，∴x-1=±,∴;（2）∵,∴,∴x-4=0,或x+5=0,∴，.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.19．10个.【分析】因为参加研讨会的每两个社团之间都签订了一份合作协议，设有x个社团参加，则每个社团要签（x-1）份合同，签订合同共有份，由题意列方程即可．【详解】解：设有个社团参加，依题意，得解得：，（舍去）.答：共有10个社团参加研讨会【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的一般思路是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．20．（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）根据轴对称图形的性质可知点C的坐标为（3，-1）；

（2）根据旋转变换图形的性质也可求出点C2的坐标；

（3）成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标；（4）根据菱形的判定进行求解即可.【详解】（1）如图，点C1的坐标为（3，-1）；故答案为（3，-1）；（2）点C2的坐标为（-1，3），故答案为（-1，3）；

（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，

对称中心的坐标为；故答案为；（4）

∵点D、A、C、B为顶点的四边形为菱形，∴点D的坐标为（4，3）.故答案为​（4，3）.【点睛】本题主要考查的是菱形的判定，轴对称变换，旋转作图，中心对称图形，点的坐标的确定，对称中的坐标变换，旋转中的对称变换等有关知识.21．（1）；（2）108m2.【分析】（1）由(总长度-平行于墙的两边的长度)÷垂直于墙这边的长度即可写出函数解析式，根据墙的长度就可以求出x的取值范围；（2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可．【详解】（1）（0＜x≤12）；（2）设菜园的面积是S，则S=xy==,​∴对称轴为x=15，当时，S随x的增大而增大，∴当x=12时，S有最大值，此时.答：菜园的最大面积为．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题，找出题目中的等量关系，列出函数解析式是解答本题的关键．22．或或.【分析】根据题意先求出方程的根，然后分情况讨论求解即可.【详解】解：两个根为，，（1）当为腰，为底时，，解得：；（2）当为腰，为底时，，解得：，这样的等腰三角形有且只有一个，所以或，当底和腰相等，即等边时，，此时，综上所述，或或.【点睛】本题主要考查的是因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键.23．（1）10；（2）；（3）.【分析】（1）将AO绕点A顺时针方向旋转60°至AN，连接AN，DN.通过SAS证明△AOC≌△AND，再证明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解；（2）将AO绕点A顺时针方向旋转120°至AN，连接AN，DN.通过SAS证明△AOC≌△AND，再证明∠OND=90°后利用勾股定理即可求解；（3）将AO绕点A顺时针方向旋转90°至AN，可得点N为（8，8），利用两点距离公式求出NE的长，然后根据D在线段NE上时，DE最小为；D在线段NE的延长线上时DE最大为，从而求出DE的最大值.【详解】解：（1）如图1，将AO绕点A顺时针方向旋转60°至AN，连接AN，DN.则△OAN是等边三角形.∴ON=OA=AN=8.∴∠OAN＝∠ONA=∠CAD=60°.∴∠OAN-∠NAC＝∠CAD-∠NAC，即∠OAC＝∠NAD.在△AOC和△AND中，∴△AOC≌△AND（SAS）∴OC=ND，∠AND＝∠AOC=30°.又∵OB=6，∴OC=ND=6.∴∠OND＝∠ONA+∠AND=90°.∴；（2）如图2，将AO绕点A顺时针方向旋转120°至AN，连接AN，DN，∴△OAN是等腰三角形，∵∠OAN=120°，∴，∠AON＝∠ANO=30°.∵∠OAN＝∠CAD=120°.∴∠OAN-∠NAC＝∠CAD-∠NAC，即∠OAC＝∠NAD.在△AOC和△AND中，∴△AOC≌△AND（SAS），∴OC=ND，∠AND=∠AOC=60°.∴∠OND=∠AND+∠ANO=90°，又∵OB=6，∴OC=OB=ND=6.∴；（3）如图3，将AO绕O顺时针旋转90°到AN，连接AN、DN、EN.则N为（8，8），则.则（1）可得：△AOC≌△AND.∴ND=OC=OB=6.当D在线段NE上时，DE最小为；当D在线段NE的延长线上时，DE最大为.即DE的最大值为.

【点睛】本题主要考查了旋转变换，三角形全等的判定与性质，勾股定理.解题的关键是将线段AO按AC的旋转方式旋转，进而构造全等三角形和直角三角形求解.24．见解析【详解】试题分析:根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°,再根据旋转性质可得AD=AE,∠DAE=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE,然后利用”边角边”证明△BAD和△CEF全等,从而得证.试题解析:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠AB