新高考数学一轮复习第3章 第13讲 拓展六 泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用 精讲（学生版）

第13讲拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：利用超越不等式比较大小高频考点二：利用对数型超越放缩证明不等式高频考点三：利用指数型超越放缩证明不等式第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、泰勒公式形式：泰勒公式是将一个在SKIPIF1<0处具有SKIPIF1<0阶导数的函数利用关于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0次多项式来逼近函数的方法.若函数SKIPIF1<0在包含SKIPIF1<0的某个闭区间SKIPIF1<0上具有SKIPIF1<0阶导数，且在开区间SKIPIF1<0上具有SKIPIF1<0阶导数，则对闭区间SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0，成立下式：SKIPIF1<0其中：SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的SKIPIF1<0阶导数，等号后的多项式称为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的泰勒展开式，剩余的SKIPIF1<0是泰勒公式的余项，是SKIPIF1<0的高阶无穷小量.2、麦克劳林(Maclaurin)公式SKIPIF1<0虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取SKIPIF1<0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.3、常见函数的麦克劳林展开式：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0（5）SKIPIF1<0（6）SKIPIF1<04、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）4.1对数型超越放缩：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0上式（1）中等号右边只取第一项得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0结论①用SKIPIF1<0替换上式结论①中的SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0结论②对于结论②左右两边同乘“SKIPIF1<0”得SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0替换“SKIPIF1<0”得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0结论③4.2指数型超越放缩：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0上式（2）中等号右边只取前2项得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0结论①用SKIPIF1<0替换上式结论①中的SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0结论②当SKIPIF1<0时，对于上式结论②SKIPIF1<0SKIPIF1<0结论③当SKIPIF1<0时，对于上式结论②SKIPIF1<0SKIPIF1<0结论④第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析高频考点一：利用超越不等式比较大小1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·安徽·毛坦厂中学高三阶段练习（理））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（其中自然对数的底数SKIPIF1<0）则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·河南洛阳·高二期末（文））下列结论中正确的个数为（

）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．A．0 B．1 C．2 D．35．（2021·浙江·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，给出以下结论，正确的个数是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③存在无穷多个SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．4 B．3 C．2 D．17．（2022·安徽·六安一中高二开学考试）已知SKIPIF1<0成等比数列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0高频考点二：利用对数型超越放缩证明不等式1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－SKIPIF1<0.(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝SKIPIF1<0，对∀x1SKIPIF1<0(0，＋∞)，∃x2SKIPIF1<0(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；(3)证明：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋…＋SKIPIF1<0(n∈N*，n≥2).2．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.3．（2022·陕西咸阳·二模（文））已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)证明：SKIPIF1<0.4．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求实数k的取值范围；(2)证明：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0).5．（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0；(3)求证：对任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，都有：SKIPIF1<0…SKIPIF1<0．（其中SKIPIF1<0为自然对数的底数）6．（2022·内蒙古·元宝山平煤高中高二阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)证明：SKIPIF1<0.7．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知函数SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)证明：SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.高频考点三：利用指数型超越放缩证明不等式1．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围；(3)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0.2．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0恒成立，求实数a的值；(2)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．3．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围：(3)当SKIPIF1<0时，记SKIPIF1<0，