河南省鹤壁市淇县第一中学2025届高三第三次测评数学试卷含解析

河南省鹤壁市淇县第一中学2025届高三第三次测评数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设，，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为，则斜率k的取值范围是（）A． B． C． D．4．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（）A． B． C．2 D．6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B．C． D．7．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（）A．128 B．65 C．64 D．638．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．函数的一个单调递增区间是（）A． B． C． D．10．执行如图所示的程序框图若输入，则输出的的值为（）A． B． C． D．11．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（）A． B． C． D．12．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（）A．20 B．30 C．50 D．60二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.14．已知函数函数，则不等式的解集为____．15．己知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.16．已知集合，则_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（，），.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设分别是数列的前项和，且，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项．（1）求证：数列为等差数列；（2）设，求的前100项和．20．（12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．（1）求出易倒伏玉米茎高的中位数；（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏矮茎高茎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82821．（12分）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A，B两点，若，求直线l的斜率k.22．（10分）已知函数，其中，．（1）当时，求的值；（2）当的最小正周期为时，求在上的值域．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z满足，可得，所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2、A【解析】

根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若，，则，可得；若，可得，无法得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.3、C【解析】

设，，，，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，由△得，利用韦达定理结合已知条件得，，代入上式即可求出的取值范围．【详解】设直线的方程为：，，，，，联立方程，消去得：，△，，且，，，线段的中点为,，，，，，，，把代入，得，，，故选：【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．4、C【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.5、C【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为：故得到故得到，故最大值为：2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.6、C【解析】

根据可得四边形为矩形,设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可.【详解】设,,由,,知,因为,在椭圆上,,所以四边形为矩形,；由,可得,由椭圆的定义可得,①,平方相减可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.7、D【解析】

根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求.【详解】因为，所以，所以，所以数列是等比数列，又因为，所以，.故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8、B【解析】

转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.【详解】由，可知．设，则，所以函数在上单调递增，所以．所以．故的取值范围是．故选：B【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9、D【解析】

利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为，由单调递增，则（），解得（），当时，D选项正确.C选项是递减区间，A，B选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.10、C【解析】

由程序语言依次计算，直到时输出即可【详解】程序的运行过程为当n=2时，时，，此时输出.故选：C【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题11、D【解析】

推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.【详解】，则，，，所以，函数的图象关于直线对称.若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.所以，，即，解得或.①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、D【解析】

先设A点的坐标为，根据对称性可得，在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.【详解】由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得，则的面积为，当最大时，的面积最大，由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，又由，可得椭圆的上下顶点坐标为，所以的面积的最大值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.当时.线段的长度最小，再求此时的得解.【详解】如图，连接，因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，所以，平面，则平面.因为，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.在中，，故当时.线段的长度最小，最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、【解析】，，所以，所以的解集为。点睛：本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理，再得到的解析式，求得的分段函数解析式，再解不等式即可。绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。15、【解析】

先求导，再根据导数的几何意义，有求解.【详解】因为函数，所以，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.16、【解析】

由可得集合是奇数集，由此可以得出结果.【详解】解：因为所以集合中的元素为奇数，所以.【点睛】本题考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求导得到，讨论和两种情况，得到答案.（Ⅱ）变换得到，设，求，令，故在单调递增，存在使得，，计算得到答案.【详解】（Ⅰ）（），当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（Ⅱ）（），即，（）.令（），则，令，，故在单调递增，注意到，，于是存在使得，可知在单调递增，在单调递减.∴.综上知，.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.18、（1）；（2）【解析】

方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程组，求出和，从而写出数列的通项公式；（2）由第（1）题的结论，写出数列的通项，采用分组求和、等比求和公式以及裂项相消法，求出数列的前项和.其余两个方案与方案一的解法相近似.【详解】解：方案一：（1）∵数列都是等差数列，且，，解得，综上（2）由（1）得：方案二：（1）∵数列都是等差数列，且，解得，.综上，（2）同方案一方案三：（1）∵数列都是等差数列，且.，解得，，.综上，（2）同方案一【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n项和，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列；（2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和．【详解】解：（1）由题意知，即，①当时，由①式可得；又时，有，代入①式得，整理得，∴是首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，∵是各项都为正数，∴，∴，又，∴，则，，即：.∴的前100项和．【点睛】本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.20、（1）190（2）见解析（3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【解析】

（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；（2）由茎叶图可得列联表；（3）由列联表计算可得结论．【详解】解：（1）．（2）抗倒伏易倒伏矮茎154高茎1016（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键．21、（1）（2）直线l的斜率为或【解析】

(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.【详解】（1）由题意得解得故椭圆C的方程为.（2）直线l的方程为，设，，则由方程组消