新高考数学一轮复习第4章 第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念 精讲+精练（教师版）

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角角度1:象限角角度2:区域角角度3角:终边相同的角高频考点二：角度制与弧制度的相互转化高频考点三：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算角度2：与扇形面积有关的计算角度3：题型归类练角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用高频考点四：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数角度2：终边上任意点法与三角函数角度3：三角函数值符号的判定高频考点五：三角函数线高频考点六：解三角不等式第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念（精练）第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．③终边相同的角：终边与角SKIPIF1<0相同的角可写成SKIPIF1<0．2、弧度制的定义和公式①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以角SKIPIF1<0作为圆心角时所对圆弧的长，SKIPIF1<0为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值SKIPIF1<0与所取的SKIPIF1<0的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．若一个角的弧度数为SKIPIF1<0，角度数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3、任意角的三角函数3.1.单位圆定义法：任意角的三角函数定义：设SKIPIF1<0是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点SKIPIF1<0，那么（1）点SKIPIF1<0的纵坐标叫角α的正弦函数，记作SKIPIF1<0；（2）点SKIPIF1<0的横坐标叫角α的余弦函数，记作SKIPIF1<0；（3）点SKIPIF1<0的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．3.2.终边上任意点法：设SKIPIF1<0是角SKIPIF1<0终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）那么：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0不存在4、扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式在半径为SKIPIF1<0的圆中，弧长为SKIPIF1<0的弧所对的圆心角大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0变形可得SKIPIF1<0，此公式称为弧长公式，其中SKIPIF1<0的单位是弧度．(2)扇形面积公式SKIPIF1<05、三角函数线三角函数线正弦线：SKIPIF1<0余弦线：SKIPIF1<0正切线：SKIPIF1<06、常用结论（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.（2）角度制与弧度制可利用SKIPIF1<0进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.角度制SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0弧度制SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）象限角：象限角集合区间第一象限角SKIPIF1<0SKIPIF1<0第二象限角SKIPIF1<0SKIPIF1<0第三象限角SKIPIF1<0SKIPIF1<0第四象限角SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）轴线角角SKIPIF1<0终边所在位置角度制弧度制角SKIPIF1<0终边在SKIPIF1<0轴非负半轴SKIPIF1<0SKIPIF1<0角SKIPIF1<0终边在SKIPIF1<0轴非正半轴SKIPIF1<0SKIPIF1<0角SKIPIF1<0终边在SKIPIF1<0轴非负半轴SKIPIF1<0SKIPIF1<0角SKIPIF1<0终边在SKIPIF1<0轴非正半轴SKIPIF1<0SKIPIF1<0角SKIPIF1<0终边在SKIPIF1<0轴上SKIPIF1<0SKIPIF1<0角SKIPIF1<0终边在SKIPIF1<0轴上SKIPIF1<0SKIPIF1<0角SKIPIF1<0终边在坐标轴上SKIPIF1<0SKIPIF1<0第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）“角SKIPIF1<0是第一象限的角”是“角SKIPIF1<0是第一象限的角”的充分不必要条件.()【答案】错误【详解】由SKIPIF1<0是第一象限角可举例SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得角SKIPIF1<0是第二象限的角，即由“角SKIPIF1<0是第一象限的角”推不到“角SKIPIF1<0是第一象限的角”，所以不是充分条件，所以错误.故答案为：错误.2．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是1或4.()【答案】正确【详解】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以扇形的圆心角的弧度数α是1或4.故答案为：正确3．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0()【答案】正确【详解】因为角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：正确4．（2022·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）角SKIPIF1<0终边经过点（-3,4），则SKIPIF1<0.()【答案】正确【详解】由角SKIPIF1<0终边经过点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0.故答案为：正确.5．（2022·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）SKIPIF1<0()【答案】错误【详解】SKIPIF1<0，故答案为：错误第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析高频考点一：象限角、区域角、终边相同的角①象限角角度1：确定已知角所在象限例题1．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的终边在（

）A．第二或第三象限 B．第一或第三象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【答案】B【详解】当k为奇数时，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为第三象限角；当k为偶数时，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0为第一象限角.故选：B例题2．（2022·上海市宝山中学高一期中）平面直角坐标系中，若角SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是第________象限的角.【答案】二##2【详解】SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0与SKIPIF1<0终边相同，而SKIPIF1<0是第二象限角．所以SKIPIF1<0是第二象限角．故答案为：二．角度1题型归类练1．（2022·江西抚州·高一期中）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是第（

）象限角．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0终边落在第三象限，SKIPIF1<0为第三象限角.故选：C.2．（2022·河南南阳·高一期中）“SKIPIF1<0是第一象限角”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若SKIPIF1<0是第一象限角，则SKIPIF1<0，无法得到SKIPIF1<0一定属于SKIPIF1<0，充分性不成立，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0一定是第一象限角，必要性成立，所以“SKIPIF1<0是第一象限角”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件.故选：B3．（多选）（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）下列四个角为第二象限角的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AB【详解】对于A选项，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为第二象限角；对于B选项，SKIPIF1<0是第二象限角；对于C选项，SKIPIF1<0是第三象限角；对于D选项，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为第一象限角.故选：AB.角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围例题1．（多选）（2021·全国·高一专题练习）有一个小于SKIPIF1<0的正角SKIPIF1<0，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】由题意，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；故选：ACD6．（多选）（2021·全国·高一专题练习）若SKIPIF1<0为第一象限角，则SKIPIF1<0的终边所在的象限可能是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】AC【详解】由题设，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的终边所在的象限可能是第一、三象限.故选：AC角度2题型归类练1．（2021·全国·高一专题练习）若SKIPIF1<0是第一象限角，则SKIPIF1<0是（

）A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角【答案】D【详解】由题意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当k为偶数时，SKIPIF1<0为第四象限角；当k为奇数时，SKIPIF1<0为第二象限角．所以SKIPIF1<0是第二或第四象限角.故选：D.2．（2021·广东·中山纪念中学高一阶段练习）若α是第四象限角，则90º－α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【详解】由题知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在第二象限，故选：B3．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）若SKIPIF1<0是第二象限角，则（

）A．SKIPIF1<0是第一象限角 B．SKIPIF1<0是第一或第三象限角C．SKIPIF1<0是第二象限角 D．SKIPIF1<0是第三或第四象限角【答案】AB【详解】解：因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于x轴对称，而SKIPIF1<0是第二象限角，所以SKIPIF1<0是第三象限角，所以SKIPIF1<0是第一象限角，故A选项正确；因为SKIPIF1<0是第二象限角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是第一或第三象限角，故B选项正确；因为SKIPIF1<0是第二象限角，所以SKIPIF1<0是第一象限角，故C选项错误；因为SKIPIF1<0是第二象限角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．故选：AB.角度3：确定SKIPIF1<0倍角所在象限例题1．（2022·广东广州·高一期末）已知SKIPIF1<0是锐角，那么SKIPIF1<0是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0是锐角,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,满足小于180°的正角.其中D选项不包括SKIPIF1<0，故错误.故选：C2．（2021·上海·高一课时练习）角SKIPIF1<0的终边在第二象限，则角SKIPIF1<0的终边在_________．【答案】第三、四象限或y轴非正半轴【详解】解：SKIPIF1<0是第二象限角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的终边的位置是第三或第四象限，SKIPIF1<0的非正半轴．故答案为：第三、第四象限或SKIPIF1<0轴的非正半轴角度3题型归类练1．（2021·上海·高一课时练习）若SKIPIF1<0是第三象限角，则SKIPIF1<0是第_________象限角．【答案】二【详解】因为SKIPIF1<0是第三象限角，所以SKIPIF1<0的终边在第三象限，又SKIPIF1<0的终边与SKIPIF1<0的终边关于SKIPIF1<0轴对称，所以SKIPIF1<0的终边在第二象限，所以SKIPIF1<0是第二象限角，故答案为：二.2．（2018·广西·高一阶段练习）已知SKIPIF1<0终边在第四象限，则SKIPIF1<0终边所在的象限为_______________．【答案】第三象限或第四象限或SKIPIF1<0轴负半轴由于SKIPIF1<0是第四象限角,故SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0终边在”第三象限或第四象限或SKIPIF1<0轴负半轴”.角度4：确定SKIPIF1<0分角所在象限例题1．（2021·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）若角SKIPIF1<0是第一象限角，则SKIPIF1<0是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0是第三象限角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0是第一象限角，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0是第三象限角.故选：C．例题2．（多选）（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高一阶段练习）如果α是第三象限的角，那么SKIPIF1<0可能是下列哪个象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【详解】SKIPIF1<0是第三象限的角，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第一象限；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第三象限；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在第四象限；所以SKIPIF1<0可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD角度4题型归类练1．（2022·河南新乡·高一期末）“SKIPIF1<0是第四象限角”是“SKIPIF1<0是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当SKIPIF1<0是第四象限角时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是第二或第四象限角.当SKIPIF1<0为第二象限角，但SKIPIF1<0不是第四象限角，故“SKIPIF1<0是第四象限角”是“SKIPIF1<0是第二或第四象限角”的充分不必要条件．故选：A2．（多选）（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）已知角SKIPIF1<0是第一象限角，则角SKIPIF1<0可能在以下哪个象限（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【详解】解：因为角SKIPIF1<0是第一象限角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于第一象限，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于第二象限，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于第三象限，综上可得SKIPIF1<0位于第一、二、三象限；故选：ABC3．（2022·上海师大附中高一期末）设SKIPIF1<0是第三象限的角，则SKIPIF1<0的终边在第______象限.【答案】二或四【详解】因为SKIPIF1<0是第三象限角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0为第二象限角，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0为第四象限角.故答案为：二或四.②区域角例题1．（2022·湖南·高一课时练习）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角SKIPIF1<0的集合是________．【答案】{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}【详解】观察图形可知，终边落在边界上的角分别是SKIPIF1<0,所以角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．故答案为：{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}例题2．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是________.

【答案】SKIPIF1<0【详解】因为终边落在y轴上的角为SKIPIF1<0，终边落在虚线上的角为SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即终边在虚线上的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以终边落在阴影部分的角为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0题型归类练1．（2022·上海·华师大二附中高一期中）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角SKIPIF1<0的集合是__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题图，终边SKIPIF1<0对应角为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，终边SKIPIF1<0对应角为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以阴影部分角SKIPIF1<0的集合是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<02．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】终边在直线OM上的角的集合为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．同理可得终边在直线ON上的角的集合为SKIPIF1<0，所以终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<03．（2020·全国·高一课时练习）如下图，终边落在SKIPIF1<0位置时的角的集合是__________；终边落在SKIPIF1<0位置，且在SKIPIF1<0内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【详解】由题意以SKIPIF1<0为终边的一个角是SKIPIF1<0，因此以SKIPIF1<0为终边的角的集合是SKIPIF1<0；以SKIPIF1<0为终边的角的集合是SKIPIF1<0，在已知范围内的有SKIPIF1<0两个角，集合表示为SKIPIF1<0；∴终边落在阴影部分（含边界）的角的集合为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．4．（2019·江苏·海安市南莫中学高一期中）如图所示，阴影部分表示的角的集合为（含边界）______（用弧度表示）．【答案】SKIPIF1<0【详解】如图，阴影部分表示的角SKIPIF1<0位于一、三象限，在第一象限，SKIPIF1<0；在第三象限，SKIPIF1<0，∴阴影部分表示的角的集合为（含边界）：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为SKIPIF1<0．③终边相同的角例题1．（2022·北京师大附中高一期中）将SKIPIF1<0轴正半轴绕原点逆时针旋转SKIPIF1<0，得到角SKIPIF1<0，则下列与SKIPIF1<0终边相同的角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，B正确，其他选项经过验证均不正确.故选：B例题2．（2017·天津市红桥区教师发展中心高一期末）在SKIPIF1<0SKIPIF1<0范围内，与SKIPIF1<0终边相同的角是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】与SKIPIF1<0终边相同的角的集合为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0SKIPIF1<0范围内，与SKIPIF1<0终边相同的角是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型归类练1．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）下列与角SKIPIF1<0的终边一定相同的角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】对于选项C：与角SKIPIF1<0的终边相同的角为SKIPIF1<0，C满足.对于选项B：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不成立.对于选项D：SKIPIF1<0不成立.故选:C2．（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）与1920°终边相同的角中，最小的正角是________【答案】120°【详解】SKIPIF1<0,所以与1920°终边相同的角中，最小的正角为120°.故答案为：120°.高频考点二：角度制与弧制度的相互转化例题1．（2022·河南南阳·高一期中）把SKIPIF1<0化成角度制是（

）A．36° B．30° C．24° D．12°【答案】A【详解】由角度制与弧度制的互化知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A例题2．（2022·陕西汉中·高一期中）如图，时钟显示的时刻为12：55，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针所夹的锐角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由图可知，该时刻的时针与分针所夹的锐角为SKIPIF1<0．故选：B.题型归类练1．（2022·安徽·砀山中学高一期中）将210°化成弧度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0，故选：D.2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）经过50分钟，钟表的分针转过___________弧度的角.【答案】SKIPIF1<0【详解】根据题意，分针转过的弧度为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·湖南·高一课时练习）将下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°120°135°150°360°弧度SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0高频考点三：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算例题1．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）已知SKIPIF1<0弧度的圆心角所对的弦长为SKIPIF1<0，那么这个圆心角所对的弧长是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】SKIPIF1<0弧度的圆心角所对的弦长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求弧长为SKIPIF1<0.故选：C.例题2．（2022·湖南·高一课时练习）已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？【答案】小轮转动的角是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为SKIPIF1<0cm【详解】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿，所以小轮转动了SKIPIF1<0周，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当大轮的转速为150r/min时，小轮的转速为SKIPIF1<0r/min，所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为SKIPIF1<0，因为小轮的半径为10cm，所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长SKIPIF1<0cm角度1题型归类练1．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知扇形的圆心角为SKIPIF1<0，半径为10，则扇形的弧长为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．4【答案】D【详解】解：因为扇形的圆心角为SKIPIF1<0，半径为10，所以由弧长公式得：扇形的弧长为SKIPIF1<0故选：D2．（2022·北京·汇文中学高一期中）一圆锥的侧面展开图为一圆心角为SKIPIF1<0的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为________．【答案】2【详解】因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.角度2：与扇形面积有关的计算例题1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）已知扇形OAB的圆心角为8SKIPIF1<0，其周长是10SKIPIF1<0cm，则该扇形的面积是___SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】设扇形的半径为R，弧长是SKIPIF1<0，则其扇形周长是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故该扇形的面积是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0例题2．（2022·重庆八中高一期末）如图所示，弧田是由圆弧SKIPIF1<0和其所对弦SKIPIF1<0围成的图形，若弧田的弧SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，设SKIPIF1<0，因为弧田的弧SKIPIF1<0长为SKIPIF1<0，弧所在的圆的半径为4，所以SKIPIF1<0，所以阴影部分的面积为SKIPIF1<0所以弧田的面积是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0例题3．（2022·湖南·雅礼中学高一期中）中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆SKIPIF1<0（半径为20cm）中作出两个扇形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，用扇环形SKIPIF1<0（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，扇形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，扇形的现状较为美观，则此时扇形SKIPIF1<0的半径为__________cm

【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，半圆O的半径为r，扇形OCD的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.角度2题型归类练1．（2022·上海市行知中学高二期中）已知圆锥的表面积为SKIPIF1<0，其侧面展开扇形的圆心角大小为SKIPIF1<0，则这个圆锥的底面半径为______.【答案】2【详解】设圆锥的底面半径为SKIPIF1<0，母线长为SKIPIF1<0，由题意，有SKIPIF1<0①，由于侧面展开扇形的圆心角大小为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，由①②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即圆锥的底面半径为2，故答案为：2.2．（2022·上海市七宝中学高一开学考试）已知扇形的圆心角为SKIPIF1<0，弧长为SKIPIF1<0，则扇形的面积为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】依题意，扇形的半径SKIPIF1<0，所以扇形的面积SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·上海·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；(2)少SKIPIF1<0SKIPIF1<0．试题解析：(1)扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.角度3：扇形中的最值问题例题1．（2022·吉林·长春十一高高一期末）已知扇形周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．2【答案】D【详解】设扇形半径为SKIPIF1<0,易得SKIPIF1<0,则由已知该扇形弧长为SKIPIF1<0.记扇形面积为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取到最大值，此时记扇形的圆心角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0故选：D例题2．（2022·江西·奉新县第一中学高一阶段练习）如果一个扇形的周长为SKIPIF1<0，那么当它的半径和圆心角分别为多少时，扇形的面积最大？【答案】当扇形的半径为SKIPIF1<0，圆心角为SKIPIF1<0时，扇形的面积最大【详解】解：设该扇形的半径为SKIPIF1<0，圆心角为SKIPIF1<0，弧长为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0.例题3．（2022·广西梧州·高一期中）已知扇形的周长为30．(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角SKIPIF1<0，弧长SKIPIF1<0及面积SKIPIF1<0;(2)求该扇形面积SKIPIF1<0的最大值及此时扇形的半径.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)由题知扇形的半径SKIPIF1<0，扇形的周长为30，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)设扇形的圆心角SKIPIF1<0，弧长SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取等号，所以该扇形面积SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，此时扇形的半径为SKIPIF1<0.角度3题型归类练1．（2022·浙江·高三专题练习）某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段BA，CD与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度之和为30，圆心角为SKIPIF1<0弧度.(1)求SKIPIF1<0关于x的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)解：根据题意，可算得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.(2)解：根据题意，可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.综上所述，当SKIPIF1<0时铭牌的面积最大，且最大面积为SKIPIF1<0.2．（2022·全国·高一阶段练习）已知一扇形的圆心角为SKIPIF1<0，周长为C，面积为S，所在圆的半径为r．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0cm，求扇形的弧长；(2)若SKIPIF1<0cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．【答案】(1)SKIPIF1<0cm；(2)S的最大值是SKIPIF1<0，此时扇形的半径是4cm，圆心角为2．【解析】(1)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，扇形的弧长SKIPIF1<0cm；(2)设扇形的弧长为l，半径为r，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0cm，SKIPIF1<0，∴S的最大值是SKIPIF1<0，此时扇形的半径是4cm，圆心角SKIPIF1<0．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知扇形的圆心角是SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，弧长为SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求扇形的弧长SKIPIF1<0；(2)若扇形SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，当扇形的圆心角SKIPIF1<0为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0时，扇形面积最大值SKIPIF1<0.(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0扇形的弧长SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0扇形SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0扇形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，扇形面积最大值SKIPIF1<0.角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用例题1．（2022·陕西·西安中学高一期中）中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为SKIPIF1<0，扇面所在大圆的半径为SKIPIF1<0，所在小圆的半径为SKIPIF1<0，那么这把折扇的扇面面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上都不对【答案】B【详解】由题意得，大扇形的面积为SKIPIF1<0，小扇形的面积为SKIPIF1<0，所以扇面的面积为SKIPIF1<0.故选：B6．（2022·全国·高一课时练习）已知扇形面积为SKIPIF1<0，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？【答案】当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．【详解】解：设扇形的半径为SKIPIF1<0，弧长为SKIPIF1<0，扇形的周长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由题意，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．利用函数单调性的定义，可得当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0是减函数；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0是增函数．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值20，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．【点睛】要求周长的最小值，可考虑将周长写成某个变量的函数式，利用函数的单调性求最值.函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.角度4题型归类练1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知扇形所在圆的半径为2，圆心角的弧度数是2，则该扇形的弧长为（

）A．1 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】因为扇形所在圆的半径SKIPIF1<0，圆心角的弧度数SKIPIF1<02，所以该扇形的弧长SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·北京·高一期中）已知某扇形的圆心角为SKIPIF1<0，弧长为SKIPIF1<0，则该扇形的半径为___________；面积为___________.【答案】

4

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【详解】由题设，该扇形的半径SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0.故答案为：4，SKIPIF1<03．（2022·江苏省木渎高级中学高一期末）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面所在扇形的圆心角为____rad，此时扇面面积为____cm2．【答案】

SKIPIF1<0

704【详解】解：如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．高频考点四：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数例题1．（2022·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的终边与圆SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】画图，角SKIPIF1<0的终边与圆SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵在单位圆中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：D例题2．（2022·北京师大附中高三期中）已知正角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0的值可以是_______（写出一