第三章 圆（单元重点综合测试）

第3章圆（单元重点综合测试）一、单选题1．下列命题中不正确的是（）A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等D．平分弦的直径一定垂直于这条弦2．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（

）A．4 B．5 C．8 D．163．设⊙的半径是r，点O到直线l的距离是d，若⊙与l有一个公共点，则r与d之间的关系是（

）A． B． C． D．4．已知一个扇形的半径长是，圆心角为，则这个扇形的面积为（

）A． B．C． D．5．如图，已知点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BOC=40°，则∠ABO的度数为（）A．50° B．40° C．30° D．20°6．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（）A．10° B．14° C．16° D．26°7．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB的延长线上一点，BP＝2，则OP等于（

）A． B． C． D．8．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（

）A．72° B．60° C．48° D．36°9．如图，⊙的弦、交于点．若，则下列说法正确的是（

）

A． B．C． D．无法确定10．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是．12．如图，正六边形内接于，，则边心距的长为．13．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为．14．如图，在中，为直径，，，则．

15．如图，为的外接圆，，，则半径长为．

16．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是．17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是弧的中点，则∠D的度数是．18．如图，是以为圆心，半径为4的圆的两条弦，，且点在内.点是劣弧上的一个动点，点分别是的中点.则的长度的最大值为.三、解答题19．已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC．20．如图，⊙O的直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）连AD，BD，判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求弦CD的长．21．操作题：如图，⊙O是ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；（2）结合图①，说明你这样画的理由．22．如图，在中，，以底边为直径的交两腰于点，．（1）求证：；（2）当是等边三角形，且时，求的长．23．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．24．如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径长．25．根据题意求各图中阴影部分的面积．（1）如图1，在中，，，以A为顶点，为半径画弧，交于D点．（2）如图2，已知扇形的圆心角为，半径为2．（3）如图3，是的直径，弦，，．（4）如图4，半径为，圆心角为的扇形中、分别以、为直径作半圆．26．三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，则∠E=．（请用含α的代数式表示）（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．求∠AED的度数．

第3章圆（单元重点综合测试）一、单选题1．下列命题中不正确的是（）A．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴B．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心C．图形经过旋转所得的对应点到旋转中心的距离相等D．平分弦的直径一定垂直于这条弦【答案】D【分析】利用圆的对称性、圆周角定理及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项．【解析】解：、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，正确，不符合题意；、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确，不符合题意；、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，不符合题意；、平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的对称性、旋转变换的性质及垂径定理．2．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（

）A．4 B．5 C．8 D．16【答案】C【分析】根据垂径定理得出CM=DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，从而得出CD．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CM=DM，∵AM=2，BM=8，∴AB=10，∴OA=OC=5，在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，∴CM==4，∴CD=8．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用是解题的关键．3．设⊙的半径是r，点O到直线l的距离是d，若⊙与l有一个公共点，则r与d之间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离可知直线与圆的位置关系，从而可确定答案．【解析】∵⊙与l有一个公共点∴若⊙与l恰有一个公共点，则d=r；若⊙与l有两个公共点，则d<r故故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，关键清楚圆心到直线的距离与半径的大小关系决定直线与圆的位置关系．要注意的是：圆与直线有一个公共点包含恰有一个和有两个的情形，否则易出错．4．已知一个扇形的半径长是，圆心角为，则这个扇形的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据扇形的面积公式直接求解即可．【解析】解：由扇形的面积公式可得，这个扇形的面积为故选B【点睛】此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．5．如图，已知点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BOC=40°，则∠ABO的度数为（）A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】D【分析】先利用圆周角定理证明：再利用平行线的性质可得答案.【解析】解：∠BOC=40°，故选：【点睛】本题考查的是圆周角定理，平行线的性质，掌握同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的度数的一半是解题的关键.6．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（）A．10° B．14° C．16° D．26°【答案】C【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．【解析】解：如图，连接BD，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，∴∠CAB＝∠BDC＝16°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB的延长线上一点，BP＝2，则OP等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC、BC，根据勾股定理求出OC，根据勾股定理求出OP即可．【解析】解：过O作OC⊥AB于C，则∠OCP＝∠ACO＝90°，∵OC⊥AB，OC过O，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，∵BP＝2，∴PC＝BC＋BP＝6，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝，在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．8．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（

）A．72° B．60° C．48° D．36°【答案】A【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．【解析】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为，故选：A．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．9．如图，⊙的弦、交于点．若，则下列说法正确的是（

）

A． B．C． D．无法确定【答案】A【分析】根据平行线的性质，同弧或者等弧所对是圆周角是圆心角的一半，三角形的外角和，即可．【解析】∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，平行线的性质，同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系．10．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确；作，交延长线于M，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式，可得四边形的面积，可得④错误，即可．【解析】解：∵等腰内接于圆O，且为直径，∴，∴，即平分；故①正确；∵，∴，∵，∴；故②正确；∵为直径，∴，∵，∵，∴要使四边形的周长最大，要最大，∴当时，四边形的周长最大，此时，，故③正确；作，交延长线于M，∵，∴，∵A、C、B、D四点共圆，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得：，∵，∴；∵，∴；∵直径，，，∴，，∴，四边形的面积为，故④错误；综上，①②③正确；故选：C【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大．二、填空题11．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是．【答案】相切或相交/相交或相切【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，由条件可知点在上，则可知直线与相切或相交，即可得到答案，由条件判断出点在圆上是解题的关键．【解析】解：，，，点在直线上，，直线与相切或相交，故答案为：相切或相交．12．如图，正六边形内接于，，则边心距的长为．【答案】【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质，连接，证明是等边三角形，得出，由垂径定理求出，再由勾股定理求出即可．【解析】解：连接，，∵六边形为正六边形，，，是等边三角形，，，，，故答案为：．13．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为．【答案】5【分析】本题考查过不在同一直线上三点的圆，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．【解析】解：如图，分别作、的中垂线，两直线的交点为，以为圆心、为半径作圆，则即为过，，三点的外接圆，由图可知，还经过点、、、、这5个格点，故答案为：5．14．如图，在中，为直径，，，则．

【答案】【分析】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【解析】，，，，故答案为：．15．如图，为的外接圆，，，则半径长为．

【答案】2【分析】连接、，根据圆周角定理得出，证明为等边三角形，进而求出直径．【解析】解：连接、，如图所示：

∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴半径长为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了圆周角的性质和等边三角形的性质与判定，解题关键是连接半径，证明三角形是等边三角形．16．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是．【答案】【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．【解析】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：，故答案为：6π．【点睛】本题考查扇形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．17．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是弧的中点，则∠D的度数是．【答案】35°/35度【分析】根据点B是弧的中点，可得∠AOB=70°，再由圆周角定理，即可求解．【解析】解：∵点B是弧的中点，∴，∴∠AOB=∠BOC，∵∠AOC＝140°，∴∠AOB=70°，∵∠AOB=2∠D，∴∠D=35°．故答案为：35°【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．18．如图，是以为圆心，半径为4的圆的两条弦，，且点在内.点是劣弧上的一个动点，点分别是的中点.则的长度的最大值为.【答案】【分析】连接OC，BD，OA，AC，过点O作OH⊥CA于点H，利用圆周角定理可及垂径定理可得到∠AOC的度数，同时可证得CH=AH，再利用勾股定理求出AH的长，从而可得到AC的长，当BD时直径时，PN的值最大；再利用三角形的中位线定理可求出MN，PN的长，然后可得到PN+MN的最大值．【解析】解：连接OC，BD，OA，AC，过点O作OH⊥CA于点H，∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，∵OA=OC，OH⊥AC，∴CH=AH，∠COH=∠AOH=60°，

∴∠HAO=30°∴OH=OA=×4=2，在Rt△AOH中，AH2+OH2=AO2∴；∴当BD时直径时，PN的值最大，∵点P，M，N分别是BC，AD，CD的中点，∴MN和PN分别是△ADC和△BCD的中位线，∴∴.故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形的中位线定理，熟练的掌握这些定理是解题的关键；三、解答题19．已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到，从而得到，再由等弧所对的弦相等即可得到．【解析】证明：∵AB=CD，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了弧与弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧相等，等弧所对的弦相等．20．如图，⊙O的直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D．（1）连AD，BD，判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求弦CD的长．【答案】（1）△ABD为等腰直角三角形；理由见解析；（2）CD＝7厘米．【分析】（1）先根据圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=90°，再由角平分线定义和圆周角定理得，即可得出结论；（2）过A点作AH⊥CD于H，先由等腰直角三角形的性质求出CH、AH的长，再由勾股定理求出DH的长，即可得出答案．【解析】解：（1）△ABD为等腰直角三角形；理由如下：如图，连接AD、BD，∵AB为直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形；（2）过A点作AH⊥CD于H，由（1）△ABD为等腰直角三角形，∴ADAB10＝5厘米；在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，∴AH＝CHAC6＝3厘米，在Rt△ADH中，DH4，∴CD＝CH+DH＝347．【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．21．操作题：如图，⊙O是ABC的外接圆，AB=AC，P是⊙O上一点．（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线；（2）结合图①，说明你这样画的理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用圆心角、弧、弦的关系，得出作法即可；（2）由AB=AC得到，再利用圆周角定理可得．【解析】解：（1）如图①，连接AP，即为所求角平分线；如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线．（2）∵AB=AC，∴，∴∠APB=∠APC．【点睛】此题主要考查了基本作图以及圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理等知识，熟练利用圆心角、弧、弦的关系得出是解题关键．22．如图，在中，，以底边为直径的交两腰于点，．（1）求证：；（2）当是等边三角形，且时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再由弧、弦、圆周角之间的关系证得，即可得到结论；（2）连接OD、OE，根据等边三角形的性质及圆周角定理求出∠DOE，利用弧长公式计算即可．【解析】解：（1）证明：∵，∴，∴，∴，∴；（2）连接OD、OE，∵是等边三角形，∴，∴，，∴，∴，∵，∴的半径为，∴的长．【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的性质，弧、弦、圆周角之间的关系，圆周角定理，弧长公式，熟记各性质定理及弧长公式是解题的关键．23．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．（1）求证：∠ABD＝2∠C．（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．【答案】（1）见解析；（2）BD＝2.8【分析】（1）利用弧的中点,等腰三角形的性质计算即可．（2）利用勾股定理，三角形中位线定理，垂径定理的推论计算即可．【解析】（1）证明：∵C是的中点，∴，∴∠ABC＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝2∠C；（2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝6，∵C是的中点，∴OC⊥AD，∴，∴，∴OF＝1.4，又∵O是AB的中点，F是AD的中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF＝2.8．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和三角形中位线定理是解题的关键．24．如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及平行线的性质和判定，得出即可；（2）根据相似三角形的判定和性质，勾股定理即可求出直径的长，进而求出半径即可．【解析】（1）证明：如图，连接，∵，∴，∵点C是的中点，即，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半径，∴是的切线；

（2）解：连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴的半径为5．【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形，掌握切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．25．根据题意求各图中阴影部分的面积．（1）如图1，在中，，，以A为顶点，为半径画弧，交于D点．（2）如图2，已知扇形的圆心角为，半径为2．（3）如图3，是的直径，弦，，．（4）如图4，半径为，圆心角为的扇形中、分别以、为直径作半圆．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）cm2【分析】（1）阴影部分的面积等于三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可．（2）阴影部分的面积等于扇形的面积-三角形的面积，根据面积公式计算即可．（3）首先证明OE=OC=OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=S扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解．（4）假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P，Q面积相等．连接AB，OD，根据两半圆的直径相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出M部分的面积=S△AOD，利用阴影部分Q的面积为：S扇形AOB-S半圆-SM，故可得出结论．【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴∠A=45°，∴阴影部分的面积==；（2）过点O作OC⊥AB，垂足为C，∵∠AOB=60°，OA=OB=2，∴△OAB为等边三角形，∴AB=2，∴AC=BC=1，OC=，∴阴影部分的面积==；（3）如图，记交于∵∠COB=2∠CDB=60°，又∵CD⊥AB，∴∠OCE=30°，CE=DE=，∴OE=OC=OB=，∴OE=BE，则在△OEC和△BED中，，∴△OEC≌△BED（SAS），∴阴影部分的面积=扇形OCB的面积=（4）设整个图形分割成P，Q，M，M四个部分，面积分别为SP，SQ，SM，SM．∵扇形OAB的圆心角为90°，扇形半径为2，∴扇形面积为（cm2），半圆面积为：（cm2），∴SQ+SM=SM+SP=（cm2），∴SQ=SP，连接AB，OD，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD=∠BOD=45°，∴SM=S△AOD=×2×1=1（cm2），∴阴影部分Q的面积为：S扇形AOB-S半圆-SM=（cm2）．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟知三角形及扇形的面积公式是解答此题的关键．26．三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，则∠E=．（请用含α的代数式表示）（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD